«Условный экстремум»

относительный экстремум, экстремум функции f(x₁,..., x_{n + m}) от п + тпеременных в предположении, что эти переменные подчинены ещё т уравнениям связи (условиям):

φ_k(x₁,..., x_{n + m})=0, 1≤ k ≤ m (*)

(см. Экстремум). Точнее, функция f имеет У. э. в точке М, координаты которой удовлетворяют уравнениям (*), если её значение в точке М является наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями f в точках некоторой окрестности точки М, координаты которых удовлетворяют уравнениям (*). Геометрически в простейшем случае У. э. функции f(x, у) при условии φ(х, у)=0 является наивысшей или наинизшей (по сравнению с близлежащими точками) точкой линии, лежащей на поверхности z = f(x, у) и проектирующейся на плоскость хОу в кривую φ(х, у)=0. В точке У. э. линия φ(х, у)= 0 либо имеет особую точку, либо касается соответствующей линии уровня [см. Уровня линии (поверхности)] функции f(x, у). При некоторых дополнительных условиях на уравнения связи (*) разыскание У. э. функции f можно свести к разысканию обычного экстремума функции, выразив x_{1 + 1}.., x_{n + m} из уравнения (*) через x₁,..., x_n и подставив эти выражения в функцию f. Др. метод решения – Лагранжа метод множителей.

Задачи на У. э. возникают во многих вопросах геометрии (например, разыскание прямоугольника наименьшего периметра, имеющего заданную площадь), механики, экономики и т.д.

Многие задачи вариационного исчисления приводят к разысканию экстремумов функционалов при условии, что др. функционалы имеют заданное значение (см., например, Изопериметрические задачи)или же к задаче о разыскании экстремума функционала в классе функций, удовлетворяющих некоторым уравнениям связи, и т.д. Решение таких задач также проводится методом множителей Лагранжа. См. также Линейное программирование.Математическое программирование и лит. при этих статьях.

conditional extremum

- минимальное или максимальное значение, достигаемое данной функцией (или функционалом) при условии, что нек-рые другие функции (функционалы) принимают значения из заданного допустимого множества. Если условия, ограничивающие в указанном смысле область изменения независимых переменных (функций), отсутствуют, то говорят о безусловном экстремуме.

Классич. задачей на У. э. является задача определения минимума функции многих переменных

при условии, что нек-рые другие функции принимают заданные значения:

В этой задаче множество G, к-рому должны принадлежать значения вектор-функции g=(g₁, ...,g_m), входящей в дополнительные условия (2), есть фиксированная точка c=(c₁,..., с _т )в m-мерном евклидовом пространстве

Если в (2) наряду со знаком равенства допускаются знаки неравенства

то это приводит к задаче нелинейного программирования(1), (3). В задаче (1), (3) множество Gдопустимых значений вектор-функции gпредставляет собой нек-рый криволинейный многогранник, принадлежащий (n-m₁ )-мерной гиперповерхности, задаваемой т ₁, m₁<n, условиями типа равенства (3). Границы указанного криволинейного многогранника строятся с учетом п-m₁ неравенств, входящих в (3).

Частным случаем задачи (1), (3) на У. в. является задача линейного программирования, в к-рой все рассматриваемые функции f и g_i являются линейными по x_l,..., х _п. В задаче линейного программирования множество Gдопустимых значений вектор-функции g, входящей в условия, ограничивающие область изменения переменных x₁, .....x_n, представляет собой выпуклый многогранник, принадлежащий (п-т ₁ )-мерной гиперплоскости, задаваемой m₁ условиями типа равенства в (3).

Аналогичным образом большинство задач оптимизации функционалов, представляющих нрактич. интерес, сводится к задачам на У. э. (см. Изопериметрическая задача, Кольца задача, Лагранжа задача, Манера задача). Так же, как и в математич. программировании, основными задачами вариационного исчисления и теории оптимального управления являются задачи на У. э.

При решении задач на У. э., особенно при рассмотрении теоретич. вопросов, связанных с задачами на У. э., весьма полезным оказывается использование неопределенных Лагранжа множителей, позволяющих свести задачу на У. э. к задаче на безусловный экстремум и упростить вывод необходимых условий оптимальности. Использование множителей Лагранжа лежит в основе большинства классич. методов решения задач на У. э.

Лит.:[1] Xедли Дж., Нелинейное и динамическое программирование, пер. с англ., М., 1967; [2] Блисс Г. А., Лекции по вариационному исчислению, пер. с англ., М., 1950; [3] Понтрягин Л. С. [и др.], Математическая теория оптимальных процессов, 2 изд., М., 1969.

И. Б. Вапнярский.

conditional extremum

* * *

conditional extremum

умо́вний екстре́мум

умо́вний екстре́мум