«Тейлора ряд»

Степенной ряд вида

, (1)

где f(x) — функция, имеющая при х = а производные всех порядков. Во многих практически важных случаях этот ряд сходится к f(x) на некотором интервале с центром в точке а:

(2)

(эта формула опубликована в 1715 Б. Тейлором). Разность R_n (x) = f(x) — S_n (x), где S_n (x) — сумма первых n + 1 членов ряда (1), называется остаточным членом Т. р. Формула (2) справедлива, если

,

применимом и к функциям многих переменных.

При а = 0 разложение функции в Т. р. (исторически неправильно называемый в этом случае рядом Маклорена; см. Маклорена ряд) принимает вид:

,

в частности:

(3)

(4)

(5)

(6)

.(7)

Ряд (3), являющийся обобщением на случай дробных и отрицательных показателей формулы бинома Ньютона, сходится: при -1<>х m<>m m> 0. Ряды (4), (5) и (6) сходятся при любых значениях х, ряд (7) сходится при -1

Функция f(z) комплексного переменного z, регулярная в точке а, раскладывается в Т. р. по степеням z — а внутри круга с центром в точке я и с радиусом, равным расстоянию от а до ближайшей особой точки функции f(z). Вне этого круга Т. р. расходится, поведение же его на границе круга сходимости может быть весьма сложным. Радиус круга сходимости выражается через коэффициенты Т. р. (см. Радиус сходимости).

Т. р. является мощным аппаратом для исследования функций и для приближённых вычислений. См. также Тейлора формула.

Лит.: Хинчин А. Я., Краткий курс математического анализа, М., 1953; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 2, М., 1969.

ТЕЙЛОРА ряд - степенной ряд вида где f(а), f (а), f (а),... - значения заданной функции f(х) и ее последовательных производных при х=а (если а=0, то Тейлора ряда называют рядом Маклорена). Частные суммы Тейлора ряда - важный аппарат приближенного представления функции f(х). Тейлора ряд предложен Б. Тейлором (1715).

ТЕЙЛОРА РЯД

- степенной ряд, описывающий поведение данной ф-ции f( х) в окрестности заданной точки. Точнее, если f(x )в точке х₀ имеет бесконечное число производных, то её Т. р. имеет вид

Т. р. назван по имени Б. Тейлора (В. Taylor), опубликовавшего ряд (*) в 1715. При х₀ =0Т. р. часто называют рядом Маклорена.

Если f( х) имеет в точке х₀ производные вплоть до N- го . порядка, то

где o_N(x - x₀)/|х - x₀|^N0 при х х₀. (ф-ла Тейлора с остаточным членом в форме Пеано).

Если f(x )в нек-ром интервале, содержащем точку х₀, имеет непрерывные производные до порядка N+1, то для любого х из этого интервала

где для остаточного члена R_N(x )существует несколько эквивалентных представлений, каждое из к-рых может быть удобным в той или иной конкретной ситуации. В частности,

- остаточный член в интегральной форме;

- остаточный член в форме Лагранжа;

- остаточный член в форме Коши.

Особенно важную роль Т. р. играет в теории аналитических функций. Эта роль определяется следующим утверждением. Пусть f(z) голоморфна в круге {z:|z - z₀|<R}. Тогда в этом круге

причём ряд в правой части этой ф-лы сходится абсолютно и равномерно в любом круге {z| z - z₀|<r} для любого r < R. В частности, если f(z) голоморфна во всей комплексной плоскости (целая ф-ция), то её Т. р. сходится к ней абсолютно всюду в этой плоскости, причём сходимость равномерна на любом ограниченном множестве.

Лит. см. при ст. Аналитическая функция. Б. И. Завьялов.