«Золотое сечение»

гармоническое деление, деление в крайнем и среднем отношении, деление отрезка AB на две части т. о., что большая его часть ACявляется средней пропорциональной между всем отрезком AB и меньшей его частью CB (см. рис.). Алгебраическое нахождение З. с. отрезка AB = а сводится к решению уравнения a/x=х/(а—х) (где х=AC), откуда

Отношение х к а может быть также выражено приближённо дробями ²/₃, ³/₅, ⁵/₈, ⁸/₁₃, ¹³/₂₁ и т.д., где 2, 3, 5, 8, 13, 21 и т.д. — Фибоначчи числа. Геометрически построение З. с. отрезка AB осуществляется так: в точке В проводят перпендикуляр к AB, откладывают на нём отрезок BE = ¹/₂AB, соединяют А и Е, откладывают ED = EB и, наконец, AC = AD, тогда будет AB/AC = AC/CB.З. с. было известно ещё в древности. В дошедшей до нас античной литературе З. с. впервые встречается в «Началах» Евклида (3 в. до н. э.). Термин «З. с.» ввёл Леонардо да Винчи (конец 15 — начало 16 вв.). Принципы З. с. или близкие ему пропорциональные отношения легли в основу композиционного построения многих произведений мирового искусства (главным образом произведений архитектуры античности и Возрождения).

Рис. к ст. Золотое сечение.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ (золотая пропорция - деление в крайнем и среднем отношении, гармоническое деление), деление отрезка АС на две части таким образом, что большая его часть АВ относится к меньшей ВС так, как весь отрезок АС относится к АВ (т. е. АВ : ВС = АС : АВ). Приближенно это отношение равно 5/3, точнее 8/5, 13/8 и т. д. Принципы золотого сечения используются в архитектуре и в изобразительных искусствах. Термин "золотое сечение" ввел Леонардо да Винчи.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении, гармоническое деление), деление отрезка AC на две части таким образом, что большая его часть AB относится к меньшей BC так, как весь отрезок AC относится к AB (то есть AB:BC=AC:AB). Приближенно это отношение равно 5/3, точнее 8/5, 13/8 и т. д. Принципы золотого сечения используются в архитектуре и в изобразительных искусствах. Термин "золотое сечение" ввел Леонардо да Винчи (конец 15 века).

Принцип Золотого сечения издревле используется при нахождении максимально уравновешенных пропорций между архитектурными частями зданий или частями архитектурных сооружений. Заключается в следующем: деление целого на две неравные части пропорционально в том случае, когда меньшая часть - <минор> (примерно 38%), относится к большей части - <майор> (примерно 62%), так, как большая (<майор>) к целому и наоборот.Источник: Словарь архитектурно-строительных терминов

иск. golden section

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении, гармоническое деление), деление отрезка АС на две части таким образом, что большая его часть АВ относится к меньшей ВС так, как весь отрезок АС относится к АВ (то есть АВ: ВС = АС: АВ). Приближенно это отношение равно 5: 3, точнее 8: 5, 13: 8 и т. д. Термин «золотое сечение» был упомянут римским историком Витрувием как основа пропорции классической греческой архитектуры. Пропорция, считающаяся приятной для созерцания, видна во многих образцах архитектуры и живописи Ренессанса. См. также ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ФИБОНАЧЧИ.

Золотое сечение (1)— это особое соотношение, используемое в искусстве и архитектуре на протяжении веков. Основано на пропорции, найденной в природе и приблизительно равной 1,618:1. На рисунке (2) пока зан способ геометрического построения отрезка, соответствующего числу 1.618 Пропорции Парфенона (3) в Афинах могут служить примером золотого сечения в архитектурных пропорциях.

термин сравнительно недавнего происхождения, относящийся к древней проблеме, решенной пифагорейцами, о делении отрезка в среднем и крайнем отношении (терминология современная).

Точка P, лежащая внутри отрезка AB, делит его в отношении AB:AP = AP:PB. Евклид рассматривал эту проблему в 6-й книге своих Начал (Предложение 30) и затем использовал ее решение при построении правильных десяти- и пятиугольников. Если в указанной выше пропорции AP обозначить через a, а PB - через b, то ее можно записать в виде (a + b):a = a:b, откуда a:b = b:(a - b). Это показывает, что если отрезок b отрезать от a, то две части, b и a - b, снова окажутся частями золотого сечения. Так как этот процесс можно повторять неограниченное число раз, мы заключаем, что отрезки AP и PB несоизмеримы, т.е. не существует двух целых чисел m и n, таких, что b = (m/n)a. Есть мнение, что существование несоизмеримых отрезков, оказавшее глубокое влияние на математику и философию, было открыто пифагорейцами при изучении золотого сечения. Золотым сечением интересовались по разным причинам. Исходя из золотого сечения Платон пришел к представлению об основах знания; Аристотель извлек из золотого сечения этические аналогии, а некоторые средневековые мыслители называли его божественной пропорцией. Ныне золотое сечение привлекает внимание главным образом в связи с определением гармонических пропорций в архитектуре и других видах искусств.

золото́е сече́ние

(золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении, гармоничное деление), деление отрезка АС на две части таким образом, что бо́льшая его часть АВ относится к меньшей ВС так, как весь отрезок АС относится к АВ (то есть АВ : ВС = АС:АВ). Приближённо это отношение равно ⁵/₃, точнее ⁸/₅, ¹³/₈ и т. д. Принципы золотого сечения используются в архитектуре и в изобразительных искусствах; в музыке отражает особенности человеческого восприятия временны́х пропорций. Термин «золотое сечение» ввёл Леонардо да Винчи.

* * *

ЗОЛОТО́Е СЕЧЕ́НИЕ (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении, гармоническое деление), деление отрезка AB на две части так, что большая его часть AC является средней пропорциональной между всем отрезком AB и меньшей его частью CB, то есть AB: AC = AC: BC. Алгебраическое нахождение золотого сечения отрезка AB = а сводится к решению уравнения a/x = х/(а—х) (где х = AC). Отношение х к а может быть также выражено приближённо дробями ²/₃, ³/₅, ⁵/₈, ⁸/₁₃, ¹³/₂₁ и т.д., где 2, 3, 5, 8, 13, 21 и т.д. — Фибоначчи числа(см. ФИБОНАЧЧИ ЧИСЛА).

Золотое сечение было известно ещё в древности. В дошедшей до нас античной литературе впервые встречается в «Началах» Евклида (3 век до н. э.). Термин «Золотое сечение» ввёл Леонардо да Винчи (конец 15 — начало 16 вв.). Принципы золотого сечения легли в основу композиционного построения многих произведений мирового искусства (главным образом произведений архитектуры античности и Возрождения).

(золотая пропорция, золотое деление, гармоническое сечение, деление в крайнем и среднем от ношении) — деление отрезка а на две части таким образом, что большая его часть в относится к меньшей с так, как весь отрезок а к большей его части в, т. е. в: с = а: в. Приближенно (с возрастающей точностью) это отношение выражается через отношения чисел ряда Фибонначи 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 и т. д., т. е. ряда чисел, в котором каждый последующий член равен сумме двух предыдущих 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21В пределе число золотой пропорции иррационально — 1,6280338.... В 1957 году американский математик Бергман показал, что это число может быть эффективным основанием компьютерных вычислений, превосходящим по эффективности принятую в на стоящее время двоичную систему счисления. В частности, в процесс автоматических вычислений она естественным образом вносит мгновенное обнаружение и мгновенное устранение ошибок из-за сбоев (в программном обеспечении на основе двоичного счисления предусмотрена целая система так называемых корректирующих кодов с целью устранения последствий сбоев). Золотое сечение известно еще в древности, изложено в «Началах» Евклида, использовано в них для построения правильных пяти- и десятиугольников, а в стереометрии для построения правильных двенадцати- и двадцатигранников (тел Платона). Используется наряду с другими пропорциями в музыке, архитектуре, в изобразительных искусствах. Некоторые авторы называли эту пропорцию «божественной». Термин золотое сечение ввел Леонардо да Винчи.

в музыке - обнаруживающаяся во мн. муз. произв. связь важных особенностей построения целого или его частей с т.н. золотым сечением.

Понятие З. с. относится к области геометрии; З. с. называют деление отрезка на две части, при к-ром целое так относится к большей части, как бульшая часть к меньшей (гармонич. деление, деление в крайнем и среднем отношении). Если целое обозначить буквой а, бульшую часть буквой b и меньшую - буквой c, соотношение это выражается пропорцией а:b=b:с. В числовом выражении отношение b:a составляет непрерывную дробь, приближённо равную 0,618034...

В эпоху Возрождения было установлено, что З. с. находит применение в изобразит. иск-вах, в особенности в архитектуре. Было признано, что подобное соотношение частей производит впечатление гармонии, соразмерности, изящества. Композиторы нидерландской школы (Я. Обрехт) сознательно применяли З. с. в своих произв.

Первую попытку обнаружить проявление З. с. в музыке сделал в сер. 19 в. нем. учёный А. Цейзинг, к-рый неоправданно объявил З. с. всеобщей, универсальной пропорцией, проявляющейся как в иск-ве, так и в мире природы. Цейзинг нашёл, что близкое к З. с. соотношение обнаруживает мажорное трезвучие (интервал квинты как целое, большая терция как большая часть, малая терция - как меньшая часть).

Более определённое проявление соотношений З. с. в музыке было открыто в нач. 20 в. рус. исследователем Э. К. Розеновым в области муз. формы. По Розенову, оно сказывается уже в рамках периода, где мелодич. кульминация обычно располагается в точке, близкой к точке З. с. Нередко вблизи точки З. с. обнаруживаются переломные моменты и в более крупных разделах муз. формы (З. с. проявляется во временном соотношении частей, к-рое в случае изменения темпа не совпадает с соотношением числа тактов) и даже в целых одночастных произв. Хотя анализы Розенова порой чрезмерно детализированы и не лишены натяжек, в целом его наблюдения о проявлениях З. с. в музыке были плодотворными и обогатили представление о временных муз. закономерностях.

Позднее З. с. в музыке изучали В. Э. Ферман, Л. А. Мазель и др. Развивая и уточняя высказанные Розеновым положения, Мазель установил, что деление в отношении З. с. является признаком устойчивости, внутр. завершённости мелодии. Он показал, что в точке З. с. муз. периода может находиться мелодич. вершина не только всего периода, но и 2-го предложения, что точка эта может являться моментом, с к-рого 2-е предложение развивается иначе сравнительно с 1-м (эти проявления З. с. могут совмещаться). В масштабах сонатного allegro и в трёхчастной форме, по Мазелю, точка З. с. в классич. музыке обычно приходится на начало репризы (конец разработки), в музыке композиторов-романтиков - располагается в репризе, ближе к коде. Мазель ввёл понятие З. с. в курс анализа муз. произведений; постепенно оно прочно вошло в обиход сов. музыкознания.

гармоническое деление, деление в крайнем и среднем отношени и,- деление отрезка а, при к-ром большая часть хявляется средней пропорциональной между всем отрезком аи меньшей его частью а- х, то есть а: х = х:(а-х). (*)

Для нахождения хполучается квадратное уравнение x²+ax-a²=0, решение к-рого дает

Условие (*) можно переписать и так

т. е. хполучают в виде непрерывной дроби, подходящие дроби к-рой будут:

тде 1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21 и т. д.- так наз. Фибоначчи числа.

Геометрически 3. с. отрезка АВ (см. рис.) строится так: в точке Ввосстанавливают перпендикуляр к А В, откладывают на нем отрезок соединяют Аи Е, откладывают ED = EB и, наконец, AC=AD, тогда

АВ: АС=АС: СВ.

З. с. было известно еще в древности. В дошедшей до нас античной литературе 3. с. впервые встречается в "Началах" Евклида (3 в. до н. э.).

Термин "3. с." ввел Леонардо да Винчи (Leonardo da Vinci) (кон. 15 - нач. 16 вв.). Принципы 3. с. или близкие ему пропорциональные отношения легли в основу композиционного построения многих произведений мирового искусства (главным образом произведений архитектуры античности и Возрождения).

гармоническое деление, - деление отрезка на 2 части, при к-ром длина отрезка так относится к большей части, как большая к меньшей. 3. с. - одно из средств пропорцион. гармонизации архит. сооружений.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ — (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношениях, гармоническое деление) — деление отрезка на две части, при котором длина всего отрезка относится к большей части, как большая к меньшей. Уравнение «золотого сечения»: