«Компактность»

(математическое)

важное свойство множеств; множество называется компактным, если каждая бесконечная последовательность его элементов (точек) имеет хотя бы одну предельную точку (См. Предельная точка). От К. по отношению к объемлющему пространству отличают К. в себе: множество (лежащее в определенном топологическом пространстве или являющееся само топологическим пространством) компактно в себе, если каждая бесконечная последовательность его элементов имеет хотя бы одну предельную точку, принадлежащую тому же множеству.

В математическом анализе большое значение имеет принцип Вейерштрасса, утверждающий, что каждое ограниченное множество действительных чисел — компактно. Компактные множества функций играют фундаментальную роль в теории функций и функциональном анализе. Для того чтобы множество Е непрерывных (например, на сегменте [0,1] числовой прямой) функций было компактно (в пространстве С всех непрерывных на [0,1] функций), необходимо и достаточно, чтобы функции множества Е были ограничены в своей совокупности (одной и той же постоянной) и равностепенно непрерывны (см. Равностепенная непрерывность).

Компактное Метрическое пространство называется компактом. Среди множеств, лежащих в евклидовых пространствах E ⁿ произвольного числа измерений, компактны в E ⁿ все ограниченные множества и только они; компактами (то есть компактными в себе множествами) среди них будут лишь замкнутые (и ограниченные) множества. В гильбертовом пространстве (См. Гильбертово пространство) ограниченность недостаточна для компактности: сфера в гильбертовом пространстве некомпактна, хотя образует замкнутое и ограниченное множество. Компактом является так называемый фундаментальный параллелепипед гильбертова пространства, то есть множество всех точек этого пространства, координаты которых удовлетворяют условиям 0≤ x_n≤ ¹/₂ⁿ. Все компакты (и среди всех топологических пространств только компакты) гомеоморфны (см. Гомеоморфизм) замкнутым множествам фундаментального параллелепипеда гильбертова пространства (теорема Урысона). Компакты конечной размерности (См. Размерность) и только они гомеоморфны замкнутым ограниченным множествам евклидовых пространств.

Для метрических пространств, а также для топологических пространств со счётной базой свойство К. (в себе) эквивалентно свойству бикомпактности.

Лит.: Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. —Л., 1948; Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М. — Л., 1937.

1. компа́ктность;
2. компа́ктности;
3. компа́ктности;
4. компа́ктностей;
5. компа́ктности;
6. компа́ктностям;
7. компа́ктность;
8. компа́ктности;
9. компа́ктностью;
10. компа́ктностями;
11. компа́ктности;
12. компа́ктностях.

КОМПА́КТНЫЙ, -ая, -ое; -тен, -тна.

-и, ж.

Свойство по знач. прил. компактный.

КОМПА́КТНОСТЬ, компактности, мн. нет, жен. (книжн.). отвлеч. сущ. к компактный. Компактность какой-нибудь массы.

ж.

отвлеч. сущ. по прил. компактный

компактн|ость - ж. compactness;
~ый compact.

compactness

f.compactness

ж.

compacité f

ж.

compacidad f, compactibilidad f

- свойство топологич. пространства, состоящее в том, что каждое бесконечное его подмножество имеет предельную точку. Для метрич. пространства понятие К. совпадает с понятием бикомпактности. Свойство К. может быть выражено в такой форме: всякое счетное подмножество имеет предельную точку, так что компактные пространства естественно называть компактными для мощности

В связи с этим возникают понятия инициальной и финальной К. или, более общо, компактности в отрезке мощностей [ а, b], или [ а, b]. компактности, выражаемой в трех эквивалентных формах: 1) всякое множество мощности имеет точку полного накопления, т. е. такую точку x, что для каждой ее окрестности O_x. множество O_x З М имеет ту же мощность, что и М;2) всякая вполне упорядоченная система порядкового типа замкнутых множеств имеет непустое пересечение; 3) всякое открытое покрытие мощности содержит покрытие мощности <m. Если то Xназ. инициально компактным вплоть до мощности b. Просто К. означает инициальную К. до мощности и поэтому иногда К. наз. счетной К. Если b>а- любое, то Xназ. финально компактным, начиная с мощности а;так, всякое пространство со счетной базой финально компактно с Бикомпактные пространства инициально компактны до любой (бесконечной) мощности и одновременно финально компактны, начиная с любой мощности,- отсюда их название. Таким образом, всякое бикомпактное пространство компактно, но не наоборот: пространство W(w₁) всех порядковых чисел <w₁ компактно, но не бикомпактно. Из К. пространства X, вообще говоря, не следует, что Xявляется компактным множеством, напр, в пространстве (неметризуемом) I ^с существует замкнутое (и следовательно бикомпактное) множество, не содержащее никакой нестационарной сходящейся последовательности.

М. И Войцеховский

compactness

* * *

compactness

ж.

compatezza f

матем.

компа́ктність, -ності

- слабая компактность

матем.

компа́ктність, -ності

- слабая компактность