Линейное преобразование в словарях и энциклопедиях
Л., или проективным, преобразованием плоскости называется такой переход от одной плоскости к другой, при котором все точки любой прямой, лежащей в первой плоскости, образуют во второй плоскости тоже прямую. Этот переход достигается преобразованием координат х', у' в координаты x, у по формулам:
Л. преобразованием форм, т. е. многочленов однородных относительно переменных, называется такое преобразование, в котором новая форма получается из данной заменой переменных многочленами однородными первой степени от новых переменных. Напр.: линейное преобразование двоичной формы (содержащей две переменных x и у) совершается посредством формул:
где α, ß, у, δ называются коэффициентами преобразования. Определитель называется модулем такого преобразования (см. Форма).
переменных x1, x2, ..., xn — замена этих переменных на новые x'1, x’2, ..., x'n, через которые первоначальные переменные выражаются линейно, т. е. по формулам:
x1 = a11x’1 + a12x’2 + ... + annx’n + b1,
x2 = a21x’1 + a22x’2 + ... + a2nx’n + b2,
...
xn = an1x’1 + an2x’2 + ... + annx’n + bn,
здесь aijи bi(i, j = 1,2, ..., n) — произвольные числовые коэффициенты. Если b1, b2,..., bn все равны нулю, то Л. п. переменных называют однородным.
Простейшим примером Л. п. переменных могут служить формулы преобразования прямоугольных координат на плоскости
х = x' cosα- y' sinα+ a,
у = x' sinα+ y' cosα+ b.
Если ОпределительD = ∣aij∣, составленный из коэффициентов при переменных, не равен нулю, то можно и новые переменные x'1, x'2, ..., x'n линейно выразить через старые. Например, для формул преобразования прямоугольных координат
и
x’ =x cosα+ ysinα+ a1
y’ = -x sinα+ cosα+ b1
где a1 = - a cosα- b sinα, b2 = a sinα- b cos(. Другими примерами Л. п. переменных могут служить преобразования аффинных и однородных проективных координат, замена переменных при преобразовании квадратичных форм и т. п.
Л. п. векторов (или Л. п. векторного пространства (См. Векторное пространство)) называют закон, по которому вектору х из n-мерного пространства ставят в соответствие новый вектор x', координаты которого линейно и однородно выражаются через координаты вектора х:
x’1 = a11x1 + a12x2 + ... +a1nxn
x’2 = a21x1 + a22x2 + ... +a2nxn
...
x’n = an1x1 + an2x2 + ... +annxn,
или коротко
x' = Ax.
Например, операция проектирования на одну из координатных плоскостей (пусть на плоскость хОу) будет Л. п. трёхмерного векторного пространства: каждому вектору а с координатами х, у, z сопоставляется новый вектор b, координаты x', y'., z' которого выражаются через х, у, z следующим образом : x' = х, y' = у, z'= 0. Пример Л. п. плоскости — поворот её на угол α вокруг начала координат. Матрицу (См. Матрица)
,
составленную из коэффициентов Л. п. А, называют его матрицей. Матрицами приведённых выше Л. п. проектирования и поворота будут соответственно
и
Л. п. векторного пространства можно определить (как обычно поступают) без использования системы координат: соответствие х→у = Axназывают Л. п., если выполняются условия А(х + у)= Ax + Ауи A(αx)=αА(х) для любых векторов х и у и любого числа α. В разных системах координат одному и тому же Л. п. будут соответствовать разные матрицы и, следовательно, разные формулы для преобразования координат.
К Л. п. относится, в частности, нулевое Л. п. О, переводящее все векторы в 0 (нулевой вектор) : Ox = 0 и единичное Л. п. Е, оставляющее все векторы без изменения: Ex = х; этим Л. и. в любой системе координат соответствуют нулевая и единичная матрицы.
Для Л. п. векторного пространства естественным образом определяются операции сложения и умножения: суммой двух Л. п. А и В называют Л. п. С, переводящее любой вектор х в вектор Cx = Ax + Вх; произведением Л. п. А и В называют результат их последовательного применения: С = AB, если Cx = А(Вх).
В силу этих определений совокупность всех Л. п. векторного пространства образует Кольцо. Матрица суммы (произведения) Л. п. равна сумме (произведению) матриц Л. п. слагаемых (сомножителей); при этом существен порядок множителей, так как произведение Л. и., как и матриц, не обладает свойством коммутативности (См. Коммутативность). Л. п. можно также умножать на числа: если Л. п. А переводит вектор х в вектор у = Ax, то αА переводитх в αу. Примеры операций над Л. п.: 1) Пусть А и В означают операции проектирования па оси Ox и Оу в трёхмерном пространстве; А + В будет проектированием на плоскость хОу, аAB = 0. 2) А и В — повороты плоскости вокруг начала координат на углы φ и ψ; AB будет поворотом на угол φ + ψ. 3) Произведение единичного Л. п. Е на число α будет преобразованием подобия с коэффициентом растяжения (или сжатия) α.
Л. п. В называют обратным к Л. п. А (и обозначают А-1), если BA = Е (или AB = Е). Если Л. п. А переводило вектор х в вектор у, то Л. п. А-1 переводит у обратно в х. Л. п., обладающее обратным, называют невырожденным; такие Л. п. характеризуются также тем, что определитель их матрицы не равен нулю. Некоторые классы Л. п. заслуживают особого упоминания. Обобщением поворотов двумерных и трёхмерных евклидовых пространств являются ортогональные (или унитарные — в комплексных пространствах) Л. п. Ортогональные Л. п. не изменяют длин векторов (а следовательно, и углов между ними). Матрицы этих Л. п. в ортонормированной системе координат также называются ортогональными (унитарными): произведение ортогональной матрицы на её транспонированную даёт единичную матрицу: ∑kaikajk = ∑kakiakj = 0 при i ≠ j, ∑ka2ik = ∑ka2ki = 1 (в комплексном пространстве ∑kaika̅jk = ∑kakia̅kj = 0, ∑k|ajk|2 = ∑k|aki|2 = 1). Симметрическим (эрмитовым, или самосопряжённым, — в комплексном пространстве) Л. п. называют такое Л. п., матрица которого симметрическая: aij = aji (или (aij = a̅ij). Симметрические Л. п. осуществляют растяжение пространства с разными коэффициентами по неск. взаимно ортогональным направлениям. С симметрическими Л. п. связана теория квадратичных форм (или эрмитовых форм в комплексном пространстве).
Приведённое выше определение Л. п. в векторном пространстве, не использующее координатную систему, без всяких изменений распространяется и на бесконечномерные (в частности, функциональные) пространства. Л. п. в бесконечномерных пространствах принято называть линейными операторами (См. Линейный оператор).
Лит.: Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968; Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, 3 изд., М., 1970; Ефимов Н. В., Розендорн Э. P., Линейная алгебра и многомерная геометрия, М., 1970.
ЛИНЕЙНОЕ преобразование - 1) линейное преобразование переменных x1, x2, ..., xn, замена этих переменных на новые y1, y2, ..., yn, через которые первоначальные переменные выражаются линейно, т. е. по формулам: здесь aij, bj (i, j ?1,..., n) - произвольные числа.
2) линейное преобразование векторного пространства, преобразование y?Ax этого пространства, обладающее свойством линейности: если y1?Ax1, y2?Ax2, то A(C1x1+C2x2)?C1y1+C2y2, где C1, C2 - числа.
linear transformation
linear transformation
лине́йное преобразова́ние
1) Линейное преобразование переменных x1, x2, ..., xn, замена этих переменных на новые y1, y2, ..., yn, через которые первоначальные переменные выражаются линейно, то есть по формулам:x1 = a11y1 + ... + a1nyn + b1......................xn = an1y1 + ... + annyn + bn;здесь aij, bj (i, j = 1, ..., n) — произвольные числа.2) Линейное преобразование векторного пространства, преобразование y = Ax этого пространства, обладающее свойством линейности: если y1 = Ax1, y2 = Ax2, тоA(C1x1 + C2x2) = C1y1 + C2y2, где C1, C2 — числа.
* * *
ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕЛИНЕ́ЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВА́НИЕ,
1) линейное преобразование переменных x1, x2,..., xn, замена этих переменных на новые y1, y2,..., yn, через которые первоначальные переменные выражаются линейно, т. е. по формулам:
здесь aij, bj (i, j =1,..., n) — произвольные числа.
2) линейное преобразование векторного пространства, преобразование y=Ax этого пространства, обладающее свойством линейности: если y1=Ax1, y2=Ax2, то A(C1x1+C2x2)=C1y1+C2y2, где C1, C2 — числа.
-отображение векторного пространства в себя, при к-ром образом суммы двух векторов является сумма их образов, а образом произведения вектора на число - произведение образа вектора на это число. Если V - векторное пространство, f - заданное в нем Л. п. и ж, у - любые векторы пространства, - любое число (элемент поля), то
Если векторное пространство Vимеет конечную размерность - его базис; x1,,x2,..., х п - координаты произвольного вектора жв этом базисе и у 1, у 2,..., у п- координаты его образа то координаты вектора y выражаются через координаты. вектора як линейными однородными функциями
Матрица
наз. матрицей Л. п. f в базисе В ее столбцах стоят координаты образов базисных векторов. Если
- матрица перехода от базиса к базису
то в базисе матрица ВЛ. п. fбудет B= С -1 АС.
Суммой двух Л. п. f и gпаз. такое преобразование А, при к-ром для всякого вектора
Произведением Л. п. f на число l ваз. преобразование k, при к-ром для всякого вектора
Произведением Л. п. f на Л. п. gназ. преобразование
Сумма двух Л. п., произведение Л. п. на число, произведение двух Л. п. являются линейными преобразованиями. Л. п. образуют алгебру. В случае, когда конечномерное пространство имеет размерность п, алгебра его Л. п. изоморфна алгебре квадратных матриц порядка п, элементами к-рых являются элементы того поля, над к-рым построено векторное пространство.
Л. п. f, при к-ром векторное пространство отображается на себя, наз. обратимым, если существует такое преобразование f-1, что
где Е - тождественное преобразование. Преобразование f-1 является Л. п. и наз. обратным преобразованием к преобразованию f. Л. п., заданное в конечномерном векторном пространстве, обратимо тогда и только тогда, когда определитель его матрицы в каком-нибудь (и тогда во всяком) базисе отличен от нуля. Если А - матрица обратимого Л. п., то матрица обратного ему Л. п. f-1 равна А -1. Обратимые Л. п. образуют группу по отношению к операции умножения. В случае векторных пространств конечной размерности и эта группа изоморфна группе невырожденных квадратных матриц порядка п.
Подпространство Vвекторного пространства Vназ. инвариантным подпространством относительно Л. п. f, если . для всякого вектора Ненулевой вектор наз. собственным вектором Л. п. f, соответствующим собственному значению если В случае пространства конечной размерности над полем комплексных чисел всякое Л. п. имеет собственный вектор (обладает одномерным инвариантным подпространством). В случае конечномерного пространства над полем действительных чисел у всякого Л. п. имеется одномерное или двумерное инвариантное подпространство. Л. п. f, заданное в конечномерном векторном пространстве, наз. диагонализируемым Л. п.,
если в пространстве Vсуществует такой базис, в к-ром матрица этого преобразования имеет диагональную форму. Другими словами, Л. п. диагонализируемо, еcли пространство обладает базисом, состоящим из собственных векторов этого Л. п. Однако не всякое Л. п. даже в пространстве над полем комплексных чисел обладает базисом из собственных векторов этого Л. п., напр. Л. п. двумерного пространства, заданное матрицей
у к-рой имеется единственное одномерное инвариантное подпространство с базисом {1, 0}.
В конечномерном векторном пространстве над полем комплексных чисел для всякого Л. п. существует такой базис, в к-ром матрица этого преобразования имеет клеточный вид, где по главной диагонали стоят жордановы клетки, а в остальных местах - нули. Жорданова клетка 1-го порядка состоит из одного числа К;жорданова клетка порядка kесть квадратная матрица порядка kвида
Числа l являются собственными значениями матрицы Л. п. Одному и тому же Я могут соответствовать как несколько клеток одного и того же порядка, так и клетки различных порядков. Матрица, состоящая из жордановых клеток, наз. нормальной жордановой формой матрицы.
Л. п. f, заданное в евклидовом (унитарном) пространстве, наз. самосопряженным (соответственно эрмитовым), если для всяких двух векторов имеет место равенство ) (соответственно
Л. п., заданное в конечномерном евклидовом (унитарном) пространстве, будет самосопряженным (эрмитовым) тогда и только тогда, когда его матрица Ав каком-нибудь (а тогда и во всяком) ортонормированном базисе является симметрической (соответственно эрмитовой). Самосопряженное (эрмитово) Л. п., заданное в конечномерном евклидовом (соответственно унитарном) пространстве, обладает ортонормированным базисом, в к-ром его матрица имеет диагональную форму. По главной диагонали стоят (всегда действительные) собственные значения матрицы АЛ. п.
Л. п. f, заданное в евклидовом (унитарном) пространстве V, наз. изометрическим (соответственно унитарным), если для всякого вектора
Л. п., заданное в конечномерном евклидовом (унитарном) пространстве, изометрично (соответственно унитарно) тогда и только тогда, когда его матрица Ав каком-нибудь (а тогда и во всяком) ортонормированном базисе была ортогональной (соответственно унитарной). Для всякого изометрич. Л. п., заданного в конечномерном евклидовом пространстве, существует ортонормированный базис, в к-ром матрица преобразования состоит из клеток 1-го и 2-го порядка, стоящих на ее главной диагонали. Клетки 1-го порядка суть действительные собственные значения матрицы Апреобразования, равные +1 и -1, а клетки 2-го порядка имеют вид
где - действительная часть и коэффициент при i комплексного собственного значения, матрицы А, на остальных местах матрицы Астоят нули. Для всякого унитарного преобразования, заданного в унитарном пространстве, существует ортонормированный базис, в к-ром матрица этого преобразования является диагональной, причем на главной диагонали стоят числа, по модулю равные 1.
Всякое Л. п., заданное в конечномерном евклидовом (унитарном) пространстве, является произведением самосопряженного и изометрич. Л. п. (соответственно эрмитова и унитарного).
Лит.:[1] Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968; [2] Гельфанд II. М., Лекции по линейной алгебре, 4 изд., М., 1971; [3] Ефимов Н. В., Розендорн 3. Р., Линейная алгебра и многомерная геометрия, М., 1970; [4] X а л м о ш П., Конечномерные векторные пространства, пер. с англ., М., 1963. А. С. Пархоменко.
linear transformation
trasformazione lineare
ліні́йне перетво́рення
ліні́йне перетво́рення
1) Л. п. переменных х1,...х2...хn, замена этих переменных на новые у1, у2,..., уn, через которые первонач. неременные выражаются линейно, т. е. по ф-лам:
x1=а11y1 +...+а1nуn + b1,
xn=аn1y1 +...+аnnуn + bn,
здесь aij, bj (i, j = 1,..., п) - произвольные числа. 2) Л. п. векторного пространства, преобразование у = Ах этого пространства, обладающее свойством линейности: если у1=Ах1, у2 = Ах2, то A(C1x1 + C2x2) = С1у1 + С2y2, где С1, С2 -числа.