«инвариантное интегрирование»

инвариантное интегрирование в энциклопедиях

Источники

Большой англо-русский и русско-английский словарь Физическая энциклопедия Математическая энциклопедия

Большой англо-русский и русско-английский словарь

invariant integration

Физическая энциклопедия

ИНВАРИАНТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ: - вид интегрирования для ф-ций, аргументом к-рых являются элементы группы или точки однородного пространства (любую точку такого пространства можно перевести в другую заданным действием группы). И. и. согласовано с действием группы: значение интеграла не меняется при заменах переменных, отвечающих этому действию, а якобиан замены равен 1.И. и.- стандартный приём для построения функционального интеграла, служащего эфф. средством изучения калибровочных полей, разл. моделей квантовой теории поля. <Если пространство аргументов X является многообразием (т. е. допускает введение локальных координат x₁,...,х _п), И. и. функции f(x )сводится к вычислению интеграла от дифференциальной формы f.w, где ; явная ф-ла для r( х )приводится ниже. Условие согласования имеет вид

;

здесь T_g означает оператор сдвига на X с помощью gОG: T_gf(x)=f(g^-1x). Пусть X=G - топология, группа, действующая на себе левыми сдвигами. И. и. существует тогда и только тогда, когда G локально компактна (в частности, на бесконечномерных группах И. и. не существует). Для подмножества И. и. характеристич. ф-ции c_A (равной 1 на A и 0 вне А )задаёт левую меру Xаара m(A). Определяющим свойством этой меры является её инвариантность при левых сдвигах: m(g^-1A)=m( А )для всех gОG. Левая мера Хаара на группе определена однозначно с точностью до положит, скалярного множителя. Если известна мера Хаара m, то И. и. ф-ции f даётся ф-лой . Аналогичными свойствами обладает правая мера Хаара. Существует непрерывный гомоморфизм (отображение, сохраняющее групповое свойство) D_G группы G в группу (относительно умножения) положит. чисел, для к-рого

где dm_r и dm_i - правая и левая меры Хаара. Ф-цию D_G(g) наз. модулем группы G. Если , то группа G наз. унимодулярной; в этом случае правая и левая меры Хаара совпадают. Компактные, полупростые и нильпотентные (в частности, коммутативные) группы унимодулярны. Если G - n-мерная группа Ли и q₁,...,q_n - базис в пространстве левоинвариантных 1-форм на G, то левая мера Хаара на G задаётся n-формой . В локальных координатахдля вычисления

форм q_i можно воспользоваться любой матричной реализацией группы G: матричная 1-форма g^-1dg левоинвариантна, а её коэф. являются левоинва-риантными скалярными 1-формами, из к-рых и выбирается искомый базис. Напр., полная матричная группа GL(n, R )унимодулярна и мера Хаара на ней задаётся формой. <Пусть X=G/H - однородное пространство, для к-рого локально компактная группа G является группой преобразований, а замкнутая подгруппа Н - стабилизатором нeк-рой точки. Для того чтобы на X существовало И. и., необходимо и достаточно, чтобы для всех h О H выполнялось равенство D_G(h)=D_H(h). В частности, это верно в случае, когда Н компактна или полупроста. <Полной теории И. и. на бесконечномерных многообразиях не существует. Отд. примеры см. в статьях Функциональный интеграл, Винеровский функциональный интеграл, Калибровочные поля. Лит.: Вейль А., Интегрирование в топологических группах и его применения, пер. с франц., М., 1950; Кириллов А. А., Элементы теории представлений, 2 изд., М., 1978; Славное А. А., Фаддеев Л. Д., Введение в квантовую теорию калибровочных полей, 2 изд., М., 1988. А. А. Кириллов.

Математическая энциклопедия

на группе - интегрирование функций на топологич. группе, обладающее нек-рым определенным свойством инвариантности относительно групповых операций. А именно, пусть G- локально компактная топологич. группа, C₀(G)- векторное пространство всех непрерывных финитных (с компактными носителями) комплексно-значных функций на G, I - интеграл на C₀(G), т. е. линейный положительный при функционал на C₀(G). Интеграл I наз. левоинвариантным (правоинварнантным), если I(gf)= If (соответственно I(fg) = If )для всех здесь

Интеграл I наз. двусторонне инвариантным, если он одновременно лево- и правоинвариантен.

Отображение где определяет взаимно однозначное соответствие между классами левоинвариантных и правоинвариантных интегралов в С ₀ (G). Если то интеграл Iназ. инверсионно инвариантным.

На всякой локально компактной группе Gсуществует ненулевой левоинвариантныи интеграл, единственный с точностью до числового множителя (теорема Хаара - Неймана - Вейля). Этот интеграл наз. левым интегралом Хаара. Имеет место равенство где а D - непрерывный гомоморфизм группы Gв мультипликативную группу положительных действительных чисел (положительный характер). При этом Характер D наз. модулем группы G. Если D(g)=l, то группа Gназ. ун и модулярной. В этом случае I является двусторонне инвариантным интегралом.

В частности, унимодулярна всякая компактная группа (причем ) и всякая дискретная группа (причем ).

Согласно теореме Рисе а, всякий интеграл на С ₀ (G) является интегралом Лебега по нек-рой борелевской мереm, определяемой однозначно в классе регулярных борелевских мер, конечных на каждом компактном подмножестве Лево- (право-) инвариантная мера m, отвечающая левому (правому) интегралу Хаара в C₀(G), наз. левой (правой) Хаара мерой на G.

Пусть Н- замкнутая подгруппа в G,m₀- модуль группы Н. Если Д _о продолжается до непрерывного положительного характера группы G, то на левом однородном пространстве X=G/H существует относительно инвариантный интеграл J, т. е. положительный функционал на пространстве С ₀ (X)непрерывных финитных функций на X, удовлетворяющий тождеству для всех здесь

D - модуль группы G. Этот интеграл определяется по правилу где I - левый интеграл Хаара на - функция на Gтакая, что

(I₀- левый интеграл Хаара на Н, а j_H- сужение функции j на подгруппу Н). Это определение корректно, поскольку является отображением С ₀(G)на С ₀ (Х)и Jf=0 при f=0. С И. и. тесно связано понятие инвариантного среднего.

Лит.:[1] Бурбаки Н., Интегрирование. Векторное интегрирование. Мера Хаара. Свертка и представления, пер. с франц., М., 1970; [2] Вейль А., Интегрирование в топологических группах и его применения, пер. с франц., М., 1950; [3] Люмис Л., Введение в абстрактный гармонический анализ, пер. с англ., М., 1956; [4] Хьюитт Э., Росс К., Абстрактный гармонический анализ, т. 1, пер. с англ., М., 1975.

Д. П. Желобенко.