«характеристический функционал»

характеристический функционал в энциклопедиях

Источники

Большой англо-русский и русско-английский словарь Физическая энциклопедия Математическая энциклопедия

Большой англо-русский и русско-английский словарь

мат. characteristic functional

Физическая энциклопедия

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ФУНКЦИОНАЛ: с л у ч а й н о й л и н е й н о й ф у н к ц и и {x_j, j Е} - функционал

F(j) на линейном пространстве Е, обобщающий понятие характеристической функции одной случайной величины. Пусть задана линейная случайная функция

т. е. семейство случайных величин (определённых на одном и том же вероятностном пространстве W), помеченных элементами j Е нек-рого линейного пространства Е и линейно зависящих от них:

Функционал на Е

наз. X. ф. линейной случайной ф-ции (1). Из (2) и (3) следует, что любого конечного набора элементов j₁,..., j_s ф-ция f_{j_i_}(t₁,..., t_s) от вещественных переменных t₁,..., t_s

является совместной характеристической ф-цией набора случайных величин {x_j1,..., x_j_s}.. Т. о., X. ф. F(j)однозначно определяет совместные распределения любого конечного набора случайных величин {x_j1,..., x_j_s}, т. е. определяет все статистич. свойства линейной случайной ф-ции (1). X. ф. равен 1 при j = 0, положительно определён, т. е.

для любого конечного набора элементов j₁,..., j_s и любого набора комплексных чисел z₁,..., z_s(* - означает комплексное сопряжение), а также в случае непрерывной линейной ф-ции непрерывен по j. В наиб. простом и употребит. случае - гауссовской линейной случайной ф-ции {x_j, j Е}. со средним

и ковариацией

её X. ф.

Лит.: Прохоров Ю. В., Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей, "Теория вероятностей и ее применения", 1956, т. 1, в. 2, с. 177; Вахания Н. Н., Тари-еладзе В. И., Чобан С. А., Вероятностные распределения в банаховых пространствах, М., 1985. Р. А. Минлос.

Математическая энциклопедия

- аналог понятия характеристической функции, используемый в бесконечномерном случае. Пусть -непустое множество, Г - векторное пространство определенных на действительных функций, -наименьшая -алгебра подмножеств относительно к-рой измеримы все функции из Г. X. ф. вероятностной меры заданной на определяется как комплекснозначный функционал на Г равенством

Ниже имеется в виду наиболее важный и простой случай, когда есть сепарабельное действительное банахово пространство и Г совпадает с его топологическим сопряженным В этом случае совпадает с -алгеброй борелевских множеств пространства Понятие X. ф. для бесконечномерных банаховых пространств ввел А. Н. Колмогоров [1].

X. ф. случайного элемента Xсо значениями в по определению, есть X. ф. его вероятностного распределения

Основные свойства Х. <ф.:

1) и положительно определен, т. е. для любых конечных наборов комплексных чисел и элементов

2) непрерывен в сильной топологии и секвенциально непрерывен в *-слабой топологии пространства

4) в частности принимает только действительные значения (и является четным функционалом) в том н только в том случае, когда мера симметрична, т. е. где

5) Х. <ф. однозначно определяет меру;

6) X. ф. свертки двух вероятностных мер (суммы двух независимых случайных величин) есть произведение их X. ф.
В конечномерном случае метод X. ф. основан на теореме о непрерывности соответствия между мерами и их X. ф., и на теореме об описании класса X. ф. В бесконечномерном случае прямые аналоги этих теорем не имеют места. Если последовательность вероятностных мер слабо сходится к то поточечно сходится к и эта сходимость равномерна на ограниченных множествах из если Кесть слабо относительно компактное семейство вероятностных мep в то семейство равностепенно непрерывно в сильной топологии пространства Обратные утверждения верны только в конечномерном случае. Однако условия сходимости и слабой относительной компактности семейств вероятностных мер можно выразить в терминах X. ф. (см. [2]). В отличие от конечномерного случая, не всякий положительно определенный нормированный (равный в нуле единице) непрерывный функционал является X. ф.- непрерывности в метрич. топологии не хватает. Топология в наз. достаточной, соответственно необходимой, если в этой топологии непрерывность положительно определенного нормированного функционала достаточна, соответственно необходима, для того чтобы он был X. ф. нек-рой вероятностной меры в Необходимая и достаточная топология наз. S-топологией. Пространство наз. S- пространством, если в существует S-топология. Гильбертово пространство является S-пространством (см. [3]).

Наиболее важный класс X. ф.- характеристич. функционалы гауссовских мер. Мора m в наз. центрированной гауссовской, если для всех

где R - ограниченный линейный положительный оператор из в -ковариационный оператор меры к-рый определяется соотношением

(см. [4]). В отличие от конечномерного случая, не всякий функционал вида (*) является X. ф.- нужны дополнительные ограничения на R, зависящие от пространства Напр., если то дополнительным (необходимым и достаточным) условием является условие где матрица оператора Rв естественном базисе (см. [5]). В частности, в гильбертовом пространстве дополнительным условием является ядерность оператора R.
Лит.:[1] Колмогоров А. Н., лС. r. Acad. sci.