«симплектическая структура»

мат. symplectic structure

СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА

- замкнутая невырожденная дифференциальнаяформа степени 2. Многообразие, снабжённое С. с., наз. симплектическиммногообразием. В каждом касательном пространстве С. с. задаёт кососкалярноепроизведение (см. в ст. Симплектическая группа). Кососкалярное произведение пары векторов можно принять за определение площади натянутого на них параллелограмма. <Поэтому на симплектич. многообразии определена площадь 2-мерных ориентированныхповерхностей. Условие замкнутости С. с. связывает кососкаляр-ные произведенияв соседних касательных пространствах таким образом, что (ориентированная)площадь (малой) замкнутой поверхности нулевая. Условие невырожденностикососкалярного произведения позволяет отождествить на симплектич. многообразиивекторы и ковекторы (линейные ф-ции от векторов):Оба условия вместе делают локальную геометрию С. с. универсальной (теоремаДарбу): в окрестности любой точки существуют координаты (p₁,...,p_n, q₁,..., q_n), называемыекоординатами Дарбу, в к-рых С. с. принимают вид Для сравнения заметим, что в римановой геометрии риманова метрика (скалярное произведение в касательных пространствах) приводится в подходящихлокальных координатах к виду (dx₁)² +...+(dх _n)² лишь с точностью до членов 2-го порядкамалости: (последние определяют кривизны риманова многообразия в данной точке).

С. с. естественным образом возникают в классич. механике, а также вкомплексной геометрии. Пусть М ^п - n -мерное комплексноемногообразие, G - эрмитова метрика на нём (т. е. эрмитово скалярноепроизведение в касательных пространствах). Если рассматривать М как2n-мерное вещественное многообразие, то g =ReG задаёт евклидовоскалярное, а - кососкалярное произведение в касательных пространствах. Эрмитова метрика G наз. кэлеровой структурой, если w является С. с., т. е. замкнута:dw=0. Последнее условие необходимо и достаточно для того, чтобыэрмитова метрика G в подходящих локальных комплексных координатахприводилась к виду

Примеры. 1) Комплексное проективное пространство по определению состоит из всех комплексных одномерных подпространств в .Касательное пространство отождествляется с эрмитово-ортого-нальной гиперплоскостью к прямой . относительно эрмитовой формы . Форма ,рассматриваемая на этой гиперплоскости, задаёт эрмитову форму в касательномпространстве к в точке х. Такие формы, определённые во всех точках ,задают эрмитову метрику на .Эта метрика кэлерова и называется метрикой Фубини - Штуди.

2) Комплексное алгебраич. многообразие - это комплексное подмногообразиев комплексном проективном пространстве. Ограничение метрики Фубини - Штудина такое подмногообразие наделяет его кэлеровой структурой. В частности, <алгебраич. многообразия обладают С. с. Более общо, комплексное подмногообразиекэлерова многообразия само кэлерово.

3) Гиперкэлерова структура (на 4n-мерном вещественном многообразии)состоит из трёх комплексных структур I, J, К, удовлетворяющихсоотношениям для образующих алгебры кватернионов|Н, и такой метрикиДирака , что соответствующие кососкалярные произведения замкнуты. <Т. <о., касательные пространства к гиперкэлерову многообразию несут структурукватернионного пространства, а само многообразие - риманову метрику, согласованную« тремя вещественными С. с., или в комплексной интерпретации - три кэлеровыструктуры Z_I, Z_J, Z_K и три комплексныеС. с. Z_I, Z_J, Z_K.

Отметим, что риманова метрика на 4-мерном ( п =1) гиперкэлеровоммногообразии имеет антиавтодуальную форму кривизны и автоматически удовлетворяетур-нию Эйнштейна (см. Тяготение). Само гиперкэлерово многообразиеназ. в этом случае гравитац. инстантоком, чем подчёркивается, чторечь идёт не о метрике Минковского, а о евклидовой версии общей теорииотносительности.

Лит. см. при ст. Симплектическое многообразие. А. Б. Гивенталъ.

инфинитезимальная структура1-го порядка на четномерном гладком ориентируемом многообразии М ²ⁿ, к-рая определяется заданием на М ^2п невырожденной 2-формы Ф. В каждом касательном пространстве Т _х( М ²ⁿ). возникает структура симплектич. пространства с кососимметрическим скалярным произведением Ф (X, Y). Все касательные к М ²ⁿ реперы, адаптированные к С. с. (т. е. реперы, относительно к-рых Ф имеет канонич. вид

образуют главное расслоенное пространство над М ²ⁿ, структурной группой к-рого является симплектич. группа Sр(n). Вообще, задание С. с. на М ^2п равносильно заданию Sp(n)-структуры на М ²ⁿ, как нек-рой G-cmpyкmypы.

На М ²ⁿ со С. с. существует изоморфизм между модулями векторных полей и 1-форм на M²ⁿ, к-рый векторному полю Xставит в соответствие 1-форму . Образ скобки Ли [X, Y]наз. при этом скобкой Пуассона [w_X, w_Y]; в частности, когда w_X и w_Y полные дифференциалы, получается понятие скобки Пуассона двух функций на M²ⁿ, к-рое обобщает соответствующее классич. понятие.

С. с. наз. почти гамильтоновой структурой, а если Ф замкнута, т. е. dФ=0, то гамильтоновой структурой; впрочем, иногда условие dФ=0 включают в определение С. с. Эти структуры, находящие применения в глобальной аналитич. механике, основаны на том факте, что на касательном расслоенном пространстве Т* (М).любого гладкого многообразия Мсуществует каноническая гамильтонова структура. Она определяется формой Ф=dq, где 1-форма q на Т*(M), наз. формой Лиувилля, задается следующим образом: q_u( Х _и)=и(p*Х _и).для любого касательного вектора Х _и в точке , где p - проекция . Если на Мвыбраны локальные координаты х ¹,..., х ^п и

, то , вследствие чего В классич. механике Минтерпретируется как конфигурационное пространство, а Т* (М).как фазовое пространство.

Векторное поле Xна М ²ⁿ с гамильтоновой структурой наз. гамильтоновым (или гамильтоновой системой), если 1-форма w_X замкнута. Если она, кроме того, точна, т. е. w_X=-dH, то функция Нна М ^2п наз. гамильтонианом и является обобщением соответствующего классического понятия.

Лит.:[1] Стернберг С., Лекции по дифференциальной геометрия, пер. с англ., М., 1970; [2] Годбийон К., Дифференциальная геометрия и аналитическая механика, пер. с франц., М., 1973. Ю. Г. Лумисте.