«Вариационное исчисление»

История происхождения В. исчисления следующая: в конце XVII и начале XVIII ст. многие знаменитые геометры, как, напр., Ньютон, Иоанн и Яков Бернулли, Лейбниц, Маклорен и др., обратили внимание на особый род математических вопросов, в которых требовалось определить вид кривой линии или поверхности при условии, чтобы некоторая величина, зависящая от вида кривой или поверхности, была наибольшая или наименьшая. Впервые встречается подобный вопрос в книге Ньютона: "Philosophiae naturalis principia mathematica", а именно вопрос о форме поверхности тела вращения, испытывающего наименьшее сопротивление движению со стороны окружающей его среды. Другой вопрос того же рода — вопрос о виде брахистохроны, предложенный Иоанном Бернулли (брахистохроной для какой-либо силы называют кривую, по которой материальная точка, подверженная этой силе, переходит в наивозможно краткое время из одной данной точки в другую). По мере накопления подобных вопросов выяснилась необходимость изыскать общий метод для их решения. Такой метод создан Эйлером ("Methodus inveniendi lineas curvas maximi vel minimi proprietate gaudentes..." 1744) после 16-летних изысканий над решениями разнообразных вопросов этого рода, и усовершенствован Лагранжем (см. "Théorie des Fonctions analytiques" и "Leçons sur le Calcul des Fonctions"). Метод этот есть метод вариаций и назван Лагранжем вариационным исчислением (Calcul des variations).

Простейшие вопросы В. исчисления заключаются в следующем: требуется найти такую функцию от x, которая, будучи подставлена вместо у в данную функцию F от х, у, dy/dx, d²y/dx²..., дала бы интегралу

наибольшую или наименьшую величину, при предположении, что х₁и x₂, а также и соответствующие им у₁и у₂имеют данные постоянные значения. Например, требуется найти кратчайшую кривую на плоскости между двумя данными точками. В этом случае интеграл, который должен получить наименьшее значение, будет

где x₁и x₂суть абциссы данных точек.

Другой пример: требуется провести такую кривую y = f(x) между двумя точками (х₁, у₁) и (x₂, y₂) на плоскости, чтобы поверхность, образуемая этою кривою при вращении плоскости вокруг оси X-ов, была наименьшею. В этом случае интеграл, долженствующий получить наименьшее значение, будет:

Метод решения подобных вопросов мы вкратце здесь изложим, главным образом для того, чтобы объяснить смысл слов: вариация и вариирование. Предположим, что искомая функция f(x) найдена и что проведена кривая линия y = f(x), делающая интеграл S наибольшим или наименьшим. В функции f(x), кроме x заключается один или несколько параметров, в качестве коэффициентов, оснований степеней, показателей и проч. Изменяя непрерывным образом величины этих параметров, мы получим другие кривые, отличающиеся видом и положением от искомой нами. При изменении параметров на бесконечно малые величины получим кривые, бесконечно близкие к рассматриваемой. Под вариацией от у подразумевается разность между ординатою бесконечно близкой кривой и ординатою рассматриваемой кривой при той же абциссе. Следовательно, вариация ординаты у есть приращение (положительное или отрицательное), получаемое этою ординатою при переходе от рассматриваемой кривой к кривой бесконечно близкой; это приращение обозначается через δу. Выше было сказано, что бесконечно близкая кривая получается через бесконсчно малое изменение параметров. Пусть параметры f(x) суть α, β, γ; бесконечно малые приращения их означим через δα, δβ, δγ. Пренебрегая бесконечно малыми величинами второго и высших порядков, можем выразить δу так:

δy = [df(x)/dα]δα + [df(x)/dβ]δβ + [df(x)/dγ]δγ.

Следовательно, варьирование ординаты у, или f(х) может быть рассматриваемо как дифференцирование по параметрам кривой.

При варьировании f(х) производные у', y "… от функции по x также получают бесконечно малые приращения, которые мы обозначим так: δу', δy",… Эти вариации производных можно представить так, например, δу':

δy' = (ddy/dαdx)δα + (ddy/dβdx)δβ + (ddy/dγdx)δγ

а так как изменения параметров совершенно не зависят от изменений абцисс x, то можно переменить порядок действий получения производных по x и по параметрам; самые приращения δα, δβ, δγ от x не зависят, а потому:

δy' = d/dx[(dy/dα)δα + (dy/dβ)δβ + (dy/dγ)δγ] = dδy/dx (A).

Точно так же можно показать, что:

δy " = d²δy/dx², …(A₁) и т. д.

При варьировании у, функция F(x, y, у', у",... ) получает приращение, равное:

ΔF = F(x, y + δy, y' + δy',…) — F(x, y, y',…).

Это приращение может быть представлено в виде ряда, расположенного по возрастающим степеням вариаций δy, δy', δy ". Вариацией первого порядка функции F называется та часть этого приращения, которая заключает сумму членов с первыми степенями вариаций δу, δy', δy^"… Эта вариация первого порядка от F обозначается также знаком δ, так что

δF = (dF/dy)δy + (dF/dy')δy' + (dF/dy ")δy " + …

Удвоенную сумму тех членов приращения F, которые заключают вторые степени и произведения вариаций δу, δу, δу"… по две, называют вариацией второго порядка от функции F и обозначают ее так: δ²F.

Если составить выражение приращения, получаемого интегралом (S), при варьировании ординаты у, то найдем, что оно равняется интегралу от ΔF и поэтому может быть представлено в виде суммы членов различного порядка малости. Сумма членов первого порядка малости образует вариацию первого порядка интеграла S:

Удвоенная сумма членов второго порядка малости образует вариацию второго порядка:

Составленное выражение δS может быть преобразовано таким образом, что оно будет заключать только δу, но не будет заключать вариаций от производных. На основании равенства (А), (А₁) и прочих дальнейших равенств того же рода, каждая из этих вариаций равняется соответственной производной по x от δу. Вследствие этого, помощью интегрирований по частям и приняв во внимание, что δу₁= 0 и δу₂= 0 (так как y₁и у₂имеют данные постоянные значения), получим:

где

(F) = dF/dy — d/dx(dF/dy') + d²/dx²(dF/dy ")

Для того, чтобы интеграл S был наибольшим или наименьшим, необходимо, чтобы δS была равна нулю, какою бы функцией от x ни была δу; а это вследствие разнообразия и произвольности вариаций δу возможно только тогда, когда (F) = 0. Этому-то дифференциальному уравнению и должна удовлетворять функция у = f(x), делающая S наибольшим или наименьшим.

Так, например, функция, делающая интеграл (1) наибольшим или наименьшим, должна удовлетворять дифференциальному уравнению:

из которого следует, что у' = С и у = Сх + С₁, где С и C₁— постоянные. Как и следовало ожидать, искомая линия — прямая.

Кривая, делающая интеграл (2) наибольшим или наименьшим, окажется цепною линией.

С надлежащими изменениями и дополнениями метод этот применяется и к тем случаям, когда не задаются точки, между которыми должна быть проведена кривая, а также и к тем случаям, когда ищется кривая, делающая интеграл S наибольшим или наименьшим, и вместе с тем делающая другой интеграл равным данной величине; последние вопросы принадлежат к роду вопросов об относительных maxima и minima. Затем этот метод распространяется и на вопросы более высшего рода, в которых требуется определение вида поверхностей, делающих наибольшим или наименьшим двойной интеграл данного вида и далее. В числе геометров, усовершенствовавших метод варьирования в применении к нахождению maxima и minima кратных интегралов, были: Гаусс ("Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibrii", "Gesammelte Werke" Bd. V); Пуассон (в "Mémoires de l'Académie des Sciences", vol. 12, 1833) — в применении к двойным интегралам; Остроградский ("Mémoire sur le calcul des variations des integrales multiples", в "Mem. de l'Acad. des Sciences de S-Pétersb." 1838; "Crelle's Journal", vol. XV), давший изящное выражение вариации многократного интеграла; Якоби ("Zur Theorie der Variations-rechnung und der Differentialgleichungen", в "Gesam. Werke", т. IV), положивший основание метода определения знака вариации второго порядка однократного интеграла. Достаточно полным руководством вариац. исчисления может служить: "Calcul des Variations р. Moigno et Lindelöf" (1861, четвертый том "Leçons de Calcul differentiel et integral p. Moigno"). История вариац. исчисления, начиная с Лагранжа и до 1860 г., изложена в книге Todhunter: "A History of the Progress of the Calculus of Variations during the nineteenth Century", 1861. О применении В. исчисления к механике см. статьи: Дифференциальные уравнения движения, Действие (начало наименьшего действия), Начало Гамильтона.

Д. Бобылев.

математическая дисциплина, посвященная отысканию экстремальных (наибольших и наименьших) значений функционалов — переменных величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций. В. и. является естественным развитием той главы математического анализа, которая посвящена задаче отыскания Экстремумов функций. Возникновение и развитие В. и. тесно связано с задачами механики, физики и т.д.

Одной из первых задач В. и. была знаменитая задача о брахистохроне (См. Брахистохрона)(И. Бернулли, 1696): определить форму кривой, лежащей в вертикальной плоскости, по которой тяжёлая материальная точка, двигаясь под действием только одной силы тяжести и не имеющая начальной скорости, перейдёт из верхнего положения А в нижнее положение В за минимум времени. Эта задача сводится к отысканию функции у(х), доставляющей минимум функционалу

где а и b— абсциссы точек А и В.

Другой такой же «исторической» задачей является задача об отыскании пути, вдоль которого распространяется свет, идущий от источника света (точка А)к некоторой точке В, в среде с переменной оптической плотностью (то есть в среде, где скорость распространения v есть функция координат). Для решения этой задачи может быть использован, так называемый, Ферма принцип, согласно которому из всех кривых, соединяющих точки А и В, луч света распространяется вдоль той, по которой свет приходит из A в B за кратчайшее время. В простейшем случае, когда свет распространяется в плоскости, задача сводится к отысканию кривой y(x), доставляющей минимум функционалу

Из разрозненных задач подобного рода постепенно в 18 в. начало формироваться В. и. Но и после оформления В. и. в самостоятельную дисциплину она продолжала оставаться связанной с различными проблемами механики и физики. На протяжении 2-й половины 18 в. и всего 19 в. делались интенсивные попытки построить здание механики, опираясь на некоторые общие вариационные принципы (см. Вариационные принципы механики). Со 2-й половины 19 в. начинают разрабатываться различные вариационные принципы в механике сплошных сред, затем позднее в квантовой механике, электродинамике и т.д. Возникают вариационные принципы и в средах с диссипацией энергии. Исследования во всех подобных областях продолжают служить базой формирования новых задач В. и. и областью приложения её методов. Однако со временем появились и новые классы задач, далеко раздвинувших традиционные границы дисциплины и превративших В. и. в одну из наиболее обширных ветвей современной математики, включающей в себя, с одной стороны, самые абстрактные вопросы, относящиеся в равной степени к топологии и функциональному анализу, а с другой — разнообразные вычислительные методы решения технических или экономических задач.

Прямые методы. В. и. как самостоятельная научная дисциплина сформировалась в 18 в., главным образом благодаря работам Л. Эйлера.

Простейшей задачей В. и. называют задачу отыскания функции x(t), доставляющей экстремум функционалу

где F — непрерывная и дифференцируемая функция своих аргументов. При этом функция x(t) должна удовлетворять следующим условиям:

а) она должна быть кусочно дифференцируемой,

б) при t = t_o и t = T она должна принимать значения

х (t_o) = х₀, х (Т) = х_т. (2)

Обе задачи, рассмотренные в начале статьи, являются частными случаями простейшей задачи В. и.

Первые вариационные задачи были задачами механики. Они были поставлены в 18 в. и, следуя традициям того времени, первый вопрос, на который надо было ответить, был вопрос о способе фактического отыскания функции x(t), реализующей минимум функционала (1).

Эйлер создал численный метод решения задач В. и., который получил название Эйлера метода ломаных (См. Эйлера метод ломаных). Этот метод был первым среди большого класса, так называемых, прямых методов (См. Прямые методы); все они основаны на редукции задачи отыскания экстремума функционала к задаче отыскания экстремума функции многих переменных. Поскольку для получения решения с высокой точностью задачу приходится сводить к отысканию экстремума функции с большим числом переменных, она становится весьма сложной для ручного счёта. Поэтому долгое время прямые методы были вне основного русла, по которому направлялись усилия математиков, занимавшихся В. и.

В 20 в. интерес к прямым методам значительно усилился. Прежде всего были предложены новые способы редукции к задаче об экстремуме функции конечного числа переменных. Поясним эти идеи на простом примере. Рассмотрим снова задачу отыскания минимума функционала (1) при дополнит. условии

x (t_o) = x (T) = 0 (3)

и будем разыскивать решение задачи в форме

где φ_n (t) — некоторая система функций, удовлетворяющих условиям типа (3). Тогда функционал J (x) становится функцией коэффициентов a_i:

J = J (a_i,..., a_N),

и задача сводится к отысканию минимума этой функции N переменных. При известных условиях, наложенных на систему функций {φ_n}, решение этой задачи стремится при N → ∞ к решению задачи (1) (см. Ритца и Галёркина методы).

Другая причина усиления интереса к прямым методам — это систематическое изучение конечноразностных методов в задачах математической физики, начавшееся с 20-х гг. 20 в. Применение ЭВМ превращает постепенно прямые методы в основной инструмент решения вариационных задач.

Метод вариаций. Второе направление исследований — это изучение необходимых и достаточных условий, которым должна удовлетворять функция x(t), реализующая экстремум функционала J (x).Его возникновение также связано с именем Эйлера. Предположим, что тем или иным способом построена функция x(t).Как проверить, является ли эта функция решением задачи? Первый вариант ответа на этот вопрос был дан Эйлером в 1744. В приведённой ниже формулировке этого ответа употребляется введённое в 60-х гг. 18 в. Ж. Лагранжемпонятие вариации (отсюда название — В. и.), являющееся обобщением понятия дифференциала на случай функционалов.

Пусть x(t)— функция, удовлетворяющая условию (2), a h (t) — произвольная гладкая функция, удовлетворяющая условию h (t_o) = h (T) = 0. Тогда величина

J (x + εh) = J*(ε),

где ε — произвольное действительное число будет функцией ε. Вариацией δJ функционала Jназывают производную

(dJ*/dε)_ε = 0.

Для простейшей задачи В. и.

Разлагая полученное выражение в ряд по степеням ε, получим

где о (ε) — члены более высокого порядка. Так как h(t_o) = h(T) = 0, то, проведя интегрирование по частям во втором интеграле, найдём

Пусть теперь x(t) реализует экстремум. Тогда функция J*(ε) имеет экстремум при ε = 0. Поэтому величина δJ должна обратиться в нуль. Отсюда следует: для того чтобы функция x(t) доставляла экстремум функционалу (1), необходимо, чтобы она удовлетворяла уравнению

называемому уравнением Эйлера.

Это — дифференциальное уравнение 2-го порядка относительно функции x(t). Необходимое условие δJ = 0 может быть применено в ряде случаев для эффективного отыскания решения вариационной задачи, поскольку функция x(t) необходимо должна быть решением краевой задачи x(t_o) = x_o, x(T) = x_T для уравнения (4). Если найдено это решение и оно единственно, то найдено тем самым и решение исходной вариационной задачи. Если краевая задача допускает несколько решений, то достаточно вычислить значение функционала для каждого из решений краевой задачи и выбрать из них то, которому отвечает наименьшее значение J(x). Однако указанный путь обладает одним существенным недостатком: не существует универсальных способов решения краевых задач для обыкновенных (нелинейных) дифференциальных уравнений.

Уже во 2-й половине 18 в. круг задач, изучаемых В. и., значительно расширился. Прежде всего основные результаты, относящиеся к простейшей задаче В. и., были перенесены на общий случай интегральных функционалов вида

где x(t)— вектор-функция произвольной размерности, и на функционалы ещё более общего вида.

Условный экстремум. Задача Лагранжа. В конце 18 в. был сформулирован ряд задач на условный экстремум. Этим термином принято называть задачи отыскания функции x(t), доставляющей экстремум функционалу J(x) при каких-либо дополнительных условиях, кроме условий на концах интервала (t₀, T). Простейшей задачей подобного вида является класс так называемых изопериметрических задач (См. Изопериметрические задачи). Своим названием этот класс задач обязан следующей: среди всех замкнутых кривых данной длины найти ту, которая ограничивает максимальную площадь.

Значительно более сложной задачей является та, в которой ограничения носят характер дифференциальных уравнений. Эту задачу называют задачей Лагранжа; особое значение она приобрела в середине 20 в. в связи с созданием теории оптимального управления (См. Оптимальное управление). Поэтому её формулировка даётся ниже на языке этой теории, возникшем после работ Л. С. Понтрягинаи его учеников.

Пусть x (t) и u (t) — вектор-функции размерностей n и m соответственно, причём функция x(t), которую называют фазовым вектором, при t = t_o и t = Tудовлетворяет граничным условиям:

x (t₀) ∈ ε₀, x (T) ∈ ε_T (5)

где ε₀ и ε_T — некоторые множества. Простейшим примером условий типа (5) являются условия (2). Функция x(t) и функция u(t), которую называют управлением, связаны условием

dx/dt = f (x, u, t), (6)

где f — дифференцируемая вектор-функция своих аргументов. Рассматриваемая задача состоит в следующем: определить функции x(t) и u(t), доставляющие экстремум функционалу

Заметим, что и простейшая задача В. и. и изопериметрическая задача являются частным случаем задачи Лагранжа.

Задача Лагранжа имеет огромное прикладное значение. Пусть, например, уравнение (6) описывает движение какого-либо динамического объекта, например космического корабля. Управление u — это вектор тяги его двигателя. Множества ε₀ и ε_T — это две орбиты разных радиусов. Функционал (7) описывает расход горючего на выполнение маневра. Следовательно, задачу Лагранжа, применительно к данной ситуации, можно сформулировать следующим образом: определить закон изменения тяги двигателя космического аппарата, совершающего переход с орбиты ε₀ на орбиту ε_T за заданное время так, чтобы расход топлива на этот маневр был минимальным.

Важную роль в теории подобных задач играет функция Гамильтона H (x, ψ, u) = (f, ψ) - F.

Здесь ψ— вектор, называется множителем Лагранжа (или импульсом), (f, ψ) означает скалярное произведение векторов f и ψ. Необходимое условие в задаче Лагранжа формулируется следующим образом: для того чтобы функции x̃(t) и ũ(t) была стационарной точкой функции Гамильтона Н (х, ψ, u),то есть, чтобы при

было ∂H/∂u = 0, где ψ — не равное тождественно нулю решение уравнения

∂ψ/t = —∂H/∂x = φ(x, ψ, u, t). (8)

Эта теорема имеет важное прикладное значение, так как она открывает известные возможности для фактического нахождения векторов x(t) и u(t).

Развитие В. и. в 19 в. Основные усилия математиков в 19 в. были направлены на исследование условий, необходимых или достаточных для того, чтобы функция x(t) реализовала экстремум функционала J(x). уравнение Эйлера было первым из таких условий; оно аналогично необходимому условию

которое устанавливается в теории функций конечного числа переменных. Однако в этой теории известны ещё и другие условия. Например, для того, чтобы функция f(x) имела в точке

каков бы ни был произвольный вектор h. Естественно поставить вопрос: в какой степени эти результаты переносятся на случай функционалов? Для того чтобы представить себе сложность, которая здесь возникает, заметим, что функция x̃(t) может реализовать минимум среди функций одного класса и не давать минимум среди функций другого класса и т.д.

Подобные вопросы послужили источником разнообразных и глубоких исследований А. Лежандра, К. Якоби, М. В. Остроградского (См. Остроградский), У. Гамильтона, К. Вейерштрасса и многих других. Эти исследования не только обогатили математический анализ, но и сыграли большую роль в формировании идей аналитической механики и оказали серьезное влияние на развитие разнообразных отделов теоретической физики.

Развитие В. и. в 20 в. В 20 в. возник целый ряд новых направлений В. и., связанных с интенсивным развитием техники, смежных вопросов математики и вычислительной техники. Одно из основных направлений развития В. и. в 20 в. — рассмотрение неклассических задач В. и., приведшее к открытию принципа максимума Л. С. Понтрягина.

Рассмотрим снова задачу Лагранжа: определить минимум функционала

при условии

фазовый вектор x(t) должен удовлетворять ещё некоторым граничным условиям.

В своей классической постановке условия задачи Лагранжа не предусматривают никаких ограничений на управление u(t).Выше (см. раздел Условный экстремум. Задача Лагранжа) подчёркивалась тесная связь между задачей Лагранжа и задачей управления. В рассмотренном там примере u(t)— тяга ракетного двигателя. Эта величина подчинена ограничениям: тяга двигателя не может превосходить некоторой величины, и угол поворота вектора тяги также ограничен. В данном конкретном примере компонента uⁱ(i = 1,2,3) вектора тяги двигателя подчинена ограничениям

где а^-_i и a⁺_i — некоторые заданные числа. Подобных примеров можно привести много.

Таким образом, в технике появилось много задач, которые сводятся к задаче Лагранжа, но при дополнительных ограничениях типа (10), записываемых в форме u ∈ G_u, где G_u — некоторое множество, которое, в частности, может быть замкнутым. Такие задачи получили название задач оптимального управления. В задаче Лагранжа можно исключить управление u(t) при помощи уравнения (8) и получить систему уравнений, которая содержит только фазовую переменную х и множитель Лагранжа φ. Для теории оптимального управления должен был быть разработан специальный аппарат. Эти исследования привели к открытию принципа максимума Л. С. Понтрягина. Он может быть сформулирован в форме следующей теоремы: для того чтобы функции x̃(t) и ũ(t) были решением задачи оптимального управления чтобы они доставляли минимум функционалу (9)], необходимо, чтобы u(t) доставляла максимум функции Гамильтона

где ψ — множитель Лагранжа (импульс), который является ненулевым решением векторного уравнения

Принцип максимума позволяет свести задачу оптимального управления к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений порядка 2n(n — размерность фазового вектора). Принцип максимума и в этом случае даёт более сильный результат, чем теорема Лагранжа, поскольку он требует, чтобы Н, а доставляло максимум Н.

Возможен и другой подход к тем же проблемам теории оптимального управления. Пусть s (х, t)— значение функционала (9) вдоль оптимального решения. Тогда для того чтобы функция ũ(t) была оптимальным управлением, необходимо (а в некоторых случаях и достаточно), чтобы функция s(х, t) удовлетворяла следующему дифференциальному уравнению с частными производными:

называемому уравнением Беллмана (см. Динамическое программирование).

Круг вопросов, которыми занимается В. и., непрерывно расширяется. В частности, всё большее и большее внимание уделяется изучению функционалов J(x) весьма общего вида, задаваемых на множествах G_x элементов из нормированных пространств. Для задач такого рода уже трудно использовать метод вариаций. Возникли новые методы, основанные на использовании понятия конуса в банаховых пространствах, опорных функционалов и т.д.

Уже в 19 в. была обнаружена глубокая связь между некоторыми проблемами теории уравнений с частными производными и вариационными задачами. П. Дирихле показал, что решение краевых задач для уравнения Лапласа эквивалентно решению некоторой вариационной задачи. Эта проблема привлекает к себе всё больше и больше внимания. Рассмотрим один пример.

Предположим, что имеется некоторое линейное операторное уравнение

Ax = f, (11)

где х (ξ, η) — некоторая функция двух независимых переменных, обращающаяся в нуль на замкнутой кривой Г. При предположениях, естественных для некоторого класса задач физики, задача отыскания решения уравнения (11) эквивалентна отысканию минимума функционала

где Ω — область, ограниченная кривой Г.

уравнение (11) в этом случае является уравнением Эйлера для функционала (12). Редукция задачи (11) к (12) возможна, например, если А — самосопряжённый и положительно определённый оператор. Оператор Лапласа

удовлетворяет этим требованиям. Связь между проблемами для уравнений с частными производными и вариационными задачами имеет большое практическое значение. Она позволяет, в частности, устанавливать справедливость различных теорем существования и единственности и сыграла важную роль в кристаллизации понятия об обобщённом решении. Эта редукция очень важна также и для вычислит, математики, поскольку она позволяет использовать прямые методы вариационного исчисления.

В перечислении основных разделов современного В. и. нельзя не указать на глобальные задачи В. и., решение которых требует качественных методов. Искомое решение вариационной задачи удовлетворяет некоторому сложному нелинейному уравнению и краевым условиям. Естественно поставить вопрос о том, сколько решений допускает эта задача. Примером такой задачи является вопрос о количестве геодезических, которые можно провести между двумя точками на заданной поверхности. Проблема подобного рода относится уже к компетенции качественной теории дифференциальных уравнений и топологии. Последнее обстоятельство очень характерно. Методы, специфические для смежных дисциплин, топологии, функционального анализа и т.д., всё шире начинают применяться в В. и. В свою очередь, идеи В. и. проникают во всё новые области математики, и грань между В. и. и смежными областями математики теперь провести уже трудно.

Лит.: Лаврентьев М. А., Люстерник Л. А., Курс вариационного исчисления, 2 изд., М. — Л., 1950; Блисе Г. А., Лекции по вариационному исчислению, пер. с англ., М., 1950; Михлин С. Г., Вариационные методы в математической физике, М., 1957; Смирнов В. И., Курс высшей математики, 5 изд., т. 4, М., 1958; Гельфанд И. М., Фомин С. В., Вариационное исчисление, М., 1961; Математическая теория оптимальных процессов, М., 1969.

Н. Н. Моисеев.

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ - раздел математики, посвященный нахождению наибольших и наименьших значений переменных величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций (такие величины называются функционалами). К числу задач вариационного исчисления относятся, напр., изопериметрические задачи.

мат. calculus of variations

variational calculation, calculus of variations

раздел математики, занимающийся решением задач, связанных с отысканием экстремальных значений; одной из таких задач является нахождение кривой, обращающей некоторую величину в минимум (или в максимум). И.Ньютон решил задачу такого типа, найдя форму поверхности вращения, при которой тело, двигаясь в сплошной среде, испытывает наименьшее сопротивление. Свои результаты Ньютон изложил в Математических началах натуральной философии (1687). В 1696 И.Бернулли сформулировал задачу о брахистохроне, или кривой наискорейшего спуска: найти траекторию, соединяющую две точки в вертикальной плоскости, двигаясь по которой материальная частица под действием только силы тяжести переместится из одной точки в другую за кратчайшее время. Различными методами и независимо друг от друга И.Бернулли и его брат Якоб доказали, что такой кривой является циклоида. Общая задача вариационного исчисления состоит в том, чтобы среди всех непрерывных дуг y = y(x), соединяющих две точки P1(x1, y1) и P2(x2, y2) плоскости и имеющих непрерывно поворачивающиеся касательные, найти такую дугу, для которой не обращающийся в бесконечность интеграл

принимал экстремальное значение. В 1744 Л.Эйлер опубликовал теорему, ставшую основой всего вариационного исчисления: всякая функция y, обращающая в минимум или максимум интеграл J, должна удовлетворять дифференциальному уравнению

Другие необходимые условия были открыты А. Лежандром в 1786, К. Якоби в 1837 и К. Вейерштрассом. В 1879 Вейерштрасс доказал ряд достаточных условий, позволяющих установить, доставляет ли та или иная дуга экстремальное значение интегралу J. Наглядным примером применения общей теории вариационного исчисления на плоскости служит задача о нахождении поверхности вращения с минимальной площадью, которая была изучена одной из первых. Любая дуга y = y(x), соединяющая две точки P1 и P2 на плоскости xy, порождает поверхность вращения вокруг оси x, площадь которой равна

Минимизирующая дуга должна принадлежать двупараметрическому семейству цепных линий

которое является общим решением уравнения Эйлера. Существование минимума проверяется с помощью теоремы Вейерштрасса о достаточном условии. Такую минимальную поверхность можно наглядно продемонстрировать посредством соответствующих физических приспособлений. Изготовим проволочную рамку, в которой осью x служит проволока, соединяющая центры двух колец с радиусами y1 и y2; каждое кольцо расположено в плоскости, перпендикулярной оси x. Если такую рамку опустить в мыльный раствор и затем вынуть, то оставшаяся на ней мыльная пленка примет форму минимальной поверхности, порожденной цепной линией (кольца должны находиться на небольшом расстоянии друг от друга). Рассматривались различные модификации этой простейшей задачи на плоскости. Концы дуги, один или оба, могут быть подвижными, как в задаче о нахождении кратчайшего расстояния между двумя кривыми на плоскости. Подробно изучалась задача о нахождении дуги y = y(x), для которой интеграл J принимает экстремальное значение, в то время как другой интеграл

остается постоянным. К задачам этого типа относится задача о нахождении плоской кривой заданной длины, ограничивающей наибольшую площадь. Такой кривой является окружность, но строгое доказательство этого утверждения непросто. В 1806 Ж. Лагранж обобщил полученные ранее результаты на случай (n + 1)-мерного пространства. Он сформулировал задачу следующим образом: среди непрерывных и имеющих непрерывные первые производные дуг yi = yi(x), i = 1,..., n, соединяющих две точки P1(x1, y1(x1),..., yn(x1)) и P2(x2, y1(x2),..., yn(x2)) и удовлетворяющих множеству независимых уравнений ja (x, y1,..., yn) = 0, a = 1,..., m < n, найти такую, для которой не обращающийся в бесконечность интеграл

принимает экстремальное значение. Эта задача имеет многочисленные приложения в физике и механике. Современные математики рассмотрели и другие обобщения общей задачи вариационного исчисления и посвятили им множество работ.

ЛИТЕРАТУРА

Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М., 1974 Коша А. Вариационное исчисление. М., 1983

вариацио́нное исчисле́ние

раздел математики, посвящённый нахождению наибольших и наименьших значений переменных величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций (такие величины называются функционалами). К числу задач вариационного исчисления относятся, например, изопериметрические задачи.

* * *

ВАРИАЦИО́ННОЕ ИСЧИСЛЕ́НИЕ, раздел математики, посвященный нахождению наибольших и наименьших значений переменных величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций (такие величины называются функционалами). К числу задач вариационного исчисления относятся, напр., изопериметрические задачи.

раздел мате-.матики, посвященный исследованию методов отыскания экстремумов функционалов, зависящих от выбора одной или нескольких функций при разного рода ограничениях (фазовых, дифференциальных, интегральных И т. п.), накладываемых на эти функции. Этими рамками обозначен класс задач, наз. еще задачами классического В. и. Иногда в термин "В. и." вкладывают более широкий смысл, понимая под ним тот раздел теории экстремальных задач, где исследование экстремумов проводят "методом вариаций" (см. Вариация), т. е. методом малого возмущения аргументов и функционалов; задачи, относящиеся к В. и. в этом широком смысле, противопоставляются дискретным задачам оптимизации.

Весьма широкий круг задач классич. В. и. описывает следующая схема. Требуется минимизировать функционал

при ограничениях типа равенств:

и некоторых краевых условиях: Задачи такого типа наз. Лагранжа задачами. Кроме задач Лагранжа, рассматривают еще Майера задачи, Больца задачи и ряд других.

Наиболее элементарной среди задач класспч. В. и. является простейшая задача В. и., когда в (1) tи ходномерны, ограничения (2) отсутствуют, а граничные условия закрепленные:

К этому типу относится задача о брахистохроне или о кривой наикратчайшего спуска. С задачей о брахистохроне обычно связывают начало истории классич. В. и.

Теоретич. основы классич. В. и. были заложены Л. Эйлером (L. Euler) и Ж. Лагранжем (J. Lagrange) в 18 в. Ими же были вскрыты важнейшие связи этой дисциплины с механикой и физикой. На первом же этапе развития В. и. усилиями в основном Г. Лейбница (G. Leibniz), Я. и И. Бернуллл (Jacob et Johann Bernoulli), Л. Эйлера и Ж. Лагранжа получили решение многие конкретные задачи (о геодезических, о поверхности вращения, ряд изопериметрич. задач и т. п.).

В В. и. изучаются алгоритмич. методы отыскания экстремумов, методы получения необходимых и достаточных условий, условия, гарантирующие существование экстремума, качественные вопросы и т. п. Среди алгоритмич. методов нахождения экстремумов важнейшее место занимают прямые методы.

Прямые методы. Л. Эйлер (1768) создал метод приближенного (численного) решения задач В. и., к-рый получил назв. метода ломаных Эйлера. С этого момента начались исследования путей численного решения экстремальных задач. Метод Эйлера был первым представителем большого класса методов, наз. прямыми методами В. и. Эти методы основаны на редукции задачи отыскания экстремума функционала к задаче ма-тематич. анализа об отыскании экстремума функции многих переменных.

Метод ломаных Эйлера в применении к задаче (3) состоит в следующем. Интервал разбивается на Л' равных частей точками Значения функции в этих точках обозначены соответственно. Каждая совокупность точек определяет нек-рую ломаную. Ставится задача: среди всех возможных ломаных, соединяющих точки найти ту, к-рая доставляет функционалу (1) экстремальное значение. Значение производной на отрезке будет: . Функционал превращается в функцию конечного числа переменных : и задача (3) сводится к задаче отыскания экстремума функции . Для того чтобы ломаная Эйлера, реализующая экстремум этой функции, аппроксимировала решение задачи (3) с высокой точностью, число N должно быть, вообще говоря, достаточно велико. При этом объем вычислений для отыскания экстремума функции (3) столь велик, что проведение вычислений "вручную" весьма сложно. Поэтому долгое время прямые методы были в стороне от основных исследований но В. и.

В 20 в. интерес к прямым методам значительно возрос. Прежде всего были предложены новые способы редукции к задаче об экстремуме функции конечного числа переменных. Эти идеи могут быть пояснены на примере минимизации функционала (3) при условии

Пусть разыскивается решение задачи в форме

где - некоторая система функций, удовлетворяющих условиям . Тогда функционал становится функцией коэффициентов и задача сводится к отысканию экстремума этой функции N переменных. При нек-рых условиях, наложенных на систему функций , решение задачи стремится при к решению задачи (3) (см. Галеркина метод).

Метод вариаций. Второе направление исследований- изучение необходимых и достаточных условий, к-рым должна удовлетворять функция , реализующая

экстремум функционала . Основным методом получения необходимых условий является метод вариаций. Пусть тем или иным способом построена нек-рая функция . Как проверить, является ли эта функция решением вариационной задачи (3)? Первый вариант ответа на этот вопрос был дан Л. Эйлером (1744). В приведенной ниже формулировке ответа употребляется введенное Ж. Лагранжем (1762) понятие вариации (отсюда назв. "В. и.") функционала (см. Вариация, Вариация функционала). Для простейшей задачи В. и.:

где - произвольная гладкая функция, удовлетворяющая условиям . Условие является необходимым, для того чтобы функция реализовала экстремум функционала (3). Отсюда и из выражения для вариации следует: для того чтобы функция доставляла экстремум функционалу (3), необходимо, чтобы она удовлетворяла следующему дифференциальному уравнению 2-го порядка относительно функции :

(4)

Это уравнение наз. Эйлера уравнением, а интегральные кривые этого семейства - экстремалями рассматриваемой вариационной задачи. Функция , на к-рой достигает экстремума, необходимо должна быть решением краевой задачи для уравнения (4). Таким образом, возникает второй путь решения экстремальной задачи: надо решить краевую задачу для уравнения Эйлера (в регулярных случаях при этом получится лишь конечное число решений), л далее надо каждую из полученных экстремалей подвергнуть дополнительному исследованию, чтобы определить, имеется ли среди них кривая, дающая решения задачи. Однако указанный метод обладает тем существенным недостатком, что не имеется универсальных способов решения краевых задач для обыкновенных (нелинейных) дифференциальных уравнений.

Весьма часто встречаются вариационные задачи с подвижными концами. Напр., в простейшей задаче точки и могут перемещаться вдоль заданных.кривых. Для задач с подвижными концами из условия выводятся дополнительные условия, к-рым должны удовлетворять подвижные концы,- так наз. трансверсальности условия, к-рые в совокупности с граничными условиями приводят к замкнутой системе условий для краевой задачи.

Основные результаты, относящиеся к простейшей задаче В. и., переносятся на общий случай функционалов вида

где - вектор-функция произвольной размерности (см. [3]).

Задача Лагранжа. Л. Эйлер и Ж. Лагранж изучали и задачи на условный экстремум. Простейшим классом задач подобного рода является класс так наз. изопериметрических задач. Ж. Лаграшк выделил (в случае, когда tодномерно) класс задач (1), (2) и получил для них аналог уравнения Эйлера с привлечением так наз. множителей Лагранжа. Такой аналог получается и для самого общего случая - задачи (1), (2). Особое значение задача Лагранжа приобрела в середине 20 в. в связи с созданием оптимального управления математической теории. Далее основные результаты, касающиеся задачи Лагранжа, даются на языке этой теории, возникшем после работ Л. С. Понтрягина и его учеников.

Рассмотрим тот случай, когда в задаче (1), (2) tодномерно и система может быть частично разрешена относительно последних переменных. Тогда получается задача о минимизации функционала

при дифференциальной

связи и граничных условиях:

В (5) - (7) - вектор-функция, наз. фазовым вектором, - вектор-функция, наз. управлением,

Примером граничных условий типа (7) могут служить закрепленные условия как в задаче (3). В задачах оптимального управления помимо условий (6) и (7) накладывают еще и "неклассическне" условия, напр.

Слабый и сильный экстремумы. В В. и. обычно различают две топологии - сильную и слабую, и в соответствии с этим оперируют понятиями сильного и слабого экстремумов. Напр., в применении к задаче (3) говорят, что кривая реализует слабый минимум, если можно указать такое , что для всех непрерывно дифференцируемых функций , удовлетворяющих условиям: и

Иными словами, здесь фиксируется близость не только фазовых переменных, но и скоростей (управлений). Говорят, что функция доставляет сильный экстремум, если можно указать такое , что для всех допустимых абсолютно непрерывных функций. (для к-рых существует), удовлетворяющих условиям и

Здесь фиксируется лишь близость фазовых переменных.

Если реализует сильный экстремум, то эта функция реализует тем более и слабый экстремум, поэтому достаточные условия сильного экстремума являются достаточными условиями и слабого. С другой стороны, из отсутствия слабого экстремума следует отсутствие сильного экстремума, т. е. необходимые условия слабого экстремума являются необходимыми условиями сильного экстремума.

Необходимые и достаточные условия экстремума. Уравнение Эйлера, о к-ром рассказывалось выше, представляет собой необходимое условие слабого экстремума. В конце 50-х гг. 20 в. Л. С. Понтрягиным был выдвинут принцип максимума для задач (5) - (8), являющийся необходимым условием сильного экстремума. Принцип максимума гласит:, если пара ( х, и).доставляет сильный экстремум в задаче (5) - (8), то найдутся вектор-функция и число такие, что для функции Гамильтона выполняются следующие соотношения:

Если приложить принцип максимума Понтрягина к задаче (3), то получится, что для того чтобы кривая x(t)доставляла сильный минимум в задаче (3), необходимо, чтобы она была экстремалью (т. е. удовлетворяла уравнению Эйлера (4)) и, кроме того, чтобы выполнялось необходимое условие Вейерштрасса:

- так наз. -функция Вейерштрасса.

Помимо условий типа (4) и (10), носящих локальный характер (т. е. проверяемых в каждой точке экстремали), имеется необходимое условие глобального характера, связанное с поведением множества экстремалей, близких к заданной экстремали (см. Якобы условие). Для задачи (3) условие Якоби состоит в следующем. Для того чтобы экстремаль x(t) доставляла минимум в задаче (3), необходимо, чтобы решение уравнения ( Якоби уравнения)

с краевыми условиями не имело бы нулей в интервале . Нули решения уравнения (11) наз. точками, сопряженными с точкой . Таким образом, условие Якоби заключается в том, что интервал не должен содержать точек, сопряженных с .

Необходимые условия слабого минимума , являются точными аналогами условий минимума для функций одного переменного. Условие Якоби при выполнении Лежандра условия (усиленного) является необходимым условием неотрицательности второй вариации. Это приводит к следующему результату: для того чтобы функция x(t).реализовывала слабый минимум функционала (3), необходимо, чтобы: а) функция удовлетворяла уравнению Эйлера, б) выполнялось условие Лежандра в) интервал не содержал точек, сопряженных с точкой t₀ (при условии, что выполняется усиленное условие Лежандра).

Достаточные условия слабого минимума таковы: функция x(t).должна быть экстремалью, на ней выполняется усиленное условие Лежандра и полуинтервал не содержит точек, сопряженных с точкой t₀ . Для того чтобы кривая доставляла сильный минимум, достаточно, чтобы, помимо сформулированных достаточных условий слабого минимума, выполнялось Вейерштрасса условие достаточное.

Задачи оптимального управления. Одним из основных направлений развития В. и. являются неклассич. задачи В. и., подобные сформулированной выше задаче (5) - (8). Задачи, укладывающиеся в эту схему, имеют огромное прикладное значение. Пусть, напр., уравнение (6) описывает движение нек-рого динамич. объекта, напр, космич. корабля. Управление - вектор и - тяга его двигателя. Начальное положение корабля - это нек-рая орбита, конечное положение - это орбита другого радиуса. Функционал J описывает расход горючего на выполнение маневра. Тогда задачу (5) - (7) можно применительно к данной ситуации сформулировать следующим образом: определить закон изменения тяги двигателя космич. аппарата, совершающего переход с одной орбиты на другую за фиксированное время так, чтобы расход топлива был минимальным. При этом необходимо учитывать ограничения на управления: тяга двигателя не может превосходить нек-рой величины и угол поворота тяги также ограничен.

Таким образом, в данном примере получается, что компоненты вектора тяги подчинены ограничениям где и - нек-рые заданные числа.

Имеется большое число задач, к-рые сводятся к задаче Лагранжа, но при дополнительном ограничении типа (8). Такие задачи получили назв. задач оптимального управления. Для теории оптимального управления должен был быть разработан специальный аппарат. Им и явился принцип максимума Понтрягина.

Возможен и другой подход к тем же проблемам теории оптимального управления. Пусть - значение функционала (5) вдоль оптимального решения от точки до точки . Тогда для того чтобы функция и(t).была оптимальным управлением, необходимо (а в нек-рых случаях и достаточно), чтобы удовлетворялось следующее дифференциальное уравнение с частными производными

наз. уравнением Беллмана (см. Динамическое программирование). Для задач класснч. В. и. S-функция (или функция действия) должна удовлетворять уравнению Гамильтона-Якоби:

где H - Гамильтона функция. Для задачи (3) функция есть Лежандра преобразование по хинтегранта Теория Гамильтона - Якоби является мощным инструментом исследования многих важнейших задач вариационного типа, связанных с классич. механикой. Связь В. и. с задачами теории уравнений с частными производными была обнаружена уже в 19 в. П. Дирихле (P. Dirichlet) показал, что решение краевых задач для уравнения Лапласа эквивалентно решению нек-рой вариационной задачи. Пусть, напр., имеется нек-рое линейное операторное уравнение

где - нек-рая функция двух независимых переменных, обращающаяся в нуль на замкнутой кривой Г. В предположениях, естественных для нек-рого класса задач физики, задача отыскания решения уравнения (8) эквивалентна отысканию минимума функционала

где - область, ограниченная кривой Г. Уравнение (12) в этом случае является уравнением Эйлера для функционала (13).

Редукция задачи (12) к (13) возможна, напр., если А - самосопряженный и положительно определенный оператор. Связь между проблемами для уравнений с частными производными и вариационными задачами позволяет, в частности, устанавливать справедливость различных теорем существования и единственности; она сыграла важную роль в кристаллизации понятия обобщенного решения. Эта редукция очень важна и для вычислительной математики, поскольку она позволяет использовать прямые методы В. п. для решения краевых задач теории уравнений с частными производными.

Качественные методы исследования задач В. и. дают возможность ответить на вопросы о существовании решений, об их числе, о качественных особенностях экстремалей и их семейств. В 20 в. была установлена зависимость числа решений вариационных задач от свойств пространства, на к-ром определен функционал. Так, напр., если функционал J задан на всевозможных гладких кривых тора (на торе), соединяющих две фиксированные точки, или если функционал J задан на всевозможных замкнутых кривых поверхности, топологически эквивалентной тору, то в обоих случаях число критич. элементов - линий, на к-рых вариация , бесконечно. Л. А. Люстерник и Л. Г. Шнирельман (7) доказали, что на каждой поверхности, топологически эквивалентной сфере, существует по крайней мере три самопересекающиеся замкнутые геодезические различной длины; если же длины хотя бы двух из этих геодезических совпадают, то существует бесконечное множество замкнутых геодезических равной длины. Проблемы подобного рода указывают на тесную связь В. и. с качественной теорией дифференциальных уравнений и топологией. При исследовании качественных методов сыграло большую роль развитие функционального анализа. См. также Вариационное исчисление в целом.

Связь В. и. с теорией конусов. Круг вопросов, к-рыми занимается В. и., непрерывно расширяется. В частности, все большее и большее внимание уделяется Хизучению функционалов весьма общего вида, задаваемых на множествах элементов нормированных пространств. Для задач такого рода уже трудно ввести понятие вариации. Потребовалось привлечение нового аппарата исследования. Таким аппаратам оказалась теория конусов в банаховых пространствах. Напр., пусть поставлена задача о минимуме f(x), где х- элемент замкнутого множества G. Конусом наз. множество ненулевых векторов е, каждому из к-рых можно поставить в соответствие положительное число таким образом, чтобы вектор для любого . Конусом наз. множество ненулевых векторов е, каждому из к-рых можно поставить в соответствие положительное таким образом, чтобы

для любого . Для того чтобы х ₀ реализовал минимум функции , необходимо, чтобы пересечение конусов и было пустым. Это условие столь же элементарно, как и условие обращения в нуль вариации, однако из него вытекают не только те результаты, к-рые можно получить классич. методами В. и.; оно позволяет подойти к проблемам гораздо более сложным, напр, к исследованию экстремальных значений недифференцируемых функционалов (см. [6]). Лит.:[1] Смирнов В. И., Курс высшей математики, 5 изд., т. 4, М., 1958; [2] Лаврентьев М. А., Люстерник Л. А., Курс вариационного исчисления, 2 изд., М.- Л., 1950; [3] Блисс Г. А., Лекции по вариационному исчислению, пер. с англ., М., 1950; [4] Михлин С. Г., Вариационные методы в математической физике, М., 1957; [5] Понтрягин Л. С. (и дрт), Математическая теория оптимальных процессов, 2 изд., М., 1969; [6J Пшеничный Б. Н., Необходимые условия экстремума, М., 1969; [7] Люстерник Л. А., Шнирельман Л. Г., Топологические методы в вариационных задачах, М., 1930. Н. Н. Моисеев.

численные методы - раздел вычислительной математики, посвященный методам отыскания экстремальных значений функционалов.

Численные методы В. и. принято разделять на два больших класса: непрямые и прямые методы. Непрямые методы основаны на использовании необходимых условий оптимальности (см. Вариационное исчисление, Эйлера уравнение, Вейерштрасса условия, Трансверсальности условие, Понтрягина принцип максимума), с помощью к-рых исходная вариационная задача сводится к краевой задаче. Поэтому вычислительные достоинства и недостатки непрямых методов полностью определяются свойствами соответствующей краевой задачи. Прямые методы ориентированы на непосредственное отыскание экстремума функционала. Используемые при этом методы оптимизации являются развитием идей математнч. программирования.

Разделение численных методов В. и. на прямые и непрямые весьма условно. Нек-рые алгоритмы используют элементы обоих подходов. Кроме того, существуют методы, к-рые непосредственно не относятся к двум выделенным классам. Например, методы, основанные на достаточных условиях оптимальности, образуют самостоятельную группу.

Первые численные методы В. и. появились в работах Л. Эйлера (L. Euler). Однако наибольшее развитие они получили с 50-х гг. 20 в. в результате распространения вычислительной техники и открывшейся в связи с этим возможностью решения сложных технич. задач. При этом разработка численных методов В. и. шла в основном применительно к задачам теории оптимального управления - наиболее важного для практич. приложений раздела В. и. (см. Оптимального управления математическая теория).

Непрямые методы. С появлением принципа максимума Понтрягина (1956) сведение вариационных задач к краевым стало особенно популярным.

Пусть в задаче оптимального управления требуется найти траекторию и управление , доставляющие минимум функционалу

при дифференциальных связях:

граничных условиях:

и ограничениях на управление:

где - векторы фазовых координат и управлений, , - замкнутое множество m-мерного пространства, t - независимое переменное (время).

Согласно принципу максимума Понтрягина, оптимальное управление должно при каждом tдоставлять абсолютный максимум Гамильтона функции

где определяется системой уравнений

Из условия (6) находится управление и подставляется в (2) и (7). В результате получается замкнутая краевая задача для системы 2n дифференциальных уравнений (2) и (7) с 2n граничными условиями (3) и (4).

Наиболее распространенной схемой численного решения этой краевой задачи является схема, использующая метод Ньютона с дроблением шага (см. [3]). При этом вводится вектор невязки

где значение получается из решения задачи Коши для системы (2), (7) с начальными условиями (3) и Невязки (8) рассматриваются как функции от неизвестных к-рые определяются из системы уравнений

Решение системы (9) проводится Ньютона методом;используемые при этом частные производные

определяются численно по формуле

где значения получаются путем решения задачи Коши для системы (2), (7) с начальными условиями (3) и условпями

- малое приращение величины .

Для определения частных производных известен более точный, но громоздкий метод (см. [4]), в к-ром используется интегрирование системы 2n уравнений в вариациях для системы (2), (7).

Трудности в использовании метода Ньютона связаны, во-первых, с проблемой выбора удачного начального приближения для и, во-вторых, с неустойчивостью задачи Коши, к-рая особенно сильно проявляется на больших интервалах . Для преодоления первой трудности не существует универсального подхода. Для преодоления неустойчивости задачи Коши имеется ряд приемов (Коши задача;численные методы).

В тех случаях, когда граничные условия и функционал заданы в более общем виде, чем в (3), (4) и (1) [напр., Больца задача с подвижными концами, вариационная задача со свободными (подвижными) концами], к необходимым условиям оптимальности (6), (7) добавляются трансверсальности условия. После исключения входящих в эти условия произвольных постоянных получаются замкнутая краевая задача и отвечающая ей система уравнений типа (9).

Решение системы (9) может отыскиваться любым другим методом, применяемым для решения нелинейных систем.

Специфич. методы разработаны для решения краевых задач частного вида. Так, линейные краевые задачи решаются методом переноса граничных условий (прогонки метод). Этот метод также используется в качестве составного элемента для итеративного решения.нелинейных краевых задач (см. [1]).

Эффективность и относительная простота реализации непрямых методов на ЭВМ сделали их весьма распространенным средством для решения задач вариационного исчисления. Однако эти методы не стали универсальными: для некоторых важных классов задач В. и., например, содержащих фазовые ограничения, выписывание необходимых условий оптимальности затруднено и приводит к краевым задачам со сложной структурой. Кроме того, необходимые условия не гарантируют, что найденное решение доставляет относительный экстремум функционалу. Для проверки приходится привлекать достаточные условия оптимальности. Все это ограничивает сферу применения непрямых методов.

Прямые методы. Первый прямой метод был предложен Л. Эйлером для решения простейшей задачи В. и. Этот метод известен под названием метода ломаных Эйлера (или конечно разностного метода Эйлера) и заключается в том, что функционал