«условное математическое ожидание»

conditional expectation

случайной величины-функция элементарного события, характеризующая случайную величину по отношению к нек-рой -алгебре. Пусть -вероятностное пространство, Х - заданная на нем случайная величина с конечным математич. ожиданием, есть -алгебра, У. м. о. случайной величины Xотносительно -алгебры наз. случайная величина измеримая относительно -алгебры и такая, что

для каждого Если математич. ожидание случайной величины Xбесконечно (но определено), т. е. конечна только одна из величин и то определение У. м. о. посредством (*) имеет смысл, но может принимать бесконечные значения.

У. м. о. определяется однозначно с точностью до эквивалентности. В отличие от математического ожидания, являющегося числом, У. м. о. представляет собой функцию (случайную величину).

Свойства У. м. о. аналогичны свойствам математич. ожидания:

1) если почти наверное

2) для любого действительного с;

3) для любых действительных и

4)

5) для выпуклых функций g(x).

Кроме того, имеют место следующие специфические для У. м. о. свойства:

6) если -тривиальная -алгебра, то

7)

8)

9) если Xне зависит от -алгебры то

10) если Yизмерима относительно -алгебры то

Имеет место теорема о сходимости под знаком У. м. о.: если X₁, Х₂,... - последовательность случайных величин, п=1, 2,.... и почти наверное, то почти наверное

У. м. о. случайной величины Xотносительно случайной величины Yопределяется как У. м. о. Xотносительно -алгебры, порожденной У.

Частным случаем У. м. о. является условная вероятность.

Лит.:[1] Колмогоров А. Н., Основные понятия теории вероятностей, 2 изд., М., 1974; [2] Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973; [3] Невё Ж., Математические основы теории вероятностей, пер. с франц., М., 1969; [4] Лоэв М., Теория вероятностей, пер. с англ., М., 1962.

Н. Г. Ушаков.