«Гиперболические функции»

По аналогии с тригонометрическими функциями Sinx, cosx, определяемыми, как известно, при помощи Эйлеровых формул

sinx = (e^xi— e^—xi)/2i, cosx = (e^xi+ e^—xi)/2

(где е есть основание нэперовых логарифмов, a i = √[-1]); иногда вводятся в рассмотрение так называемые Г. функции sinhypx, coshypx. Эти функции определяются при помощи уравнений

sinhyp x = (e^x— e^—x)/2, coshyp x = (e^x+ e^—x)/2.

Название Г. эти функции получают от того, что их можно выводить из рассмотрения равносторонней гиперболы (см. Гипербола), как тригонометрические функции получаются из круга. Возьмем круг радиуса = 1 и равностороннюю гиперболу с полуосью, равной единице. Проведем в гиперболе оси ОА и OB и точно так же в круге возьмем два взаимно-перпендикулярных диаметра. Начиная от точки А на круге и на гиперболе, возьмем дуги АС такие, чтобы площади соответственных секторов ОАС (см. чертежи) равнялись некоторому числу z.

Черт. 3.

Из конца дуги С опустим перпендикуляр CD на диаметр OA. Тогда получим следующее: в круге длина дуги АС будет равна, очевидно, 2z, ибо площадь сектора

но R = 1; CD для круга будет sin2z, a OD будет cos2z. Подобным же образом для гиперболы OD будет coshyp2z, a CD будет sinhyp2z. Обозначая OD через х, CD через у, мы получим уравнение круга в виде

x²+ y²= 1,

а уравнение гиперболы в виде

x²— y²= 1;

отсюда мы замечаем, что между гипербол. функциями должно существовать соотношение

coshyp²x — sinhyp²x = 1,

аналогичное с тригонометрическим

cos²x + sin²x = 1.

Черт. 4.

Кроме того, можно вводить функцию

tghypx = sinhypx/coshypx.

Теорема сложения Г. функций аналогична с соответственной теоремой тригонометрических. Эта теорема выражается формулами:

sinhyp(x + y) = sinhypx×coshypy + coshypx×sinhypy

и

coshyp(x + у) = coshypx×coshypy — sinhypx×sinhypy.

Д. Гр.

функции, определяемые формулами:

(гиперболический синус),

(гиперболический косинус).

Иногда рассматривается также гиперболический тангенс:

(графики Г. ф. см. нарис. 1). Г. ф. связаны между собой соотношениями, аналогичными соотношениям между тригонометрическими функциями:

Г. ф. можно выразить через тригонометрические:

Геометрически Г. ф. получаются из рассмотрения равнобочной гиперболы х²—у² = 1, которую можно задать параметрическими уравнениями х = ch t, у = sh t, аргумент t представляет двойную площадь сектора гиперболы ОАС (см.рис. 2).

Обратные Г. ф. (ареа-синус гиперболический и ареа-косинус гиперболический) определяются формулами:

Лит.: Янпольский A. Р., Гиперболические функции, М., 1960.

Рис. 1 — слева, и рис. 2 — справа к ст. Гиперболические функции.

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ функции - функции, определяемые формулами: (гиперболический синус), (гиперболический косинус), (гиперболический тангенс).

hyperbolic functions

гиперболи́ческие фу́нкции

функции, определяемые формулами: shx = (e^x – e^-x)/2 (гиперболический синус), chx = (e^x + e^-x)/2 (гиперболический косинус), thx = shx/chx (гиперболический тангенс). Графики гиперболических функций см. на рис.

* * *

ГИПЕРБОЛИ́ЧЕСКИЕ ФУ́НКЦИИ, функции, определяемые формулами:

(гиперболический синус),

(гиперболический косинус),

(гиперболический тангенс).

функции, определяемые формулами:

- гиперболический синус,

-г иперболический косинус.

Иногда рассматривается также гиперболический тангенс;

Другие обозначения: sinh x,Sh x,cosh x, Ch x,tgh x,tanh x,Th x. Графики см. на рис. 1.

Основные соотношения:

Геометрическая интерпретация Г. ф. аналогична интерпретации тригонометрических функций (рис. 2). Параметрич. уравнения гиперболы позволяют истолковать абсциссу и ординату точки Мравносторонней гиперболы как гиперболнч. косинус и синус; гиперболич. тангенс-отрезок АВ. Параметр tравен удвоенной площади сектора ОАМ, где AM - дуга гиперболы. Для точки (при ) параметр tотрицателен. Обратные гиперболические функции определяются формулами:

Производные и основные интегралы от Г. ф.:

Во всей плоскости комплексного переменного z Г. ф. и могут быть определены рядами:

таким образом,

Имеются обширные таблицы для Г. ф. Значения Г. ф. можно получить также из таблиц для е ^х и е ^-х.

Лит.:[1] Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф., Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, 2 изд., пер. с нем., М., 1968; [2] Таблицы круговых и гиперболических синусов и косинусов в радиацией мере угла, М., 1958; [3] Таблицы е ^x и е ^-x, М., 1955. В. И. Битюцков.

Функции. определяемые ф-лами:

(гиперболич. синус),

(гиперболич. косинус),

(вставить рисунки!!!)

Графики гиперболических функций

функции, определяемые формулами: shx = (e^x-e^-x)/2(гинерболич. синус), chх - (е^x + е^-к)/2 (гиперболич. косинус), thх = shx/chx (гиперболич. тангенс). Графики Г. ф. см. на рис.