Большой англо-русский и русско-английский словарь
мат. free algebra
Математическая энциклопедия
над ассоциативно-коммутативным кольцом Ф - свободная алгебра многообразия алгебр над Ф (см. Кольца и алгебры). Элементами такой С. а. со свободной порождающей системой Xслужат линейные комбинации элементов свободного группоида со свободной порождающей системой Xс коэффициентами из Ф. Другими словами, эта С. а. является свободным модулем над Ф с вышеупомянутым группоидом в качестве базы. Если Ф - кольцо целых чисел, то С. а. над Ф наз. с в о б о д н ы м к о л ь ц о м (ср. Свободная ассоциативная алгебра). Ненулевая подалгебра С. а. над полем Ф сама является С. а.
Л. А. Скорняков ..
Математическая энциклопедия
к л а с с а 
универсальных алгебр - алгебра Fиз класса 
, обладающая с в о б о д н о й п о р о ж д а ю щ е й с и с т е м о й (или б а з о й) X, т. е. таким множеством порождающих X, что всякое отображение множества Xв любую алгебру Аиз 
продолжается до гомоморфизма алгебры Fв А(ср. Свободная алгебраическая система). С . а. обладает любой непустой класс алгебр, замкнутый относительно подалгебр и прямых произведений и содержащий неодноэлементные алгебры. В частности, С. а. всегда существует в нетривиальных многообразиях и квазимногообразиях универсальных алгебр (см. Универсальных алгебр многообразие, Алгебраических систем квазимногообразие). С. а. класса, состоящего из всех алгебр данной сигнатуры 
, наз. а б с о л ю т н о с в о б о д н о й. Алгебра Асигнатуры 
является С. а. нек-рого класса универсальных алгебр сигнатуры 
тогда и только тогда, когда A внутренне свободна, т. е. обладает таким порождающим множеством X, что всякое отображение Xв Апродолжается до эндоморфизма алгебры А. Если С. а. обладает бесконечной базой, то все ее базы имеют одну и ту же мощность (см. Свободная абелева группа, Свободная алгебра над ассоциативно-коммутативным кольцом, Свободная ассоциативная алгебра, Свободная булева алгебра, Свободная группа, Свободная полугруппа, Свободная решетка, Свободный группоид, Свободный модуль, а также Свободное произведение). Ясно, что каждый элемент С. а. с базой Xзаписывается как слово в алфавите Xвсигнатуре рассматриваемого класса. Естествен вопрос: когда различные слова равны как элементы С. а.? В нек-рых случаях ответ почти тривиален (полугруппы, кольца, группы, ассоциативные алгебры), в других - достаточно сложен (алгебры Ли, решетки, булевы алгебры), а иногда и не поддается решению (альтернативные кольца). Л. А. Скорняков.