«Размерность»

I

Разме́рность (число измерений)

геометрической фигуры, число, равное единице, если фигура есть линия; равное двум, если фигура есть поверхность; равное трём, если фигура представляет собой тело. С точки зрения аналитической геометрии Р. фигуры равна числу координат, нужных для определения положения лежащей на этой фигуре точки; например, положение точки на кривой определяется одной координатой, на поверхности — двумя координатами, в трёхмерном пространстве — тремя координатами. Геометрия до середины 19 в. занималась только фигурами первых трёх Р. С развитием в середине 19 в. понятия о многомерном пространстве (См. Многомерное пространство)геометрия начинает заниматься фигурами любой Р. Простейшими фигурами размерности mявляются m-мерные многообразия (См. Многообразие); m-мерное многообразие, расположенное в n-меpном пространстве, задаётся при помощи n — mуравнений (например, линия, т. е. одномерное многообразие, в трёхмерном пространстве задаётся 3 — 1 = 2 уравнениями). Положение точки на m-мерном многообразии определяется «криволинейными» координатами (например, положение точки на сфере определяется её «географическими координатами» — долготой и широтой; аналогично на торе). Приведённые выше положения справедливы лишь при некоторых ограничительных предположениях. Действительно общее определение Р. любого замкнутого ограниченного множества, лежащего в n-mepном евклидовом пространстве, было дано П. С. Урысоном: оказывается, для того чтобы такое множество имело размерность ≤ m, необходимо и достаточно, чтобы оно при любом ε > 0 допускало ε-Покрытие (замкнутыми множествами, имеющими кратность ≤ n + 1). Приведённое выше общее определение Р. допускает естественное обобщение на очень широкие классы топологических пространств (См. Топологическое пространство). Урысон построил в 1921 теорию Р. — одну из глубоких теорий современной топологии. Своим дальнейшим развитием теория Р. обязана главным образом советским математикам (П. С. Александров, Л. С. Понтрягин и др.).

Лит.: Александров П. С., Пасынков Б. А., Введение в теорию размерности, М., 1973.

II

Разме́рность

физической величины, выражение, показывающее, во сколько раз изменится единица физической величины при изменении единиц величин, принятых в данной системе за основные. Р. представляет собой одночлен, составленный из произведения обобщённых символов основных единиц в различных (целых или дробных, положительных или отрицательных) степенях, которые называются показателями Р. Так, например, Р. скорости LT^—1, где Т представляет собой Р. времени, а L— Р. длины. Эти символы обозначают единицы времени и длины независимо от их конкретного размера (секунда, минута, час, метр, сантиметр и т.д.). В ряде случаев Р. позволяет устанавливать связи между соответствующими величинами (подробнее см. Размерностей анализ).

1. разме́рность;
2. разме́рности;
3. разме́рности;
4. разме́рностей;
5. разме́рности;
6. разме́рностям;
7. разме́рность;
8. разме́рности;
9. разме́рностью;
10. разме́рностями;
11. разме́рности;
12. разме́рностях.

-и, ж. физ.

Выражение, показывающее связь данной величины с величинами, взятыми за основные в какой-л. системе единиц.

РАЗМЕ́РНОСТЬ, размерности, мн. нет, жен. (физ.). Выражение, показывающее, из каких основных единиц складывается единица измерения данной величины. Размерность скорости есть отношение длины ко времени.

РАЗМЕРНОСТЬ - число измерений геометрической фигуры. Линия имеет размерность, равную 1 (одномерный образ); поверхность (в частности, плоскость или часть ее) - размерность, равную 2 (двумерный образ); пространство, а также любая его ограниченная часть - размерность, равную 3 (трехмерный образ, геометрическое тело). С развитием понятия многомерного пространства геометрия стала заниматься фигурами любой размерности.

РАЗМЕРНОСТЬ физической величины - выражение, показывающее связь данной величины с физическими величинами, положенными в основу системы единиц; записывается в виде произведения символов соответствующих основных величин, возведенных в определенные степени, которые называются показателями размерности. Так, размерность ускорения (символ а) записывается в виде РАЗМЕТКА - нанесение на поверхность заготовки линий (рисок) или точек, определяющих контуры детали, центры отверстий или места, подлежащие обработке.

РАЗМЕРНОСТЬ физической величины, выражение, показывающее связь данной физической величины с величинами, положенными в основу системы единиц. Записывается в виде символов соответствующих основных величин с определенными показателями степеней. Например, размерность ускорения [а] =LT-2, где L - символ длины, T - времени, -2 - показатель размерности времени.

жен. dimension, number of dimension с одинаковой размерностью дробная размерностьdimensionality

dimensionality, dimension

f.dimension, dimensionality, degree

ж.

dimensión f, dimensionalidad f

РАЗМЕРНОСТЬ

единицы физической величины, выражение, показывающее, во сколько раз изменится единица данной величины при изменении единиц величин, принятых в данной системе за основные. Р. представляет собой одночлен, составленный из произведения обобщённых символов осн. единиц в различных (целых или дробных, положительных или отрицательных) степенях, к-рые наз. показателями Р. (подробнее (см. РАЗМЕРНОСТЕЙ АНАЛИЗ)).

РАЗМЕРНОСТЬ, в математике - число, характеризующее протяженность предмета в каком-либо направлении. Если некоторая фигура обладает только длиной, ее называют одномерной; фигура, имеющая только площадь, двумерна, а имеющая объем - трехмерна. В более общем смысле размерность фигуры равняется числу координат, которые необходимы для определения всех точек этой фигуры. Например, на плоскости (двумерное пространство) для этого нужно две координаты (х, у). см. также СИСТЕМА КООРДИНАТ.

РАЗМЕ́РНОСТЬ -и; ж.

1. Физ. Связь данной величины с величинами, взятыми за основные в какой-л. системе единиц. Р. скорости есть отношение длины ко времени.

2. Матем. Число измерений геометрической фигуры. Геометрия занимается фигурами любой размерности.

* * *

разме́рность

число измерений геометрической фигуры. Линия имеет размерность, равную 1 (одномерный образ); поверхность (в частности, плоскость или часть её) — размерность, равную 2 (двумерный образ); пространство, а также любая его часть — размерность, равную 3 (трёхмерный образ, геометрическое тело). С развитием понятия многомерного пространства геометрия стала заниматься фигурами любой размерности.

1) (в геометрии) размерность геометрической фигуры — число, равное единице, если фигура есть линия, равное двум, если фигура есть поверхность и равное трем, если фигура есть тело; размерность иначе называется числом измерений и полностью данное определение может быть отнесено к физическим объектам;

2) (в системах единиц) выражение, показывающее связь данной величины с величинами, взятыми за основание в какой-либо системе единиц.

топологического пространства X - целочисленный инвариант dim X, определяемый следующим образом. Тогда и только тогда dim X = -1, когда . О непустом тополо-гич. пространстве Xговорят, что оно не более чем n-мерно, и пишут dim , если в любое конечное открытое покрытие пространства Xможно вписать конечное открытое покрытие пространства Xкратности . Если для нек-рого п=-1,0,1,..., то пространство Xназ. конечномерным, пишется и считается

При этом если dim X = n, то пространство наз. n-мерным. Понятие Р. топологич. пространства обобщает элементарно-геометрич. понятие числа измерений евклидова пространства (и полиэдра), т. к. размерность n-мерного евклидова пространства (и любого n-мерного полиэдра) равна n (теорема Брауэра - Лебега).

Важность понятия Р. топологич. пространства выявляется теоремой Нёбелинга - Понтрягина - Гуревича -Куратовского: n-мерное метризуемое со счетной базой пространство вкладывается в (2n+1)-мерное евклидово пространство. Таким образом, класс пространств, топологически эквивалентных подпространствам всевозможных n-мерных евклидовых пространств, n=1, 2,..., совпадает с классом конечномерных метризуемых пространств со счетной базой.

Размерность dim Xиногда наз. лебеговой, т. <к. ее определение отталкивается от т е о р е м ы Лебега "о мостовых": n-мерный куб для любого e>0 обладает конечным замкнутым кратности покрытием с диаметром элементов <e; существует такое e₀>0, что кратность любого конечного замкнутого покрытия n-мерного куба , если диаметр элементов этого покрытия <e₀.

К определению Р. топологич. пространства возможен другой - индуктивный - подход (см. Индуктивная размерность), основанный на разбиении пространства подпространствами меньшего числа измерений. Этот подход к понятию Р. восходит к А. Пуанкаре (Н. Poincare), Л. Брауэру (L. Brouwer), П. С. Урысону и К. Менгеру (К. Menger). В случае метризуемых пространств он эквивалентен лебеговскому.

Основы теории Р. были заложены в 1-й пол. 20-х гг. 20 в. в работах П. С. Урысона и К. Менгера. К кон. 30-х гг. была построена теория Р. метризуемых пространств со счетной базой, а к нач. 60-х гг.- теория Р. любых метризуемых пространств.

Ниже все рассматриваемые топологич. пространства считаются нормальными и хаусдорфовыми. В этом случае в определении Р. без ущерба вписываемые открытые покрытия можно заменить на замкнутые.

Лебегов подход к определению Р. (в отличие от индуктивного подхода) позволяет в случае любых рассматриваемых пространств геометризовать понятие Р. посредством сравнения исходного топологич. пространства с простейшими геометрич. образованиями - полиэдрами. Грубо говоря, пространство n-мерно тогда и только тогда, когда оно сколь угодно мало отличается от n-мерного полиэдра. Точнее, имеет место теорема Александрова об w-отображениях: тогда и только тогда , когда для любого конечного открытого покрытия и пространства Xсуществует w-отображение пространства Xна не более чем n-мерный, n=0,1,2,..., (компактный) полиэдр. Особую наглядность сформулированная теорема приобретает в случае компактов: для компакта Xтогда и только тогда dim , когда для любого e>0 существует e-отображение компакта на не более чем n-мерный полиэдр. Если еще Xлежит в евклидовом или гильбертовом пространстве, то e-отображение можно заменить e-сдвигом (теорема Александрова об e-о тображениях и e-сдвигах).

Следующее утверждение позволяет выяснить, какова Р. пространства, посредством его сравнения со всевозможными n-мерными кубами: тогда и только тогда dim , когда пространство обладает существенным отображением на n-мерный куб, n=0,1,2,... (теорема Александрова о существенных отображениях).

Этой теореме можно придать следующую форму. Тогда и только тогда , когда для любого замкнутого в Xмножества Аи любого непрерывного отображения в n-мерную сферу существует непрерывное продолжение , n=0,1,..., отображения f.

Следующая характеристика Р. указывает на роль этого понятия в вопросах существования решений систем уравнений: тогда и только тогда dim , n=1,2,..., когда в Xсуществует такая система дизъюнктных пар замкнутых множеств A_i, B_i, i=l,..., n, что для любых непрерывных на Xфункций f_i, удовлетворяющих условию ,..., п, найдется точка , в к-рой f_i(x) = 0, i=1,..., (т е о р е м а Отто - Эйленберга - Хеммингсена о перегородках).

Одно из важнейших свойств Р. выражает теорема суммы Менгера - Урысона - Чеха: если пространство Xесть конечная или счетная сумма своих замкнутых подмножеств размерности , то и , n=0,1,... В этой теореме можно условие конечности или счетности суммы заменить условием ее локальной конечности. Аналогичное теореме суммы утверждение для большой и малой индуктивных Р. не выполняется уже в классе бикомпактов. Следующие утверждения принадлежат к числу основных общих фактов теории Р. и позволяют сводить рассмотрение любых пространств к рассмотрению бикомпактов. Для любого нормального пространства

а) dim bX =dim X,Ind bX = Ind X, где b Х- максимальное бикомпактное расширение Стоуна -- Чеха пространства X;в то же время неравенство ind bХ> >ind X =Ind X возможно;

б) существует бикомпактное расширение bХ пространства X, вес к-рого равен весу , и размерность dim bХ равна размерности dim X;аналогичное утверждение верно и для большой индуктивной Р. Особенно интересен случай счетного веса пространства, т. к. в этом случае расширение bХ метризуемо.

Утверждение б) может быть усилено следующим предложением: для. любого n=0,1,... и любой бесконечной мощности существует бикомпакт веса и размерности , содержащий гомеоморфный образ любого нормального пространства Xвеса и размерности (теорема об универсальном бикомпакте данного веса и размерности). Аналогичное утверждение верно и для большой индуктивной Р. При этом в качестве можно взять канторово совершенное множество, а в качестве - менгеровскую универсальную кривую.

Казалось бы, что Р. должна обладать свойством монотонности: dim , если АМ Х. Это так, если а) множество Азамкнуто в Xили сильно паракомпактно, или б) пространство Xметризуемо (и даже совершенно нормально). Однако уже для подмножества Анаследственно нормального пространства Xможет быть dim A>dim Xи Ind A>Ind Х. Но всегда при АМ Х.

Одним из важнейших вопросов теории Р. является поведение Р. при непрерывных отображениях. В случае замкнутых отображений (к ним принадлежат и все непрерывные отображения бикомпактов) ответ дается формулами В. Гуревича (W. Hurewicz), полученными им первоначально в классе пространств со счетной базой.

Формула Гуревича для повышающих размерность отображений: если отображение непрерывно и замкнуто, то кратность , где кратность

Формула Гуревича для понижающих размерность отображений: для непрерывного замкнутого отображения на па-ракомпакт Yвыполняется неравенство

(1)

где

Для произвольного нормального пространства Yэта формула, вообще говоря, неверна.

В случае непрерывных отображений конечномерных компактов установлено, что непрерывное отображение f размерности dim f=k является суперпозицией kнепрерывных отображений размерности 1 (это - уточнение формулы (1) и аналог того факта, что k-мерный куб есть произведение kотрезков).

В случае открытых отображений можно показать, что образ нульмерного бикомпакта нульмерен и в то же время гильбертов кирпич есть образ одномерного компакта, даже если соответствующее отображение f имеет размерность dim f, равную нулю. Однако в случае открытого отображения бикомпактов Xи Yкратности выполняется равенство dim X=dim Y.

Поведение Р. при взятии топологич. произведения описывают следующие утверждения:

а) существуют такие конечномерные компакты Xи Y, что ;

б) если один из сомножителей произведения бикомпактен или метризуем, то ;

в) существуют такие нормальные пространства Xи Y, что

В случае бикомпактных Xи Y всегда , если ., но может быть . Если же бикомпакты XиYсовершенно нормальны или одномерны, то .

Наиболее содержательна теория Р. прежде всего в классе метрич. пространств со счетной базой и затем в классе любых метрич. пространств. В классе мет-рич. пространств со счетной базой выполняются равенства Урысона

dimX = indX = IndX. (2)

В классе любых метрич. пространств выполняется р а-венство Катетова

dimX = IndX (3)

и может быть ind X=0<IndX=l.

В случае метрич. пространств понятие n-мерного пространства следующими двумя способами может быть сведено к понятию нульмерного пространства. Для метрич. пространства Xтогда и только тогда , n=0,1,..., когда

а) пространство X может быть представлено в виде не более чем n+1 нульмерных слагаемых;

б) существует непрерывное замкнутое отображение кратности нульмерного метрич. пространства на пространство X.

Для любого подмножества Аметрич. пространства Xнайдется такое подмножество типа в X, что dim B=dim A.

В классе метрич. пространств веса и размерности существует универсальное (в смысле вложений) пространство. Важную роль в построении теории Р. любых метрических (и более общих) пространств сыграла теорема Даукера: тогда и только тогда dim , когда в любое локально конечное открытое покрытие пространства X можно вписать открытое покрытие кратности

Одним из наиболее важных вопросов теории Р. является вопрос о соотношениях между лебеговой и индуктивными Р. Хотя для произвольного пространства Xзначения размерностей dim X,ind X,Ind X, вообще говоря, попарно различны, однако для нек-рых классов пространств, в том или ином смысле близких к метрическим, выполнено, напр., следующее:

а) если пространство Xобладает непрерывным замкнутым отображением f размерности dim f=0 на метрич. пространство, то выполняется равенство (3), отсюда следуют равенства (2) для локально бикомпактных групп и их факторпространств;

б) если существует непрерывное замкнутое отображение метрич. пространства на пространство X, то выполняются равенства (2).

Еще одно общее условие для выполнения равенства (3) для паракомпакта Xвыглядит так: dim X=n и пространство X является образом нульмерного пространства при замкнутом отображении кратности , n=0,1,...

В случае произвольного пространства X всегда выполняются неравенства , а равенства dim Х = 0 и IndX = 0 равносильны. Для сильно паракомпактного (в частности, бикомпактного или финально компактного) пространства X выполняется неравенство dim . Для бикомпактов равенства ind X=l и IndX = l равносильны. Существуют бикомпакты, удовлетворяющие первой аксиоме счетности (и даже совершенно нормальные в предположении континуум-гипотезы), для которых dim Х=1, ind X=n, n=2,3,... Построен пример топологич. однородного бикомпакта с dim X<ind X. Для совершенно нормальных бикомпактов всегда ind X=Ind X. Существуют бикомпакты даже с первой аксиомой счетности, для к-рых indX<IndX. Существует ли такое т, что для каждого n>m найдется бикомпакт (метрич. пространство) X с ind X=m,Ind X = n,- неизвестно (1983).

В случае неметризуемых пространств Р. может не только не быть монотонной, но и обладает другими патологич. свойствами. Для любого n=2,3,... построен пример такого бикомпакта , что любое замкнутое подмножество его имеет Р. или 0 или . Аналогичный пример в случае индуктивных Р. невозможен. Построен также для любого n=1,2,...пример такого бикомпакта , что любое разбивающее этот бикомпакт замкнутое множество имеет размерность n=dim . Таким образом, подход к определению Р. в случае неметризуемого пространства в принципе отличен от индуктивного подхода А. Пуанкаре, основанного на разбиении пространства подпространствами меньшего числа измерений. Бикомпакты имеют непосредственное отношение к следующему утверждению: в любом n-мерном бикомпакте содержится n-мерное канторово многообразие.

Подмножество n-мерного евклидова пространства Е ^п тогда и только тогда n-мерно, когда оно содержит внутренние относительно Е ⁿ точки. Компакт имеет размерность тогда и только тогда, когда он обладает отображением Р. нуль в Е ^п, и, таким образом, с точностью до нульмерных отображений n-мерные компакты не отличимы от ограниченных замкнутых, содержащих внутренние (относительно Е).точки подмножеств Е ^п.

См. также Размерности теория.

Лит.:[1] А л е к с а н д р о в П. С., П а с ы н к о в Б. А., Введение в теорию размерности, М., 1973; [2] Г у р е в и ч В., В о л м э н Г., Теория размерности, пер. с англ., М., 1948; [3] У р ы с о н П. С.., Труды по топологии и другим областям математики, т. 1-2, М.- Л., 1951. Б. А. Пасынков.

dimensionality, dimension

* * *

разме́рность ж.

1. (физической величины) dimensions of a quantity

име́ть разме́рность, напр. пло́щади — have the dimensions, e. g., of area

2. (степень многомерности пространства) dimensionality

* * *

dimensions of a quantity

ж.

1)(физической величины) dimensione f

2)(степень многомерности пространства) dimensionalità f

астр., вчт, матем., техн., физ.

розмі́рність, -ності, вимі́рність, -ності

- алгебраическая размерность

- виртуальная размерность

- гомологическая размерность

- инъективная размерность

- компактифицируемая размерность

- проективная размерность

- размерность величины

- размерность клетки

- размерность коцепи

- размерность массива

- размерность многообразия

- размерность модуля

- размерность отображения

- размерность оценки

- размерность полиэдра

- размерность пространства

- размерность разбиения

- размерность цепи

- стохастическая размерность

- тензорная размерность

- формальная размерность

астр., вчт, матем., техн., физ.

розмі́рність, -ності, вимі́рність, -ності

- алгебраическая размерность

- виртуальная размерность

- гомологическая размерность

- инъективная размерность

- компактифицируемая размерность

- проективная размерность

- размерность величины

- размерность клетки

- размерность коцепи

- размерность массива

- размерность многообразия

- размерность модуля

- размерность отображения

- размерность оценки

- размерность полиэдра

- размерность пространства

- размерность разбиения

- размерность цепи

- стохастическая размерность

- тензорная размерность

- формальная размерность

1) РАЗМЕРНОСТЬ - число измерений геом. фигуры. Линия имеет Р., равную 1 (одномерный образ); поверхность (в частности, плоскость или часть её) - Р., равную 2 (двумерный образ); пространство, а также любая его часть - Р., равную 3 (трёхмерный образ, геом. тело). С развитием понятия многомерного пространства геометрия стала заниматься фигурами любой Р.

2) РАЗМЕРНОСТЬ - физ. величины, выражение, показывающее связь данной величины с физ. величинами, положенными в основу системы единиц; записывается в виде произведения символов соответствующих осн. величин, возведённых в определ. степени, к-рые наз. показателями Р. Так, Р. ускорения (символ а) записывается в виде [a]=LT^-2, где L - символ длины, Т - времени, а степень (-2) - показатель Р. времени. Величины, в к-рые все осн. величины входят в степени, равной нулю, наз. безразмерными.

РАЗМЕРНОСТЬ

РАЗМЕРНОСТЬ - число измерений геометрической фигуры. Линия имеет размерность, равную 1 (одномерный образ); поверхность (в частности, плоскость или часть ее) - размерность, равную 2 (двумерный образ); пространство, а также любая его ограниченная часть - размерность, равную 3 (трехмерный образ, геометрическое тело). С развитием понятия многомерного пространства геометрия стала заниматься фигурами любой размерности.

Большой Энциклопедический словарь. 2000.

Источник:

Большой Энциклопедический словарь

РАЗМЕРНОСТЬ

РАЗМЕРНОСТЬ физической величины - выражение, показывающее связь данной величины с физическими величинами, положенными в основу системы единиц; записывается в виде произведения символов соответствующих основных величин, возведенных в определенные степени, которые называются показателями размерности. Так, размерность ускорения (символ а) записывается в виде РАЗМЕТКА - нанесение на поверхность заготовки линий (рисок) или точек, определяющих контуры детали, центры отверстий или места, подлежащие обработке.

Большой Энциклопедический словарь. 2000.

Источник: