«Полнота»

свойство научной теории, характеризующее достаточность для каких-либо определённых целей её выразительных и (или) дедуктивных средств.

Один из аспектов понятия П. — т. н. функциональная П. (ф. п.) — применительно к естественному языку представляет собой то (неформальное) его качество, благодаря которому на нём можно сформулировать любое осмысленное сообщение, могущее понадобиться для тех или иных целей. Например, английский язык функционально полон с точки зрения целей, которые имел в виду У. Шекспир, создавая «Гамлета» (если исходить из предположения, что ему удалось полностью реализовать свой замысел). Но и любой другой из «живых» языков, на который «Гамлет» переведён, полон в том же смысле: перевод как раз и служит свидетельством этой ф. п.

Аналогично (в математике), семейство функций, принадлежащих некоторому классу функций, является полным относительно этого класса (и относительно некоторого фиксированного запаса «допустимых» операций над функциями), если любую функцию этого класса можно выразить через функции данного семейства (с помощью допустимых операций). Так, любая из функций sinx или cosx составляет одноэлементный класс, полный для всех тригонометрических функций (относительно четырёх арифметических действий, возведения в квадрат и извлечения квадратного корня); три единичных вектора по осям координат образуют полный класс (относительно сложения, вычитания и умножения на действительное число) для множества всех векторов трёхмерного евклидова пространства.

Понятие ф. п. играет важную роль в математической логике: все двуместные Логические операции исчисления высказываний (см. Логика высказываний) могут быть выражены через конъюнкцию и отрицание, или через дизъюнкцию и отрицание, или через импликацию и отрицание, или даже через единственную операцию антиконъюнкцию («штрих Шеффера»), т. е. все эти семейства логических связок представляют собой функционально полные классы операций алгебры логики (См. Алгебра логики).

Для логики и её приложений к дедуктивным наукам не менее существенную роль играет т. н. дедуктивная П. (д. п.) аксиоматических теорий (или, что то же, положенных в их основу систем аксиом; эпитет «дедуктивная» обычно опускают). В зависимости от выбора критерия «достаточности» дедуктивных средств теории (или формального исчисления (См. Исчисление)) приходят к той или иной точной модификации понятия д. п. Вообще аксиоматическая система называется (дедуктивно) полной по отношению к данному свойству (или данной интерпретации (См. Интерпретация)), если все её формулы, обладающие данным свойством (истинные при данной интерпретации), доказуемы в ней. Такое понятие д. п. («в широком смысле»), связанное с понятием истинности, носит, очевидно, семантический (содержательный, см. Семантика) характер. Но в ряде случаев понятие д. п. удаётся определить чисто синтаксическим (формальным) путём и сделать предметом изучения метаматематическими (см. Метаматематика) средствами. Такая д. п. («в узком смысле») определяется как невозможность присоединения к системе без противоречия никакой недоказуемой в ней формулы в качестве аксиомы; эта («абсолютная») П., вообще говоря, сильнее семантической П.: например, Исчисление предикатов, полное в широком смысле, в узком смысле неполно.

Неполные (или, как часто говорят, некатегоричные) системы аксиом, допускающие существенно различные и притом неизоморфные интерпретации (например, теория групп (См. Группа) в абстрактной алгебре или теория топологических пространств (См. Топологическое пространство)), представляют особый интерес именно богатством и разнообразием своих приложений (это обусловливается различными путями «пополнения» теории за счёт присоединения различных аксиом). Но ещё более важно то, что (как установил в 1931 К. Гёдель) для достаточно богатых аксиоматических теорий (включающих формальную арифметику натуральных чисел и тем более аксиоматическую теорию множеств (См. Аксиоматическая теория множеств)) требования д. п. и непротиворечивости (См. Непротиворечивость) оказываются несовместимыми. Это поразительное открытие составило целую эпоху в развитии математической логики, привело к осознанию принципиальной ограниченности играющего в ней большую роль аксиоматического метода (См. Аксиоматический метод) и стимулировало поиски новых, более гибких в известном смысле, логических и логико-математических теорий и новых дедуктивных средств.

См. также ст. Доказательство и лит. при ней.

Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, §§ 29 32, 42, 72 (лит.); Новиков П. С., Элементы математической логики, М. 1959 гл. 2, § 10, гл. 3, § 7, гл. 4, §§ 17, 19.

1. полнота́;
2. полно́ты;
3. полноты́;
4. полно́т;
5. полноте́;
6. полно́там;
7. полноту́;
8. полно́ты;
9. полното́й;
10. полното́ю;
11. полно́тами;
12. полноте́;
13. полно́тах.

ПОЛНОТА́, -ы, жен.

1. Наличие чего-н. в достаточной степени, высшая степень насыщенности чем-н. П. власти. Исчерпывающая п. в подборе фактов. От полноты чувств или от полноты души (от избытка чувств, как бы наполняющих всего человека).

2. О человеке: тучность, упитанность. Нездоровая п.

3. (мн. полноты, -от, -отам). Единица измерения внутри одного размера (одежды, обуви). Большая, средняя п. Колодки повышенных полнот.

-ы́, ж.

1.

Свойство по прил. полный (в 1, 4, 5 и 7 знач.).

Полнота счастья. Полнота власти. Полнота текста. Полнота коллекции. Полнота исследования. Полнота рук.

□

Изверг этот взял стакан, налил его до невозможной полноты и вылил его себе внутрь, не переводя дыхания. Герцен, Былое и думы.

2.

Наличие разнообразия, множества свойств в чем-л.

Он мечтал для Петра не о спокойствии, а о возможной полноте жизни. Короленко, Слепой музыкант.

3.

Тучность, упитанность; противоп. худоба.

[Царица:] Не потолстеешь с горя. Мне завидно На полноту твою глядеть. А. Островский, Василиса Мелентьева.

С каждым днем Наталья поправлялась все больше. Крепли ноги, округлялись плечи, здоровой полнотой наливалось тело. Шолохов, Тихий Дон.

4. (мн. полно́ты). спец.

Величина емкости одежды или обуви.

Средняя полнота костюма. Выпускать обувь трех полнот.

от полноты души{ (или сердца, чувств)}

от избытка чувств.

со всей полнотой{ или} во всей полноте

в полную силу, полностью.

ПОЛНОТА́, полноты, мн. нет, жен.

1. Состояние чего-нибудь наполненного совершенно, до краев (редк.). «До полноты не доливай.» Даль.

2. Полная мера, полный состав, предельное потребное количество, исчерпывающая достаточность. Доклад замечателен полнотой в подборе фактов.

3. Высшая степень чего-нибудь (книжн.). Полнота художественного выражения. Полнота удовольствия.

4. Тучность, толщина (тела); ант. худоба. Нездоровая полнота. Лечиться от полноты.

❖

От полноты души, или от полноты сердца, или от полноты чувств - от избытка чувств, вследствие переполненности души каким-нибудь чувством, настроением, впечатлением, из-за сильной степени какого-нибудь чувства, настроения, впечатления (срн. полнота в 1 знач.). «Мы оба молчали от полноты сердца.» Пушкин. «Не подумайте, чтоб я говорил что из лести, нет, не имею этого порока, от полноты души выражаюсь.» Гоголь. Полнота власти (книжн.) - вся власть. В СССР вся полнота власти принадлежит народу.

ж.

1.

Наполненность, достаточное наличие чего-либо.

2.

Полная мера, полный состав, предельное количество.

отт. Исчерпанность, обстоятельность.

отт. Насыщенность, содержательность.

3.

перен.

Высшая степень чего-либо.

4.

Тучность, толщина тела.

ПОЛНОТА - в логике и математике - достаточность выразительных или дедуктивных средств какой-либо научной теории или исчисления для описания (характеристики, предсказания, вывода) всех реальных свойств и отношений предполагаемой модели этой теории или исчисления.

жен.
1) fullness, plenitude;
completeness
2) corpulence;
stoutness;
plumpness;
obesity склонный к полноте ≈ full-bodied склонность к полноте ∙ для полноты картины ≈ to complete the picture во всей полноте, со всей полнотой ≈ in its entirety от полноты сердцаполнот|а - ж.
1. (тучность) stoutness, corpulence;
(чрезмерная) obesity;

2. (полная мера) fullness, completeness;
~ власти fullness of power;
от ~ы сердца, души out of the fullness of one`s heart.

fullness

f.completeness; аксиома полноты, completeness axiom

полнота ж 1. Fülle f 2. (упитанность) Körperfülle f, Beleibt|heit f; Korpulenz f (тучность) а от полноты чувств im Überfluß der Gefühle полнота власти Machtvollkommenheit f

ж

1)Fülle f

2)(упитанность) Körperfülle f, Beleibtheit f; Korpulenz f(тучность)

•
•

от полноты чувств — im Überfluß der Gefühle

полнота власти — Machtvollkommenheit f

ж.

1)(обилие) plénitude f

полнота власти — plénitude du pouvoir

2)(тучность) embonpoint m; obésité f(чрезмерная)

•
•

от полноты сердца (или души) — du fond du cœur

ж.

1)llenura f, abundancia f

2)(исчерпывающий характер) plenitud f, totalidad f, carácter completo

полнота́ вла́сти — plenitud de poder

во всей полноте́ — en toda la plenitud

для полноты́ карти́ны — para completar el cuadro

3)(высшая степень) colmo m

4)(тучность) gordura f; obesidad f(чрезмерная)

•
•

от полноты́ се́рдца (души́) — de todo corazón, de la abundancia del corazón

ж.

1)(тучность) corpulenza, pinguedine, obesità

2)(исчерпывающий характер; высшая степень) compiutezza; pienezza f, colmo m

полнота жизни — la pienezza della vita

полнота исследования — la compiutezza della ricerca

полнота ощущений — pienezza delle sensazioni

3)спец.(ноги) calzata f

•
•

полнота власти — pieni poteri

от полноты души / сердца — di tutto il cuore

со всей полнотой, во всей полноте — см.полностью 2)

ПОЛНОТА

в логике и дедуктивных науках, свойство аксиоматич. теории, характеризующее достаточность для к.-л. определ. целей её выразит. и дедуктивных средств. Аксиоматич. система наз. дедуктивно полной по отношению к данной интерпретации, если все её формулы, истинные при данной интерпретации, доказуемы в ней. Такое понятие П. связано с понятием истинности и носит семантич. (содержат.) характер. Понятие П. в узком смысле носит синтаксич. (формальный) характер и определяется как невозможность присоединения к системе без противоречия никакой недоказуемой в ней формулы в качестве аксиомы.

В1931 К. Гёдель установил принципиальную неполноту достаточно богатых аксиоматич. теорий (включающих формальную арифметику натуральных чисел и аксиоматич. теорию множеств), т. е. наличие таких формул, которые в их рамках недоказуемы и неопровергаемы. Это открытие привело к осознанию принципиальной ограниченности роли аксиоматич.метода в математич. логике и стимулировало поиски новых логико-математич. теорий.

см. ст. Доказательство илит. к ней.

ПОЛНОТА́ -ы́; ж.

1. Наличие чего-л. в достаточной степени, высшая степень проявления чего-л., насыщенности чем-л. П. власти, ответственности, прав. П. жизни, счастья, чувств, сил. П. ответа, текста, коллекции, исследования. Обнаружить исчерпывающую полноту в подборе фактов. Необыкновенная п. знаний. Сердечная, душевная п. (избыток чувств). От (всей) полноты души, сердца, чувств (от избытка чувств). Во всей (его, своей и т.п.) полноте, со всей полнотой (в полную силу, целиком).

2. Тучность, упитанность (о человеке). П. лица, рук, ног. Излишняя, нездоровая, привлекательная п. // Избыточный вес. Избавиться от полноты. Страдать полнотой. Одышка из-за полноты.

3. мн.: полно́ты, -там. Спец. Единицы измерения внутри одного размера одежды или обуви. Туфли пятой полноты. Средняя п. костюма.

* * *

полнота́

(логическая и математическая), достаточность выразительных или дедуктивных средств какой-либо научной теории или исчисления для описания (характеристики, предсказания, вывода) всех реальных свойств и отношений предполагаемой модели этой теории или исчисления.

* * *

ПОЛНОТА

ПОЛНОТА́, в логике и математике — достаточность выразительных или дедуктивных средств какой-либо научной теории или исчисления для описания (характеристики, предсказания, вывода) всех реальных свойств и отношений предполагаемой модели этой теории или исчисления.

в математической логике - свойство, близкое к понятию максимального элемента в частично упорядоченном множестве. Термин "П." в математич. логике употребляется в контекстах вида: полное исчисление, полная теория (или полное множество аксиом), w-полная теория, полная в смысле Поста система аксиом, полное вложение одной модели в другую, полная формула полной теории и др.

Одним из наиболее важных в гносеологич. отношении является понятие П. исчисления относительно данной семантики. Исчисление наз. полным, если всякая верная в семантич. смысле формула этого исчисления выводима в нем. При этом понятие выводимости должно быть эффективным, т. е. имеются набор правил и инструкция их применения, позволяющая строить выводы, причем есть алгоритм, отличающий выводы от невыводов. Понятие семантически верной формулы, наоборот, формулируется, как правило, с использованием неэффективных понятий, с помощью кванторов всеобщности по бесконечным и даже несчетным совокупностям. В теоремах о полноте классического и интуиционистского исчислений предикатов П. понимается в указанном смысле. В случае классич. исчисления семантически верными считаются те формулы языка узкого исчисления предикатов (УИП), к-рые истинны во всех моделях для рассматриваемого языка. В интуиционистском случае семантически верными считаются формулы, истинные во всех Крипке моделях. Понятие истинной в данной модели формулы также использует кванторы по бесконечным областям (если модель бесконечна) как в классическом, так и в интуиционистском случаях. Иногда рассматривают исчисления, не удовлетворяющие требованию эффективности.

С понятием П. исчисления тесно связано понятие полной теории. Теорией (точнее, элементарной теорией) наз. произвольное множество Тзамкнутых формул языка УИП. Непротиворечивая теория Тназ. полной, если множество всех следствий из Тв клас-сич. исчислении предикатов является максимальным непротиворечивым множеством, т. е. добавление к Тлюбой замкнутой невыводимой из Тформулы позволяет вывести любую формулу. В этом определении не предполагается, что множество Тзадано эффективно, так что понятие вывода становится тоже неэффективным. П. теории Тэквивалентна следующему условию: для всякой замкнутой формулы j имеет место в точности одно из двух утверждений - либо j выводима ив Т, либо выводима из Т.

Если дана какая-то модель Мязыка УИП, то возникает семантич. понятие формулы, истинной в модели М. Теория Тназ. полной относительно М, если в классич. исчислении предикатов, пополненном формулами из Т, выводимы в точности все истинные в Мформулы. Между понятиями П. теории и П. относительно Мимеется следующая связь. Теория Тполна тогда и только тогда, когда существует модель М, относительно к-рой она полна. Модель Мназ. моделью теории Т, если все формулы из Тистинны в М. Достаточный признак П. теории: если все модели нек-рой мощности теории Тизоморфны, то теория Тполна. Обратное не всегда верно.

Понятие П. теории находит применение в вопросах разрешимости теорий из-за следующего свойства полных теорий: если теория Тполна и множество Тконечно или даже рекурсивно перечислимо, то существует алгоритм, распознающий по любой формуле j выводима она или нет. Если не требовать эффективного задания множества Т, то всякую теорию можно пополнить, т. е. расширить добавлением новых аксиом до полной. При наличии требования эффективности дело обстоит не так, как показывает теорема Гёделя о неполноте арифметич. исчислений. Теория Т' наз. расширением теории Т, если всякая формула, выводимая из Т, будет выводима из Т'. Пусть Т - непротиворечивая рекурсивно перечислимая теория. Теория Тназ. эффективно неисполнимой, если по всякому рекурсивно перечислимому непротиворечивому расширению Т' теории Тможно эффективно найти формулу j, формально неразрешимую в Т', т. е. такую, что ни j, ни не выводимы из Т'. Теорема Гёделя о неполноте утверждает, что нек-рая конкретная арифметич. теория Q, имеющая конечное число аксиом, эффективно не пополнима. Из этой теоремы вытекает неполнота относительно стандартной модели натуральных чисел любого арифметич. исчисления, удовлетворяющего требованию эффективности.

Арифметич. теория Тназ. w-полной, если из того, что в Твыводимы все формулы вида

(*)

следует выводимость в Тформулы . Из доказательства теоремы Гёделя о неполноте следует, что существуют теории, не являющиеся w-полными, и даже такие, в к-рых выводима бесконечная серия формул (*), а также формула , и тем не менее противоречия вывести нельзя. Такая теория наз. w -противоречивой.

Непротиворечивая система аксиом наз. полной в смысле Поста, если добавление к ней любой схемы аксиом либо не расширяет запаса выводимых формул, либо превращает систему в противоречивую. Напр., аксиоматика классич. исчисления высказываний полна в смысле Поста, а интуиционистского исчисления высказываний не полна.

Лит.:[1] Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; [2] Кейслер Г., Чэн Ч. Ч., Теория моделей, пер. с англ., М., 1977; [3] Шенфилд Д ж.. Математическая логика, пер. с англ., М., 1975; [4] Роджерс X., Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость, пер. с англ., М., 1972; [5] Фейс Р., Модальная логика, пер. с англ., М., 1974 (Дополнения). В. Н. Гришин.

в топологии - свойство пространства, заключающееся в сходимости последовательностей, направленностей или семейств множеств, подчиненных условию Коши или его обобщениям (см. Полное пространство). А. В. Архангельский.

fullness

* * *

полнота́ ж.

completeness

полнота́ зву́ка — speech volume

полнота́ сгора́ния — completeness of combustion

функциона́льная полнота́ — functional completeness

облада́ть функциона́льной полното́й — satisfy the requirement of functional completeness

матем., техн., физ.

повнота́

- полнота горения

- полнота обводов

- полнота пространства

- полнота системы

- условная полнота

- функциональная полнота

матем., техн., физ.

повнота́

- полнота горения

- полнота обводов

- полнота пространства

- полнота системы

- условная полнота

- функциональная полнота

(логич. и матем.), достаточность выразит. или дедуктивных средств к.-л. науч. теории или исчисления для описания (характеристики, предсказания, вывода) всех реальных свойств и отношении предполагаемой модели этой теории или исчисления.

- англ. plenitude/completeness; нем. Fulle/Vollstandigkeit. Свойство формальных систем, характеризующее достаточность для к.-л. определенных целей.

- англ. plenitude/completeness; нем. Fulle/Vollstandigkeit. Свойство формальных систем, характеризующее достаточность для к.-л. определенных целей.