«Независимость»

I

Незави́симость

в логике, свойство предложения некоторой теории или формулы некоторого исчисления, заключающееся в том, что ни само это предложение, ни его отрицание не выводятся из данной системы предложений (например, какой-либо системы аксиом (См. Аксиома)) или соответственно из конъюнкции данных формул. Н. какого-либо предложения от данной системы аксиом может быть установлена посредством доказательств непротиворечивости (См. Непротиворечивость) двух систем аксиом, получаемых соответствующим присоединением данного предложения и его отрицания к рассматриваемой системе аксиом. С Н. связано также свойство дедуктивной полноты (см. Полнота в логике) аксиоматических теорий: если непротиворечивая система аксиом дедуктивно полна, то присоединение к ней в качестве аксиомы любого независимого от неё предложения данной теории приводит к противоречию. Когда речь идёт о Н. содержательно формулируемых предложений, «выводимость» понимается в интуитивном смысле, «в соответствии с законами логики»; при рассмотрении же формальных исчислений всегда фиксируются строго определённые правила вывода (См. Правило вывода) (по отношению к которым также можно ставить вопрос о Н.).

Аналогично описанной выше «дедуктивной» Н. можно говорить о Н. «выразительной», называя понятие (термин) независимым от данной системы понятий (терминов), если оно не может быть определено лишь с их помощью (опять-таки, как и выше, здесь предполагается фиксация некоторой совокупности правил определения, относительно которых можно ставить проблему Н.). Термин «Н.» (в обоих упомянутых смыслах) применяется, наконец, и к совокупностям предложений (формул) или понятий (терминов): совокупность называется независимой (а также неизбыточной, или минимальной), если каждый из её членов независим от остальных в определённом выше смысле. Ряд важнейших результатов о Н. получен в аксиоматической теории множеств (См. Аксиоматическая теория множеств) и в математической логике (См. Логика).

Лит. см. при ст. Аксиоматический метод.

Ю. А. Гастев.

II

Незави́симость

в теории вероятностей, одно из важнейших понятий этой теории. В качестве примера можно привести определение Н. двух случайных событий. Пусть АиВ— два случайных события, а Р(А) и Р(В) — их вероятности. Условную вероятность Р(В|А) события В при условии осуществления события А определяют формулой:

где Р(А и В) — вероятность совместного осуществления событий А и В. Событие В называется независимым от события А, если

Р(В|А) = Р(В). (*)

Равенство (*) может быть записано в виде, симметричном относительно А и В:

Р(А и В) = Р(А) Р(В),

откуда видно, что если событие В не зависит от А, то и А не зависит от В. Т. о., можно говорить просто о Н. двух событий. Конкретный смысл данного определения Н. можно пояснить следующим образом. Известно, что вероятность события находит своё выражение в частоте его появления. Поэтому если производится большое число N испытаний, то между частотой появления события В во всех N испытаниях и частотой его появления в тех испытаниях, в которых наступает событие, должно иметь место приближённое равенство. Н. событий указывает, т. о., либо на отсутствие связи между наступлением этих событий, либо на несущественный характер этой связи. Так, событие, заключающееся в том, что наудачу выбранное лицо имеет фамилию, начинающуюся, например, с буквы «А», и событие, заключающееся в том, что этому лицу достанется выигрыш в очередном тираже лотереи, — независимы.

При определении Н. нескольких (более двух) событий различают попарную и взаимную Н. События A₁, A₂,..., A_n называются попарно независимыми, если каждые два из них независимы в смысле данного выше определения, и взаимно независимыми, если вероятность наступления любого из них не зависит от наступления какой угодно комбинации остальных.

Понятие «Н.» распространяется и на случайные величины (См. Случайная величина). Случайные величины Х и Y называются независимыми, если для любых двух интервалов Δ₁ и Δ₂ события, заключающиеся в том, что значение Х принадлежит Δ₁, а значение Y —интервалу Δ₂, независимы. На гипотезе Н. тех или иных событий и случайных величин основаны важнейшие схемы теории вероятностей (см., например, Предельные теоремы теории вероятностей). О способах проверки гипотезы Н. каких-либо событий см. Статистическая проверка гипотез.

Лит.: Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 4 изд., М., 1965; Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., М., 1964.

1. незави́симость;
2. незави́симости;
3. незави́симости;
4. незави́симостей;
5. незави́симости;
6. незави́симостям;
7. незави́симость;
8. незави́симости;
9. незави́симостью;
10. незави́симостями;
11. незави́симости;
12. незави́симостях.

НЕЗАВИ́СИМОСТЬ, -и, жен.

1. см. независимый.

2. Политическая самостоятельность, отсутствие подчинённости, суверенитет. Национальная н. Отстаивать свою н.

-и, ж.

Свойство и состояние по прил. независимый (в 1 знач.).

Национальная независимость. Независимость характера.

□

— Но главное — независимость! Делать, что хочу, жить, как хочу, никого не спрашиваясь. Чернышевский, Что делать?

Меня немного удивила независимость и резкость суждений юной девушки. Никулин, Лариса Рейснер.

НЕЗАВИ́СИМОСТЬ, независимости, мн. нет, жен. отвлеч. сущ. к независимый. «…Теперь, когда мы свергли капитализм, а власть у нас рабочая, - у нас есть отечество и мы будем отстаивать его независимость.» Сталин. «Полного счастья нет без полной независимости.» Чернышевский. Независимость положения. Независимость взглядов.

ж.

отвлеч. сущ. по прил. независимый

жен. independence;
sovereignty (тж. государства) государственная независимость ≈ independent statehood День независимости ≈ (4 июля - национальный праздник США) Independence Day провозглашение независимости ≈ declaration of independenceindependence;

independence

f.independence

ж

Unabhängigkeit f; Selbständigkeit f(самостоятельность)

провозглашение независимости — Unabhängigkeitserklärung f

независимость ж Unabhängigkeit f; Selbständigkeit f (самостоятельность) провозглашение независимости Unabhängigkeitserklärung f c

ж.

indépendance f

экономическая независимость — indépendance économique

ж.

independencia f

национа́льная незави́симость — independencia nacional

ж.

indipendenza

национальная независимость — indipendenza nazionale

независимость суждений — autonomia / indipendenza di guidizi

отстаивать свою независимость — difendere la propria indipendenza

独立, 独立性

НЕЗАВИСИМОСТЬ

в логике и математике, невыводимость (недоказуемость) предложения некоторой теории (или выражающей его формулы соответствующего исчисления) и его отрицания из данной совокупности предложений (конъюнкции формул), напр. из данной системы аксиом. Доказательство Н. сводится к доказательству непротиворечивости (совместимости) двух систем предложений (формул): данной системы и данного предложения (формулы) — с одной стороны, и данной системы и отрицания данного предложения (формулы) — с другой. Если непротиворечивая система аксиом дедуктивно полна (см. Полнота в логике), то присоединение к ней в качестве аксиомы любого невыводимого из неё предложения приводит к противоречию. Когда речь идёт о содержательно формулируемых предложениях, то выводимость понимается интуитивно (в соответствии с законами логики); в исчислениях в качестве таких законов фиксируются определ. правила вывода, также подразделяемые на независимые (исходные) и производные.

Аналогично определённой выше дедуктивной Н. говорят о Н. функциональной (Н. выразит. средств): понятие (термин) независимо от данной совокупности понятий (терминов), если оно не может быть определено через них (при фиксированных правилах определения, относительно которых имеет смысл ставить вопрос о Н.). Совокупность предложений (формул) или понятий (терминов) наз. независимой (или неизбыточной, минимальной), если каждое из них независимо от остальных. Исторически первыми доказательствами Н. были доказательства Н. пятого постулата Евклида о параллельных, установившие относит. непротиворечивость неевклидовой геометрии Лобачевского — Бойаи. Ряд важных результатов о Н. получен для различных систем логики и аксиоматич. теории множеств.

см. к ст. Аксиоматический метод.

НЕЗАВИ́СИМОСТЬ -и; ж.

1. к Незави́симый (1 зн.). Н. слов. Н. поведения.

2. Политическая самостоятельность, отсутствие подчинённости; суверенитет. Национальная, политическая, экономическая н.

• Мы ненавидим наше правительство и с удовольствием отмечаем день независимости.

в теории вероятностей - одно из важнейших понятий этой теории. Иногда используют термины статистическая независимость, стохастическая независимость. Предположение о Н. рассматриваемых событий, испытаний и случайных величин было обычной предпосылкой в задачах, к-рые рассматривались в математической вероятностей теории со времени ее возникновения.

Для двух случайных событий понятие Н. вводится следующим образом. Пусть - два случайных события, - их вероятности. Условную вероятность события Впри условии осуществления события Аопределяют формулой

где - вероятность совместного осуществления событий Аи В. События Аи Вназ. независимыми, если

При это равносильно соотношению

Смысл данного определения Н. можно пояснить следующим образом. Предполагая, что производится большое число Nиспытаний, и переходя в (2) от вероятностей к частотам, можно заключить, что между частотой события Вво всех Nиспытаниях и частотой его появления в тех испытаниях, в к-рых наступает А, должно иметь место приближенное равенство. Н. событий указывает таким образом либо на отсутствие связи между наступлением одного из этих событий и наступлением другого, либо на несущественный характер этой связи. Так, событие, заключающееся в том, что наудачу выбранное лицо имеет фамилию, начинающуюся, напр., с буквы "А", и событие, заключающееся в том, что этому лицу достанется выигрыш в очередном тираже лотереи,- независимы.

Определение Н. пслучайных событий может быть дано в нескольких равносильных вариантах. Согласно одному из них эти события наз. независимыми, если для любого <:, и для произвольных попарно различных натуральных чисел вероятность совместного осуществления событий равна произведению их вероятностей

Отсюда, как и ранее, можно вывести, что условная вероятность каждого из рассматриваемых событий при условии, что какие-либо из остальных наступили, равна его "безусловной" вероятности.

Иногда наряду с Н. (взаимной Н.) событий рассматривают так наз. попарную Н., означающую, что любые два из этих событий и независимы. Н. событий влечет их попарную Н', а обратное, вообще говоря, неверно.

В период, предшествовавший аксиоматич. построению теории вероятностей, содержание понятия Н. не воспринималось достаточно отчетливо. "Понятие о независимых событиях можно считать вполне ясным в известных теоретических вопросах; в других же вопросах это понятие, конечно, может совершенно затемняться вместе с затемнением основного понятия о вероятности",- писал А. А. Марков (см. [1] с. 24).

В рамках аксиоматич. подхода понятие Н. наиболее естественно вводится следующим образом. Пусть (, ) - какое-либо вероятностное пространство, где - множество элементарных событий,,- -алгебра событий,- определенная на вероятностная мера. Сначала определяют Н. классов событий (здесь будут рассмотрены только классы , являющиеся -подалгебрами -алгебры,). Классы наз. независимыми (относительно Р), если любые события независимы в смысле равенства (3); классы где - произвольное множество индексов) наз. независимыми, если при любом целом и любых попарно различных классы независимы. Н. событий равносильна Н. классов

Для испытаний Н.- это Н. порождаемых ими s-алгебр. Для случайных величин , Н. определяют как Н. -подалгебр , где - прообраз относительно отображения s-алгебры борелевских множеств на числовой прямой. Н. случайных событий равносильна Н. их индикаторов т. е. случайных величин, определяемых формулами

и

Для Н. случайных величин необходимы и достаточны следующие условия.

1) Для любых действительных чисел функция распределения

равна произведению соответствующих функций распределения:

2) При наличии плотностей

плотность для почти всех по лебеговой мере в значений равна произведению

соответствующих плотностей.

3) Характеристич. функция

для всех действительных чисел равна

произведению

соответствующих характеристич. функций.

На гипотезе Н. тех или иных событий и случайных величин основаны важнейшие схемы теории вероятностей: последовательности независимых случайных величин (см., напр., Бернулли блуждание, Больших чисел закон, Предельные теоремы теории вероятностей), случайные процессы с независимыми приращениями (см., напр., Винеровский процесс, Случайный процесс )и т. д. (см. также Нуль-единица закон).

Общие замечания к понятию независимости.

1) Независимость функций от независимых случайных величин. Из данной Н. случайных величин можно вывести довольно очевидные (и вполне соответствующие интуитивно ожидаемым от понятия Н.) следствия; напр., функции от и от будут независимыми случайными величинами. Н. другого типа функций может иметь место только при специальных дополнительных предположениях и может служить для характеризации определенных классов распределений. Напр., если независимы, одинаково распределены и имеют нормальное распределение, то функции

(статистич. оценки математич. ожидания и дисперсий соответственно) являются независимыми случайными величинами. Верно и обратное утверждение: из Н. функций (4) и (5) вытекает нормальность распределений . Точно так же, если известно, что две линейные формы

являются независимыми случайными величинами и ни один из коэффициентов и не равен нулю, то все имеют нормальное распределение (из подобного рода теорем может быть при минимальных допущениях выведен, напр., закон Максвелла для распределения скоростей молекул). Приведенные утверждения служат примерами т. н. характеризационных теорем, наиболее полно изученных Ю. В. Линником и его школой.

2) Существование независимых случайных величин на заданном вероятностном пространстве. Если множество элементарных событий состоит из трех элементов, каждому из к-рых приписана вероятность, равная , то на не существует независимых случайных величин, отличных от констант. Если в качестве вероятностного пространства взят отрезок [0, 1] с мерой Лебега т, то для любой последовательности функций распределения найдутся определенные на [0, 1] измеримые функции , являющиеся по отношению к тнезависимыми случайными величинами и такие, что

Простейшим примером такого рода статистически независимых функций на [0, 1] служат знаки двоичного разложения или связанные с ними функции Радемахера

Следует отметить, что существование какого-нибудь вероятностного пространства, на к-ром определены независимые случайные величины с заданными распределениями, вытекает из теоремы Колмогорова о вероятностях в бесконечномерных пространствах (см. [3] гл. III, 4).

3) Независимые случайные величины как источник других схем. Пусть - последовательность независимых случайных величин и - (борелев-ская) функция двух переменных. Полагая

получают последовательность случайных величин, образующих Маркова цепь. Подобным же образом можно получать марковские процессы, напр, из винеровского процесса при помощи стохастических дифференциальных уравнений. Из гауссовскпх случайных мер с независимыми значениями можно, используя преобразование Фурье, построить гауссовские стационарные случайные процессы и т. д.

4) Слабая зависимость. Асимптотич. законы теории вероятностей, установленные для последовательностей независимых случайных величин, обычно могут быть распространены и на последовательности т. н. слабо зависимых величин, т. е. на последовательности где надлежащим образом измеренная зависимость между "удаленными" друг от друга отрезками последовательности "мала" (в простейших случаях это могут быть последовательности m-зависпмых величин, где и при независимы, или последовательности величин, образующих Маркова цепь эргодическую, и т. п.). Один из основных приемов доказательства соответствующих теорем - сведение рассматриваемого случая к случаю Н.

5) Независимость в теории чисел. Пусть и - два взаимно простых натуральных числа. Пусть N- натуральное число, и пусть наудачу выбирают одно из чисел от 1 до N (вероятность для каждого считают равной ). Пусть (соответственно ) событие, состоящее в том, что выбранное число делится нацело на р(соответственно q). Тогда

и при события и становятся "почти независимыми". Значительно более глубокий факт, состоящий в том, что при можно выбрать так, что события (A_j есть j-е простое число) в совокупности "почти независимы", служит основой для исследования распределения значений арифметич. функций, см. Чисел теория;вероятностные методы. Имеются и другие разделы теории чисел, где идея Н. явно или неявно присутствует.

6) О проверке гипотезы Н. по результатам наблюдений см. Статистических гипотез проверка.

Лит.:[1] Марков А. А., Исчисление вероятностей, 4 изд., М., 1924; [2] Колмогоров А. Н., Основные понятия теории вероятностей, 2 изд., М., 1974; [3] его же, Теория вероятностей, в кн.: Математика, ее содержание, методы и значение, М., 1956; [4] Кац М., Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел, пер. с англ., М., 1963; [5] Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., М.. 1967.

Ю. В. Прохоров.

independence

* * *

незави́симость ж.

independence

заря́довая незави́симость яд. физ. — charge independence

ж.

indipendenza f; autonomia f

- зарядовая независимость

матем., физ.

незале́жність, -ності

- алгебраическая независимость

- аффинная независимость

- линейная независимость

- независимость данных

- независимость событий

- независимость уравнений

- попарная независимость

- рациональная независимость

- статистическая независимость

- стохастическая независимость

- функциональная независимость

матем., физ.

незале́жність, -ності

- алгебраическая независимость

- аффинная независимость

- линейная независимость

- независимость данных

- независимость событий

- независимость уравнений

- попарная независимость

- рациональная независимость

- статистическая независимость

- стохастическая независимость

- функциональная независимость

- англ. independence; нем. Unabhangigkeit. 1. Свобода от влияния, контроля. 2. Самостоятельность, отсутствие полит., экон., культ, и т. д. подчиненности; суверенитет.3. В логике и математике - невыводимость (недоказуемость) предположения нек-рой теории и его отрицания из данной совокупности предложений.

Две случайные величины X и Y независимы, тогда и только тогда, когда для их функций

распределения выполнено F(x, y) = F(x,)F(, y) = G(x)H(y), где F(x,) =

G(x) и F(, y) = H(y), –

маргинальные функции распределения случайных величин X и Y соответственно.

Примечания.

1)

Для непрерывной независимой

случайной величины, ее функция плотности, если она существует, выражается как f(x, y) = g(x)h(y), где g(x) и

h(y) –

маргинальные функции плотностей X и Y соответственно.

Для дискретной независимой случайной величины ее

вероятности выражаются как

Pr(X = xi; Y = yi) = Pr(X=xi)Pr(Y = yi) для всех пар (xi, yi).

1.

Два события независимы, если

вероятность того, что они оба произойдут, равна произведению вероятностей этих

двух событий.

2.

Выборка взаимно независимых

случайных величин называется независимой выборкой. Почему-то считается

необходимым упоминать каждый раз, что из попарной независимости совокупности

случайных величин не следует их взаимная независимость.

- англ. independence; нем. Unabhangigkeit. 1. Свобода от влияния, контроля. 2. Самостоятельность, отсутствие полит., экон., культ, и т. д. подчиненности; суверенитет.3. В логике и математике - невыводимость (недоказуемость) предположения нек-рой теории и его отрицания из данной совокупности предложений.