«Степенная функция»

функция f(x)= х^а, где а — фиксированное число (см. Степень). При действительных значениях основания х и показателя а обычно рассматривают лишь действительные значения С. ф. x^a. Они существуют, во всяком случае, для всех х > 0; если а —рациональное число с нечётным знаменателем, то они существуют также для всех х 0; если же знаменатель рационального числа а чётный, либо если и иррационально, то x^a не имеет действительного значения ни при каком х 0. При х =0 степенная функция x^a равна нулю для всех а > 0 и не определена при а 0; 0° определённого смысла не имеет. С. ф. (в области действительных значений) однозначна, за исключением тех случаев, когда а — рациональное число, изображаемое несократимой дробью с чётным знаменателем: в этих случаях она двузначна, причём её значения для одного и того же значения аргумента х> 0 равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Обычно тогда рассматривается только неотрицательное, или арифметическое, значение С. ф. Для х>0 С. ф. — возрастающая, если а> 0, и убывающая, если ах = 0, в случае 0 <>аx^a)' = ax^a-1.Далее,

, при a ≠ -1;

в любом интервале, содержащемся в области определения подынтегральной функции.

Функции вида у = cx^a, где с — постоянный коэффициент, играют важную роль в математике и её приложениях; при а = 1 эти функции выражают прямую пропорциональность (их графики — прямые, проходящие через начало координат, см. рис. 1), при а =—1 — обратную пропорциональность (графики — равносторонние гиперболы с центром в начале координат, имеющие оси координат своими асимптотами, см. рис. 2). Многие законы физики математически выражаются при помощи функций вида у = cx^a(см. рис. 3); например, у = cx² выражает закон равноускоренного или равнозамедленного движения (у — путь, х — время, 2c — ускорение; начальные путь и скорость равны нулю).

В комплексной области С. ф. z^a определяется для всех z ≠ 0 формулой:

, (*)

где k= 0, ± 1, ± 2,.... Если а — целое, то С. ф. z^a однозначна:

.

Если а — рациональное (а = p/q, где ри q взаимно просты), то С. ф. z^a принимает q различных значений:

где ε_k = — корни степени q из единицы: k = 0, 1, …, q - 1. Если а — иррациональное, то С. ф. z^a — бесконечнозначна: множитель ε^α2κπι принимает для разных k различные значения. При комплексных значениях а С. ф. z^a определяется той же формулой (*). Например,

так что, в частности, k = 0, ± 1, ± 2,....

Под главным значением (z^a)₀С. ф. понимается её значение при k = 0, если —π<>z ≤ π (или 0 ≤ argz z^a)=|z^a|e^{ia arg z}, (i)₀=e ^-π/2 и т.д.

Рис. к ст. Степенная функция.

Рис. к ст. Степенная функция.

СТЕПЕННАЯ функция - функция вида y = axn, где a и n - любые действительные числа.

power function

степенна́я фу́нкция

функция вида у=axⁿ, где а и n — любые действительные числа. На рисунке изображены графики степенной функции для n = 1, 2, 3, ¹/₂ и а = 1.

* * *

СТЕПЕННА́Я ФУ́НКЦИЯ, функция вида y = ax_n, где a и n — любые действительные числа.

- функция у = х ^a, где а - постоянное число. Если а - целое число, то С. ф.- частный случай рациональной функции. При комплексных значениях хи аС. ф. неоднозначна, если а - нецелое число.

При фиксированных действительных . и а число х ^а является степенью, поэтому свойства С. ф. у=х ^a вытекают из свойств степени.

При x>0 С. ф. x^a определена и положительна для любого действительного a. При С. ф. х ^а определена в следующих случаях.

а) С. ф. х ^а при х=0 определена и равна нулю, если а>0, и не определена, если а<0. С. ф. х ^а равна единице при обычно считают, что при всех х, хотя символ 0

ф-ция вида у = ахⁿ, где а и п - действит. числа, С. ф. охватывает большое число закономерностей в природе. На рис. изображены графики С. ф. для п = 1, 2, 3, 1/2 и а = 1.

К ст. Степенная функция

power function

funzione di potenza

степене́ва фу́нкція

степене́ва фу́нкція

функция вида у = ахⁿ, где а и п - любые действительные числа. На рис. изображены графики С. ф. для n= 1, 2, 3, 1/2 и a=1.

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ

СТЕПЕННАЯ функция - функция вида y = axn, где a и n - любые действительные числа.

Большой Энциклопедический словарь. 2000.

Источник: