Лежандра многочлены в словарях и энциклопедиях
сферические многочлены, специальная система многочленов последовательно возрастающих степеней. Впервые рассматривалась А. Лежандроми П. Лапласом (в 1782—85) независимо друг от друга. Для n = 0,1,2,... Л. м. Р(х) могут быть определены формулой:
,
в частности:
,
,
,
и т.д. Все нули многочлена Pn (x) — действительные и лежат в основном промежутке [—1, +1], перемежаясь с нулями многочлена Pn+i (x). Л. м. — Ортогональные многочлены с весом 1 на отрезке [—1, +1,]; они образуют полную систему, чем обусловливается возможность разложения в ряд по Л. м. произвольной функции f(x), интегрируемой на отрезке [—1, +1]:
,
где
Характер сходимости рядов по Л. м. примерно тот же, что и рядов Фурье.
Явное выражение для Л. м.:
Производящая функция:
(Л. м. — коэффициенты при n-й степени в разложении этой функции по степеням t). Рекуррентная формула:
nPn (x)+(n -1) Pn-2(x)-(2n -1) xPn-1(x)=0.
Дифференциальное уравнение для Л. м.
возникает при разделении переменных в уравнении Лапласа в сферических координатах. См. также Сферические функции.
Лит.: Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф., Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, пер. с нем., 2 изд., М., 1968; Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложения, 2 изд., М. — Л., 1963.
В. Н. Битюцков.
ЛЕЖАНДРА МНОГОЧЛЕНЫ - специальная система многочленов, ортогональных с весом 1 на отрезке ЛЕЖЕ (Leger) Фернан (1881-1955) - французский живописец и график. Геометризованные, уподобленные машинным формам изображения современного мира, картины, посвященные труду индустриальных и строительных рабочих ("Строители", 1951), монументальные декоративные композиции (оформление музея Леже в Бьо по эскизам Леже, 1956-60).
Лежа́ндра многочле́ны
специальная система многочленов, ортогональных с весом 1 на отрезке [-1; 1]. Рассматривались А. Лежандром и П. Лапласом (в 1782—85).
* * *
ЛЕЖАНДРА МНОГОЧЛЕНЫЛЕЖА́НДРА МНОГОЧЛЕ́НЫ, специальная система многочленов, ортогональных с весом 1 на отрезке [-1;1]. Рассматривались А. Лежандром и П. Лапласом (в 1782—85).
сферические многочлены, - многочлены, ортогональные на сегменте [ -1,1] с единичным весом Стандартизованные Л. м. определяются Родрига формулой
и имеют представление
Наиболее употребительны формулы
Л. м. можно определить как коэффициенты разложения производящей функции
где ряд в правой части сходится, если
Несколько первых стандартизованных Л. м. имеют вид
Л. м. порядка пудовлетворяет дифференциальному уравнению (уравнению Лежандра)
к-рое появляется при решении уравнения Лапласа в сферич. координатах методом разделения переменных. Ортонормированные Л. м. имеют вид
и допускают равномерную и весовую оценки
Ряды Фурье по Л. м. внутри интервала (-1, 1) аналогичны тригонометрич. рядам Фурье; есть теорема о равносходимости этих двух рядов, к-рая означает, что ряд Фурье - Лежандра функции f(х).в точке
сходится тогда и только тогда, когда в точке сходится тригонометрия, ряд Фурье функции
В окрестности концов положение иное, ибо последовательность возрастает со скоростью Если функция f(x).на гегменте [-1, 1] непрерывна и удовлетворяет условию Липшица порядка то ряд Фурье - Лежандра сходится к функции f(х).равномерно на всем сегменте [-1, 1]. При условии этот ряд, вообще говоря, расходится в точках x=±1.
Эти многочлены введены А. Лежандром [1].
Лит.:[1] Legendre А. М., "Memoires de mathematique et de physique, presentes a l'Academie royale des sciences par divers savants", 1785, t. 10, p. 411-34; [2] Гобсон Е. В., Теория сферических и эллипсоидальных функций, пер. с англ., М., 1952; см. также лит. при статье Ортогональные многочлены.
П. Я. Суетии.
спец. система многочленов, ортогональных с весом 1 на отрезке [-1; 1]. Рассматривались А. Лежандром и П. Лапласом (в 1782-85).