«Линейное преобразование»

Л., или проективным, преобразованием плоскости называется такой переход от одной плоскости к другой, при котором все точки любой прямой, лежащей в первой плоскости, образуют во второй плоскости тоже прямую. Этот переход достигается преобразованием координат х', у' в координаты x, у по формулам:

Л. преобразованием форм, т. е. многочленов однородных относительно переменных, называется такое преобразование, в котором новая форма получается из данной заменой переменных многочленами однородными первой степени от новых переменных. Напр.: линейное преобразование двоичной формы (содержащей две переменных x и у) совершается посредством формул:

где α, ß, у, δ называются коэффициентами преобразования. Определитель называется модулем такого преобразования (см. Форма).

переменных x₁, x₂, ..., x_n — замена этих переменных на новые x'₁, x’₂, ..., x'_n, через которые первоначальные переменные выражаются линейно, т. е. по формулам:

x₁ = a₁₁x’₁ + a₁₂x’₂ + ... + a_nnx’_n + b₁,

x₂ = a₂₁x’₁ + a₂₂x’₂ + ... + a_2nx’_n + b₂,

...

x_n = a_n1x’₁ + _an2x’₂ + ... + a_nnx’_n + b_n,

здесь a_ijи b_i(i, j = 1,2, ..., n) — произвольные числовые коэффициенты. Если b₁, b₂,..., b_n все равны нулю, то Л. п. переменных называют однородным.

Простейшим примером Л. п. переменных могут служить формулы преобразования прямоугольных координат на плоскости

х = x' cosα- y' sinα+ a,

у = x' sinα+ y' cosα+ b.

Если ОпределительD = ∣a_ij∣, составленный из коэффициентов при переменных, не равен нулю, то можно и новые переменные x'₁, x'₂, ..., x'_n линейно выразить через старые. Например, для формул преобразования прямоугольных координат

и

x’ =x cosα+ ysinα+ a₁

y’ = -x sinα+ cosα+ b₁

где a₁ = - a cosα- b sinα, b₂ = a sinα- b cos(. Другими примерами Л. п. переменных могут служить преобразования аффинных и однородных проективных координат, замена переменных при преобразовании квадратичных форм и т. п.

Л. п. векторов (или Л. п. векторного пространства (См. Векторное пространство)) называют закон, по которому вектору х из n-мерного пространства ставят в соответствие новый вектор x', координаты которого линейно и однородно выражаются через координаты вектора х:

x’₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... +a_1nx_n

x’₂ = a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... +a_2nx_n

...

x’_n = a_n1x₁ + a_n2x₂ + ... +a_nnx_n,

или коротко

x' = Ax.

Например, операция проектирования на одну из координатных плоскостей (пусть на плоскость хОу) будет Л. п. трёхмерного векторного пространства: каждому вектору а с координатами х, у, z сопоставляется новый вектор b, координаты x', y'., z' которого выражаются через х, у, z следующим образом : x' = х, y' = у, z'= 0. Пример Л. п. плоскости — поворот её на угол α вокруг начала координат. Матрицу (См. Матрица)

,

составленную из коэффициентов Л. п. А, называют его матрицей. Матрицами приведённых выше Л. п. проектирования и поворота будут соответственно

и

Л. п. векторного пространства можно определить (как обычно поступают) без использования системы координат: соответствие х→у = Axназывают Л. п., если выполняются условия А(х + у)= Ax + Ауи A(αx)=αА(х) для любых векторов х и у и любого числа α. В разных системах координат одному и тому же Л. п. будут соответствовать разные матрицы и, следовательно, разные формулы для преобразования координат.

К Л. п. относится, в частности, нулевое Л. п. О, переводящее все векторы в 0 (нулевой вектор) : Ox = 0 и единичное Л. п. Е, оставляющее все векторы без изменения: Ex = х; этим Л. и. в любой системе координат соответствуют нулевая и единичная матрицы.

Для Л. п. векторного пространства естественным образом определяются операции сложения и умножения: суммой двух Л. п. А и В называют Л. п. С, переводящее любой вектор х в вектор Cx = Ax + Вх; произведением Л. п. А и В называют результат их последовательного применения: С = AB, если Cx = А(Вх).

В силу этих определений совокупность всех Л. п. векторного пространства образует Кольцо. Матрица суммы (произведения) Л. п. равна сумме (произведению) матриц Л. п. слагаемых (сомножителей); при этом существен порядок множителей, так как произведение Л. и., как и матриц, не обладает свойством коммутативности (См. Коммутативность). Л. п. можно также умножать на числа: если Л. п. А переводит вектор х в вектор у = Ax, то αА переводитх в αу. Примеры операций над Л. п.: 1) Пусть А и В означают операции проектирования па оси Ox и Оу в трёхмерном пространстве; А + В будет проектированием на плоскость хОу, аAB = 0. 2) А и В — повороты плоскости вокруг начала координат на углы φ и ψ; AB будет поворотом на угол φ + ψ. 3) Произведение единичного Л. п. Е на число α будет преобразованием подобия с коэффициентом растяжения (или сжатия) α.

Л. п. В называют обратным к Л. п. А (и обозначают А^-1), если BA = Е (или AB = Е). Если Л. п. А переводило вектор х в вектор у, то Л. п. А^-1 переводит у обратно в х. Л. п., обладающее обратным, называют невырожденным; такие Л. п. характеризуются также тем, что определитель их матрицы не равен нулю. Некоторые классы Л. п. заслуживают особого упоминания. Обобщением поворотов двумерных и трёхмерных евклидовых пространств являются ортогональные (или унитарные — в комплексных пространствах) Л. п. Ортогональные Л. п. не изменяют длин векторов (а следовательно, и углов между ними). Матрицы этих Л. п. в ортонормированной системе координат также называются ортогональными (унитарными): произведение ортогональной матрицы на её транспонированную даёт единичную матрицу: ∑_ka_ika_jk = ∑_ka_kia_kj = 0 при i ≠ j, ∑_ka²_ik = ∑_ka²_ki = 1 (в комплексном пространстве ∑_ka_ika̅_jk = ∑_ka_kia̅_kj = 0, ∑_k|a_jk|² = ∑_k|a_ki|² = 1). Симметрическим (эрмитовым, или самосопряжённым, — в комплексном пространстве) Л. п. называют такое Л. п., матрица которого симметрическая: a_ij = a_ji (или (a_ij = a̅_ij). Симметрические Л. п. осуществляют растяжение пространства с разными коэффициентами по неск. взаимно ортогональным направлениям. С симметрическими Л. п. связана теория квадратичных форм (или эрмитовых форм в комплексном пространстве).

Приведённое выше определение Л. п. в векторном пространстве, не использующее координатную систему, без всяких изменений распространяется и на бесконечномерные (в частности, функциональные) пространства. Л. п. в бесконечномерных пространствах принято называть линейными операторами (См. Линейный оператор).

Лит.: Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968; Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, 3 изд., М., 1970; Ефимов Н. В., Розендорн Э. P., Линейная алгебра и многомерная геометрия, М., 1970.

ЛИНЕЙНОЕ преобразование - 1) линейное преобразование переменных x1, x2, ..., xn, замена этих переменных на новые y1, y2, ..., yn, через которые первоначальные переменные выражаются линейно, т. е. по формулам: здесь aij, bj (i, j ?1,..., n) - произвольные числа.

2) линейное преобразование векторного пространства, преобразование y?Ax этого пространства, обладающее свойством линейности: если y1?Ax1, y2?Ax2, то A(C1x1+C2x2)?C1y1+C2y2, где C1, C2 - числа.

linear transformation

linear transformation

лине́йное преобразова́ние

1) Линейное преобразование переменных x₁, x₂, ..., x_n, замена этих переменных на новые y₁, y₂, ..., y_n, через которые первоначальные переменные выражаются линейно, то есть по формулам:x₁ = a₁₁y₁ + ... + a_1ny_n + b₁......................x_n = a_n1y₁ + ... + a_nny_n + b_n;здесь a_ij, b_j (i, j = 1, ..., n) — произвольные числа.2) Линейное преобразование векторного пространства, преобразование y = Ax этого пространства, обладающее свойством линейности: если y₁ = Ax₁, y₂ = Ax₂, тоA(C₁x₁ + C₂x₂) = C₁y₁ + C₂y₂, где C₁, C₂ — числа.

* * *

ЛИНЕ́ЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВА́НИЕ,

1) линейное преобразование переменных x1, x2,..., x_n, замена этих переменных на новые y1, y2,..., y_n, через которые первоначальные переменные выражаются линейно, т. е. по формулам:

здесь a_ij, b_j (i, j =1,..., n) — произвольные числа.

2) линейное преобразование векторного пространства, преобразование y=Ax этого пространства, обладающее свойством линейности: если y₁=Ax₁, y₂=Ax₂, то A(C1x1+C2x2)=C1y1+C2y2, где C1, C2 — числа.

-отображение векторного пространства в себя, при к-ром образом суммы двух векторов является сумма их образов, а образом произведения вектора на число - произведение образа вектора на это число. Если V - векторное пространство, f - заданное в нем Л. п. и ж, у - любые векторы пространства, - любое число (элемент поля), то

Если векторное пространство Vимеет конечную размерность - его базис; x₁,,x₂,..., х _п - координаты произвольного вектора жв этом базисе и у ₁, у ₂,..., у _п- координаты его образа то координаты вектора y выражаются через координаты. вектора як линейными однородными функциями

Матрица

наз. матрицей Л. п. f в базисе В ее столбцах стоят координаты образов базисных векторов. Если

- матрица перехода от базиса к базису

то в базисе матрица ВЛ. п. fбудет B= С ^-1 АС.

Суммой двух Л. п. f и gпаз. такое преобразование А, при к-ром для всякого вектора

Произведением Л. п. f на число l ваз. преобразование k, при к-ром для всякого вектора

Произведением Л. п. f на Л. п. gназ. преобразование

Сумма двух Л. п., произведение Л. п. на число, произведение двух Л. п. являются линейными преобразованиями. Л. п. образуют алгебру. В случае, когда конечномерное пространство имеет размерность п, алгебра его Л. п. изоморфна алгебре квадратных матриц порядка п, элементами к-рых являются элементы того поля, над к-рым построено векторное пространство.

Л. п. f, при к-ром векторное пространство отображается на себя, наз. обратимым, если существует такое преобразование f^-1, что

где Е - тождественное преобразование. Преобразование f^-1 является Л. п. и наз. обратным преобразованием к преобразованию f. Л. п., заданное в конечномерном векторном пространстве, обратимо тогда и только тогда, когда определитель его матрицы в каком-нибудь (и тогда во всяком) базисе отличен от нуля. Если А - матрица обратимого Л. п., то матрица обратного ему Л. п. f^-1 равна А ^-1. Обратимые Л. п. образуют группу по отношению к операции умножения. В случае векторных пространств конечной размерности и эта группа изоморфна группе невырожденных квадратных матриц порядка п.

Подпространство Vвекторного пространства Vназ. инвариантным подпространством относительно Л. п. f, если . для всякого вектора Ненулевой вектор наз. собственным вектором Л. п. f, соответствующим собственному значению если В случае пространства конечной размерности над полем комплексных чисел всякое Л. п. имеет собственный вектор (обладает одномерным инвариантным подпространством). В случае конечномерного пространства над полем действительных чисел у всякого Л. п. имеется одномерное или двумерное инвариантное подпространство. Л. п. f, заданное в конечномерном векторном пространстве, наз. диагонализируемым Л. п.,

если в пространстве Vсуществует такой базис, в к-ром матрица этого преобразования имеет диагональную форму. Другими словами, Л. п. диагонализируемо, еcли пространство обладает базисом, состоящим из собственных векторов этого Л. п. Однако не всякое Л. п. даже в пространстве над полем комплексных чисел обладает базисом из собственных векторов этого Л. п., напр. Л. п. двумерного пространства, заданное матрицей

у к-рой имеется единственное одномерное инвариантное подпространство с базисом {1, 0}.

В конечномерном векторном пространстве над полем комплексных чисел для всякого Л. п. существует такой базис, в к-ром матрица этого преобразования имеет клеточный вид, где по главной диагонали стоят жордановы клетки, а в остальных местах - нули. Жорданова клетка 1-го порядка состоит из одного числа К;жорданова клетка порядка kесть квадратная матрица порядка kвида

Числа l являются собственными значениями матрицы Л. п. Одному и тому же Я могут соответствовать как несколько клеток одного и того же порядка, так и клетки различных порядков. Матрица, состоящая из жордановых клеток, наз. нормальной жордановой формой матрицы.

Л. п. f, заданное в евклидовом (унитарном) пространстве, наз. самосопряженным (соответственно эрмитовым), если для всяких двух векторов имеет место равенство ) (соответственно

Л. п., заданное в конечномерном евклидовом (унитарном) пространстве, будет самосопряженным (эрмитовым) тогда и только тогда, когда его матрица Ав каком-нибудь (а тогда и во всяком) ортонормированном базисе является симметрической (соответственно эрмитовой). Самосопряженное (эрмитово) Л. п., заданное в конечномерном евклидовом (соответственно унитарном) пространстве, обладает ортонормированным базисом, в к-ром его матрица имеет диагональную форму. По главной диагонали стоят (всегда действительные) собственные значения матрицы АЛ. п.

Л. п. f, заданное в евклидовом (унитарном) пространстве V, наз. изометрическим (соответственно унитарным), если для всякого вектора

Л. п., заданное в конечномерном евклидовом (унитарном) пространстве, изометрично (соответственно унитарно) тогда и только тогда, когда его матрица Ав каком-нибудь (а тогда и во всяком) ортонормированном базисе была ортогональной (соответственно унитарной). Для всякого изометрич. Л. п., заданного в конечномерном евклидовом пространстве, существует ортонормированный базис, в к-ром матрица преобразования состоит из клеток 1-го и 2-го порядка, стоящих на ее главной диагонали. Клетки 1-го порядка суть действительные собственные значения матрицы Апреобразования, равные +1 и -1, а клетки 2-го порядка имеют вид

где - действительная часть и коэффициент при i комплексного собственного значения, матрицы А, на остальных местах матрицы Астоят нули. Для всякого унитарного преобразования, заданного в унитарном пространстве, существует ортонормированный базис, в к-ром матрица этого преобразования является диагональной, причем на главной диагонали стоят числа, по модулю равные 1.

Всякое Л. п., заданное в конечномерном евклидовом (унитарном) пространстве, является произведением самосопряженного и изометрич. Л. п. (соответственно эрмитова и унитарного).

Лит.:[1] Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968; [2] Гельфанд II. М., Лекции по линейной алгебре, 4 изд., М., 1971; [3] Ефимов Н. В., Розендорн 3. Р., Линейная алгебра и многомерная геометрия, М., 1970; [4] X а л м о ш П., Конечномерные векторные пространства, пер. с англ., М., 1963. А. С. Пархоменко.