«Многообразие»

Многообразие в словарях и энциклопедиях

Значение слова «Многообразие»

Источники

  1. Словарь Брокгауза и Ефрона
  2. Большая Советская энциклопедия
  3. Словарь форм слова
  4. Толковый словарь Ожегова
  5. Малый академический словарь
  6. Толковый словарь Ушакова
  7. Толковый словарь Ефремовой
  8. Большой энциклопедический словарь
  9. Большой англо-русский и русско-английский словарь
  10. Русско-английский словарь математических терминов
  11. Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь
  12. Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь
  13. Большой французско-русский и русско-французский словарь
  14. Большой испано-русский и русско-испанский словарь
  15. Большой итальяно-русский и русско-итальянский словарь
  16. Физическая энциклопедия
  17. Русско-китайский словарь: пресса, интернет, радио, телевидение
  18. Энциклопедический словарь
  19. Начала современного естествознания
  20. Оригинальная словарная подборка афоризмов
  21. Математическая энциклопедия
  22. Математическая энциклопедия
  23. Русско-английский политехнический словарь
  24. Dictionnaire technique russo-italien
  25. Русско-украинский политехнический словарь
  26. Русско-украинский политехнический словарь
  27. Естествознание. Энциклопедический словарь
  28. Словарь антонимов
  29. Орфографический словарь-справочник
  30. Тезаурус русской деловой лексики
  31. Большой Энциклопедический словарь

    Словарь Брокгауза и Ефрона

    (мат.)

    Уравнение между двумя координатами, х, у, имеющее вид f(x, у) = 0, определяет линию, которая, как известно, имеет одно измерение. Уравнение f(x, y, z) = 0 между тремя координатами определяет поверхность, имеющую два измерения. Обобщая такого рода представления, говорят, что уравнение f(x1, x2, x3,.. ., хn, хn+1) = 0 между n + 1 координатами представляет М. п-ого измерения.

    Н. Д.

  1. Источник: Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона



  2. Большая Советская энциклопедия

    математическое понятие, уточняющее и обобщающее на любое число измерений понятия линии и поверхности, не содержащих особых точек (т. e. линии без точек самопересечения, концевых точек и т. п. и поверхности без самопересечений, краев и т. п.).

    Примером одномерного М. могут служить прямая, парабола, окружность, эллипс, вообще любая линия, у каждой точки которой существует окрестность, являющаяся взаимно однозначным и непрерывным (или, как говорят в топологии, гомеоморфным) образом интервала (внутренней части отрезка прямой). Интервал сам является одномерным М., отрезок же не является М. (так как концы его не имеют окрестностей указанного вида).

    Примером двумерного М. может служить любая область на плоскости (например, внутренность круга x2 + y2 <>r2), сама плоскость, параболоид, сфера, эллипсоид, тор и т. п. Двумерные М. характеризуются тем, что у каждой их точки имеется окрестность, гомеоморфная внутренности круга. Это требование исключает, например, из числа двумерных М. коническую поверхность (её вершина, в которой сходятся две её полости, не имеет требуемого вида окрестности). Однако выделяют специальный класс объектов, которые не удовлетворяют этому требованию, — т. н. многообразия с краем (например, замкнутый круг x2 + y2r2).

    Примером трёхмерного М. может служить обычное евклидово пространство, а также любое Открытое множество в евклидовом пространстве. Трёхмерные М. характеризуются тем, что у каждой их точки имеется окрестность, гомеоморфная внутренности шара.

    М. разделяются на замкнутые и открытые (определение см. ниже). В случае одного измерения каждое замкнутое М. гомеоморфно окружности, а каждое открытое — прямой (нарис. 1 изображены одномерные М. и окрестности точки Р на каждом из них). В случае двух измерений уже замкнутые М. довольно разнообразны. Они распадаются на бесконечное число топологических типов: сфера — поверхность рода 0 (рис. 2, а), тор — поверхность рода 1 (рис. 2, б), «крендель» — поверхность рода 2 (рис. 2, в), вообще «сфера с n ручками» — поверхность рода n (на рис. 2, г изображена такая поверхность при n = 3). Этими примерами исчерпываются все топологические типы замкнутых двумерных ориентируемых М. (см. также Ориентируемая поверхность). Существует ещё бесконечное число замкнутых двумерных неориентируемых М. — односторонних поверхностей, например Проективная плоскость, т. н. односторонний тор (Клейна поверхность). Имеется и классификация открытых двумерных М. Полная классификация М. трёх измерений не найдена (1974) (даже для случая замкнутых М.).

    Многообразием n измерений (или n-мерным многообразием) называется всякое хаусдорфово Топологическое пространство, обладающее следующим свойством: каждая его точка имеет окрестность, гомеоморфную внутренности n-мерного шара, и всё пространство может быть представлено в виде суммы конечного или бесконечного (счётного) множества таких окрестностей. М. называется замкнутым, если оно компактно (см. Компактность), в противном случае — открытым. Иногда к определению М. прибавляют ещё требование его связности: каждые две точки М. могут быть в нём соединены непрерывной дугой.

    Введение в математику понятия М. любого (натурального) числа измерений n было вызвано весьма разнообразными потребностями геометрии, математического анализа, механики и физики. Важность достаточной широты понимания М. как топологического пространства основана на том, что точками так определённых М. могут быть объекты любой природы, например прямые, сферы, матрицы и т. д.

    При надлежащем добавлении требований к определению М. устанавливается понятие гладкого, или дифференцируемого, многообразия. На гладком М. имеется возможность рассматривать дифференцируемые функции и дифференцируемые отображения в себя или в другие гладкие М. Гладкие М. имеют особенно большое значение в современной математике, поскольку именно они наиболее широко используются в приложениях и смежных областях (например, конфигурационные пространства (См. Конфигурационное пространство)и фазовые пространства (См. Фазовое пространство) в механике и физике). На гладких М. можно ввести метрику (См. Метрика), превратив его в Риманово пространство. Это позволяет строить дифференциальную геометрию на М. Например, введя некоторым образом метрику в конфигурационном пространстве механической системы, можно истолковать траектории движения как геодезические линии в этом пространстве (см. Наименьшего действия принцип). М., для элементов которого определено (дифференцируемое) умножение, превращающее М. в группу, называется группой Ли (см. Непрерывная группа).

    Понятие М. играет большую роль в теории алгебраических функций, непрерывных групп и т. д. Во всех этих приложениях существенны свойства М., не изменяющиеся при топологических преобразованиях, — т. н. топологические свойства. К ним относятся, например, ориентируемость или неориентируемость М. (см. Ориентация). Изучение этих свойств является одной из важнейших задач топологии.

    Лит.: Александров П. С. и Ефремович В. А., Очерк основных понятий топологии, М. — Л., 1936; Александров П. С., Комбинаторная топология, М. — Л., 1947; Ленг С., Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., М., 1967.

    Н. В. Ефимов.

    Рис. 1. Одномерные многообразия.

    Рис. 2. Примеры замкнутых двумерных многообразий.

  3. Источник: Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.



  4. Словарь форм слова

    1. многообра́зие;
    2. многообра́зия;
    3. многообра́зия;
    4. многообра́зий;
    5. многообра́зию;
    6. многообра́зиям;
    7. многообра́зие;
    8. многообра́зия;
    9. многообра́зием;
    10. многообра́зиями;
    11. многообра́зии;
    12. многообра́зиях.
  5. Источник: Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку»



  6. Толковый словарь Ожегова

    МНОГООБРА́ЗНЫЙ, -ая, -ое; -зен, -зна. Существующий во многих видах и формах. Многообразные явления.

  7. Источник: Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949-1992.



  8. Малый академический словарь

    , ср.

    1.

    Проявление чего-л. единого по своей сущности в различных видах и формах.

    Многообразие жизни. Многообразие растительного и животного мира.

    Нигде, может быть, многосторонний гений Шекспира не отразился с таким многообразием, как в Фальстафе, коего пороки, один с другим связанные, составляют забавную, уродливую цепь. Пушкин, Table-talk.

    2.

    Разнообразие, обилие чего-л. различного.

    Дорога с ее многообразием запахов — людских, конских, машинных — сильно волновала их [коней]. А Кожевников, Живая вода.

  9. Источник: Малый академический словарь. — М.: Институт русского языка Академии наук СССР. Евгеньева А. П.. 1957—1984.



  10. Толковый словарь Ушакова

    МНОГООБРА́ЗИЕ, многообразия, мн. нет, ср. (книжн.). Множественность проявлений чего-нибудь, форм обнаружения чего-нибудь. Многообразие форм в природе. Многообразие явлений.

  11. Источник: Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935-1940.



  12. Толковый словарь Ефремовой

    ср.

    1.

    Проявление чего-либо в различных видах и формах.

    отт. Различие видов и форм существования, проявления чего-либо.

    2.

    Разнообразие, обилие чего-либо различного.

  13. Источник: Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000.



  14. Большой энциклопедический словарь

    МНОГООБРАЗИЕ - математическое понятие, уточняющее и обобщающее на любое число измерений понятия линии и поверхности, не содержащих особых точек (т. е. линии без точек самопересечения, концевых точек и т. п., поверхности без самопересечения, краев и т. п.).

  15. Источник: Большой Энциклопедический словарь. 2000.



  16. Большой англо-русский и русско-английский словарь

    ср. (многообразность) variety;
    diversity, multiformityмногообраз|ие - с. variety, diversity;
    ~ный varied, diverse.

  17. Источник: Большой англо-русский и русско-английский словарь



  18. Русско-английский словарь математических терминов

    n.manifold, variety, diversity

  19. Источник: Русско-английский словарь математических терминов



  20. Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь

    многообразие с Mannigfaltigkeit f, Vielfalt f

  21. Источник: Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь



  22. Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь

    с

    Mannigfaltigkeit f, Vielfalt f

  23. Источник: Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь



  24. Большой французско-русский и русско-французский словарь

    с.

    diversité f, variété f

  25. Источник: Большой французско-русский и русско-французский словарь



  26. Большой испано-русский и русско-испанский словарь

    с.

    diversidad f, variedad f, pluralidad f

  27. Источник: Большой испано-русский и русско-испанский словарь



  28. Большой итальяно-русский и русско-итальянский словарь

    с.

    varietà f, molteplicita f

  29. Источник: Большой итальяно-русский и русско-итальянский словарь



  30. Физическая энциклопедия

    МНОГООБРАЗИЕ

    - множество, точки к-рого задаются набором чисел (координат), причём при переходе от точки к точке координаты меняются непрерывно. Локально, т. е. в нек-рой окрестности каждой точки, M. устроено так же, как евклидово пространство3032-18.jpg. (элементы к-рого представляют собой наборы n вещественных чисел 3032-19.jpgM. являются конфигурац. и фазовые пространства динамических систем. Напр., положение твёрдого тела, закреплённого в одной точке, задаётся углами Эйлера 3032-20.jpg так что его конфигурац. пространство является 3-мерным M. [оно совпадает с группой 3-мерных вращений SO(3)]. M. являются также непрерывные группы и однородные пространства (см. Группа). Понятие M. возникло в результате обобщения понятия поверхности; применяется в разл. областях теоретич. физики (аналитич. механика, теория тяготения, квантовая теория поля, теория калибровочных полей и др.). Часто в физике используют M. с дополнительными математическими структурами, например M. со связностью.

    Наличие координат позволяет распространить на произвольное дифференцируемое M. мн. методы матем. анализа, развитые первоначально для 3-мерного евклидова пространства 3032-21.jpg (см. Векторный анализ), а затем перенесённые в n-мерное евклидово пространство 3032-22.jpg Гл. трудностью является то, что в M., как правило, нет выделенной системы координат (подобной декартовой системе координат в 3032-23.jpg. Поэтому приходится рассматривать все возможные системы координат и строить теорию так, чтобы можно было переходить от одной системы координат к другой. Напр., в теории тяготения, где предполагается, что пространство-время является римановым M. (см. Риманово пространство), требование, чтобы ур-ния не зависели от выбора системы координат, является одним из важных принципов (принцип общей ковариантности).

    В дифференц. геометрии (т. н. матем. анализ на M.) всё большее распространение получают бескоординатные методы, в к-рых координаты явно не фигурируют (по крайней мере при нек-рых общих доказательствах и рассуждениях). Это удобно и важно с точки зрения физ. приложений, т. к. позволяет отвлечься от несуществ, деталей (связанных с выбором конкретной системы координат) и сделать явным инвариантный характер используемых матем. объектов (отсутствие зависимости от системы координат). В 3-мерном анализе аналогом такого подхода является использование вектора a вместо его компонент ai, i = 1, 2, 3 (к-рые меняются при изменении системы отсчёта). Разумеется, в бескоординатном подходе неявно всегда присутствуют координаты, т. к. они необходимы для определения всех осн. понятий.

    В физ. приложениях M. часто возникают как подмножества в евклидовом пространстве, заданные с помощью ур-ний. Напр., двумерная сфера S2 определяется как поверхность в 3032-24.jpg выражаемая ур-нием 3032-25.jpg; n-мерная сфера Sn определяется как множество точек в 3032-26.jpgвыделяемых ур-нием 3032-27.jpg 1 (здесь х i- декартовы координаты в 3032-28.jpg; независимые ур-ния 3032-29.jpg k=1,..., n, выделяют в 3032-30.jpgM. размерности n- т. Системы координат. Каждая система координат на многообразии M определяется в нек-рой области 3032-31.jpg и сопоставляет каждой точке этой области, 3032-32.jpg набор вещественных чисел 3032-33.jpg (координат этой точки). При этом область U (координатная окрестность) взаимно однозначно отображается на некоторую область евклидова пространства 3032-34.jpg Именно возможность такого отображения позволяет перенести в M. аналитич. методы, развитые первоначально на 3032-35.jpgНапр., на сфере S 2 пара чисел { х, у}может служить координатами точек верх, полусферы (z > 0) или ниж. полусферы (z< 0). Однако её нельзя рассматривать как систему координат на всей сфере, т. к. иначе двум разным точкам сопоставлялся бы один и тот же набор координат. Сферич. координаты 3032-36.jpg определяют ф-лами 3032-37.jpg

    3032-38.jpg

    на всей сфере S2, за исключением её полюсов (точек 3032-39.jpg Числа 3032-40.jpg 3032-41.jpg (получающиеся при т. н. стереографич. проекции сферы S2 на плоскость) могут служить координатами на всей сфере, за исключением её северного полюса (точки х = у = 0, z =1).

    Двумерная сфера 3032-42.jpg- пример M., на к-ром не только не существует выделенной системы координат, но к-рое вообще нельзя покрыть единой системой координат. Причина в том, что сфера радикально отличается от плоскости 3032-43.jpgсвоими топологич. свойствами, т. е. не может быть непрерывным образом деформирована в плоскость (см. Топология). Чтобы иметь координаты в окрестности каждой точки сферы, необходимо рассмотреть более одной системы координат. В общем случае в M. вводят целое семейство систем координат так, чтобы области их определения (координатные окрестности) в совокупности покрывали всё M. Каждую систему координат из этого семейства наз. картой, а всё семейство - атласом. Для согласования карт друг с другом используют ф-ции перехода между ними. Если области определения 3032-44.jpgдвух карт имеют общие точки, то каждой такой точке 3032-45.jpg сопоставляют два разл. набора координат 3032-46.jpg и 3032-47.jpg. Тем самым определяются ф-ции перехода 3032-48.jpg, к-рые должны быть непрерывными.

    То же самое делают для каждой пары карт из атласа. M. наз. дифференцируемым (класса 3032-49.jpg, если все возникающие при этом ф-ции перехода бесконечно дифференцируемы. Иногда требуют лишь дифференцируемости до порядка p(M. класса 3032-50.jpg.

    Напр., стандартная структура M. на сфере S2 (согласованная со структурой объемлющего евклидова пространства 3032-51.jpgзадаётся атласом из 3 карт: сферич. координатами 3032-52.jpg вне полюсов, координатами 3032-53.jpg в верх, полусфере и координатами 3032-54.jpg в ниж. полусфере. При этом сфера оказывается (бесконечно) дифференцируемым M. Структуру M. на S 2 можно определить эквивалентным атласом из 2 карт: 3032-55.jpg в верх, полусфере и стереографич. координаты 3032-56.jpg на всей сфере, за исключением северного полюса. Эквивалентность 2 атласов означает, что ф-ции перехода между любыми 2 картами обоих атласов дифференцируемы.

    Дифференцируемые отображения. Наличие координат позволяет определить понятие дифференцируемой ф-ции на M., опираясь на известное понятие дифференцируемой ф-ции числовых переменных. Если ф-ция 3032-57.jpg задана в каждой точке 3032-58.jpg то в координатной окрестности 3032-59.jpgеё можно записать как ф-цио координат точки 3032-60.jpgЕсли использование каждой карты, входящей в атлас, приводит при этом к дифференцируемой ф-ции числовых переменных, то исходная ф-ция на M. наз. дифференцируемой.

    В приложениях часто рассматривают не только числовые ф-ции на M., но и отображения одного M. на другое,3032-61.jpg При этом многообразия M

    и N могут иметь любые размерности. Напр., параметризованную кривую на M. можно считать отображением 3032-62.jpg вещественной прямой 3032-63.jpg (область изменения параметра) в данное M. Др. примером могут служить взаимно однозначные отображения M. на себя,3032-64.jpgк-рые обычно наз. прообразованиями M. Важную роль в физике играют преобразования симметрии.

    Выбирая в многообразиях M и N системы координат 3032-65.jpg, можно по отображению а:

    3032-66.jpg построить набор ф-ций числовых переменных:

    3032-67.jpg3032-68.jpgЕсли при любом выборе карт в M и JV эти ф-ции оказываются дифференцируемыми, то отображение a наз. дифференцируемы м. Дифференцируемое отображение наз. диффеоморфизмом, если оно взаимно однозначно и обратное к нему также дифференцируемо. Важную роль играют диффеоморфизмы M. на себя, называемые также дифференцируемыми преобразованиями. В физ. приложениях возникают группы диффеоморфизмов (преобразований), сохраняющих ту или иную дополнит, матем. структуру на M.

    Напр., преобразования, сохраняющие метрику риманова пространства, образуют группу его изометрий, или движений. В частности, преобразования, сохраняющие метрику n -мерного евклидова пространства, наз. ортогональными и образуют группу О(п). Дифференцируемое преобразование симплектического многообразия, сохраняющее симплектическую структуру, наз. симп-лектич. диффеоморфизмом. Если симплектич. структуру интерпретировать как гамильтонову структуру на фазовом пространство, то симплектич. диффеоморфизм наз. каноническим преобразованием (см. Гамильтонов формализм).

    Дифференцируемое преобразование 3032-69.jpg порождает некоторое преобразование 3032-70.jpg пространства всех дифференцируемых ф-ций на M. Ф-ции 3032-71.jpgсопоставляется при этом новая ф-ция 3032-72.jpg, значения к-рой находят по ф-ле 3032-73.jpg В дальнейшем под отображениями всегда будут иметься в виду дифференцируемые отображения.

    Векторные поля. Важную роль в матем. анализе играет операция дифференцирования. В евклидовом пространстве из-за существования выделенных декартовых координат достаточно удобным является дифференцирование по координатам. В произвольном M., где все координаты равноправны, вводят понятие инвариантного (не зависящего от выбора координат) дифференцирования. В результате возникают понятия ка-сат. вектора и векторного поля, а также дифференцирования вдоль касат. вектора и вдоль векторного поля.

    Если имеется 2-мерная поверхность в 3-мерном евклидовом пространство, то в каждой точке можно провести к этой поверхности касат. вектор, а все векторы, касающиеся поверхности в данной точке, образуют касат. плоскость. В теории M. понятие касат. вектора и касат. пространства необходимо определить внутр. образом, но обращаясь к вложению M. в евклидово пространство. Для этого вектор, касающийся M. в нек-рой точке, интерпретируют как задающий нек-рое направление в этой точке и скорость движения по этому направлению. Направление и скорость движения вдоль него можно охарактеризовать при помощи параметризов. кривой, целиком лежащей в M. и проходящей через данную точку. Это и служит основой для определения касат. вектора в произвольном M.

    Пусть на многообразии M задана гладкая кривая 3032-74.jpg проходящая через точку 3032-75.jpg,т. е. удовлетворяющая условию 3032-76.jpg Вводя в окрестности точки c систему координат, получим описание кривой при помощи числовых ф-ций 3032-77.jpg Такая кривая определяет в точке x касательный вектор X, а числа 3032-78.jpgявляются компонентами этого вектора по отношению к данной системе координат. Разумеется, другая кривая, 3032-79.jpg, проходящая через точку c и касающаяся первой кривой в этой точке (т. е. такая, что 3032-80.jpg определяет тот же самый касат. вектор. Поэтому вектор X соответствует целому пучку касающихся друг друга кривых. Все касат. векторы в данной точке 3032-81.jpg образуют векторное пространство размерности га, называемое касательным пространство м и обозначаемое Tx. Касат. вектор является геом. объектом, т. е. он не зависит от системы координат; его компоненты при переходе от одной координатной системы к другой преобразуются по закону

    3032-82.jpg

    Объединение всех касат. пространств к M. образует новое M., наз. касат. расслоением над первонач. M. Касат. вектор 3032-83.jpgпозволяет сопоставить каждой (дифференцируемой) ф-ции f на M число 3032-84.jpg3032-85.jpg называемое производной ф-ции вдоль данного вектора. Через компоненты вектора эта производная выражается в виде 3032-86.jpg

    При переходе к др. системе координат это выражение остаётся неизменным, в чём проявляется инвариантный характер понятия касат. вектора и дифференцирования вдоль него. При дифференцировании произведения двух ф-цин выполняется правило Лейбница:

    3032-87.jpg

    Если в каждой точке 3032-88.jpg задан касат. вектор 3032-89.jpg то говорят, что на M задано векторное поле X. Если компоненты этого поля 3032-90.jpg являются гладкими ф-циями в любой карте из атласа, то векторное поле наз. дифференцируемым. Векторное поле X сопоставляет каждой ф-ции j на M новую ф-цию 3032-91.jpg со значениями 3032-92.jpg

    Она наз. результатом дифференцирования ф-ции 3032-93.jpg вдоль векторного поля X.T. о., чтобы продифференцировать ф-цию вдоль векторного поля, нужно продифференцировать её вдоль каждого вектора 3032-94.jpg и полученные числа считать значениями новой ф-ции. При этом дифференцируемая ф-ция переводится гладким векторным полем в дифференцируемую, причём выполняется правило Лейбница

    3032-95.jpg

    Векторное поле X как инвариантный (не зависящий от выбора координат) объект часто отождествляют с оператором дифференцирования вдоль этого поля. В нек-рой координатной окрестности U этот оператор представляют в виде 3032-96.jpg При переходе к др. системе координат получается др. выражение 3032-97.jpg Однако на пересечении координатных окрестностей, 3032-98.jpg эти выражения совпадают благодаря закону преобразования компонент векторного поля 3032-99.jpgТакое совпадение является отражением геом. (инвариантного) характера векторного поля и соответствующего дифференциального оператора.

    Дифференциальные операторы, соответствующие двум векторным полям X и Y, можно прокоммутировать, полученный оператор [X, Y]= XY- YХ снова является дифференциальным, т. е. соответствует нек-рому векторному полю. Это векторное поле наз. коммутатором исходных векторных полей, его компоненты в нек-рой системе координат равны

    3032-100.jpg

    Все (дифференцируемые) векторные поля образуют Ли алгебру относительно операции коммутирования.

    Группы преобразований. Векторное поле X задаёт в каждой точке M. направление и скорость движения в этом направлении. Если двигаться в заданных направлениях с заданными скоростями, то все точки M. будут постепенно перемещаться, т. е. определяется семейство преобразований M., зависящее от параметра, 3032-101.jpg причём 3032-102.jpg, т. е. это семейство представляет собой однопараметрич. группу преобразований. В общем случае векторное поле определяет однопараметрич. группу преобразований лишь локально, т. е. в нек-рой окрестности каждой точки и для нек-рого интервала изменения параметра. Если группа определена глобально (на всём многообразии и для всех значений параметра), векторное поло наз. полным. На компактных M. все гладкие векторные поля являются полными.

    Обратно, если задана однопараметрич. группа преобразований 3032-103.jpg то определяется векторное поле 3032-104.jpg Дифференцирование вдоль такого поля описывается ф-лой:

    3032-105.jpg

    Связь между векторным полем и группой преобразований можно выразить в виде 3032-106.jpg где X- дифференц. оператор, а экспонента определена разложением в ряд. В этой ф-ле оператор X выступает как генератор однопараметрич. группы преобразований.

    Группа преобразований at определяет для каждой точки 3032-107.jpgкривую к-рая 3032-108.jpg проходит через эту точку и имеет в этой точке касат. вектор 3032-109.jpg T. о., на M. определяется семейство кривых, касательных к векторному полю X. В координатной окрестности U эти кривые являются решениями системы дифференц. ур-ний

    3032-110.jpg

    Если 3032-111.jpg- ф-ция на M, то на кривой 3032-112.jpg она превращается в ф-цию одного параметра,3032-113.jpg Зависимость от этого параметра описывается тогда дифференц. ур-нием 3032-114.jpg T. о., векторные поля позволяют инвариантным образом записывать дифференц. ур-ния на M.

    Напр., фазовое пространство гамильтоновой системы с n степенями свободы представляет собой 2n -мерное M., в окрестности каждой точки к-рого можно ввести канонич. координаты 3032-115.jpg (обобщённые импульсы и обобщённые координаты). Разл. канонич. координаты связаны канонич. преобразованиями. Динамика системы задаётся ф-цией Гамильтона H, определённой на фазовом пространстве. Векторное поле в этом пространстве, к-рое в канонич. координатах имеет вид

    3032-116.jpg

    наз. гамильтоновым полем.

    В каждой точке это поле касательно к интегральной кривой ур-ний Гамильтона, а соответствующая этому полю однопараметрич. группа преобразований фазового пространства,3032-117.jpgописывает эволюцию системы с точением времени. Если 3032-118.jpg- ф-ция на фазовом пространстве, то её изменение с течением времени описывается ур-нием 3032-119.jpg. Это ур-ние можно записать при помощи Пуассона скобок:

    3032-120.jpg

    Преобразование M. a естеств. образом определяет не только преобразование 3032-121.jpg ф-ций на этом M., но и преобразование 3032-122.jpg векторных полей. Если векторное поле X соответствует однопараметрич. группе преобразований 3032-123.jpgто повое поле 3032-124.jpgопределяется группой 3032-125.jpg. Можно определить это поле и непосредственно, 3032-126.jpgгде векторные поля справа и слева следует понимать как диффереиц. операторы в пространстве ф-ций.

    Если векторное поле X порождено группой преобразований 3032-127.jpgто коммутатор двух векторных полей можно выразить через эту группу:

    3032-128.jpg

    Напр., пусть G - группа Ли (см. ГруппаRg, Lg - операторы (преобразования) правого и левого сдвигов на ней, 3032-129.jpg. Тогда каждой однопараметрич. подгруппе 3032-130.jpgв группе G соответствует однопараметрич. группа преобразований группы G, понимаемой как M.,3032-131.jpgЭта группа в свою очередь порождает векторное поле 3032-132.jpg инвариантное относительно левого сдвига (левоинвариант-ное), 3032-133.jpg Все такие поля образуют алгебру Ли, изоморфную алгебре Ли группы G. Другую реализацию алгебры Ли группы G образуют все правоинвариантные векторные поля, порождаемые группами преобразований 3032-134.jpg

    Лит.: Номидзу К., Группы Ли и дифференциальная геометрия, пер. е англ., M., 1960; Бишоп Р., Криттенден Р., Геометрия многообразий, пер. с англ., M., 1967; Арнольд В. И., Математические методы классической механики, 2 изд., M., 1979; Дубровин Б. А., Hовиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия, 2 изд., M., 1986; Шутц Б., Геометрические методы математической физики,

    пер. с англ., M., 1984; Рихтмайер Р., Принципы современной математической физики, пер. с англ., т. 2, M., 1984.

    M. Б. Менский.

  31. Источник: Физическая энциклопедия



  32. Русско-китайский словарь: пресса, интернет, радио, телевидение

    多样化, 多样性

  33. Источник: Русско-китайский словарь: пресса, интернет, радио, телевидение



  34. Энциклопедический словарь

    МНОГООБРА́ЗИЕ -я; ср. Проявление чего-л. единого по своей сущности в различных видах и формах; разнообразие чего-л. М. жизни. М. растительного и животного мира. М. минералов. М. запахов. М. рассматриваемых вопросов.

    * * *

    многообра́зие

    математическое понятие, уточняющее и обобщающее на любое число измерений понятие линии и поверхности, не содержащих особых точек (т. е. линии без точек самопересечения, концевых точек и т. п., поверхности без самопересечения, краёв и т. п.).

    * * *

    МНОГООБРАЗИЕ

    МНОГООБРА́ЗИЕ, математическое понятие, уточняющее и обобщающее на любое число измерений понятия линии и поверхности, не содержащих особых точек (т. е. линии без точек самопересечения, концевых точек и т. п., поверхности без самопересечения, краев и т. п.).

  35. Источник: Энциклопедический словарь



  36. Начала современного естествознания

    математическое понятие, уточняющее и обобщающее на любое число измерений понятие линии и поверхности, не содержащих особых точек, т. е. без самопересечений и краев.

  37. Источник: Начала современного естествознания



  38. Оригинальная словарная подборка афоризмов


    • Мы можем предложить любой цвет, если только этот цвет будет чёрный. (Форд)

  39. Источник: Оригинальная словарная подборка афоризмов



  40. Математическая энциклопедия

    - геометрический объект, локально имеющий строение (топологическое, гладкое, гомологическое или иное) числового пространства или другого векторного пространства. Это фундаментальное понятие математики уточняет и обобщает на любое число измерений понятия линии и поверхности. Введение этого понятия вызвано разнообразными потребностями как самой математики, так и др. наук. В математике М. возникают прежде всего как совокупности решений невырожденных систем уравнений, а также как различные совокупности геометрических и др. объектов, допускающих введение локальной параметризации (см. ниже), напр., совокупность плоскостей размерности kв . Они появляются также как решение многомерных вариационных задач (мыльные пленки), как интегральные многообразия пфаффовых систем и динамических систем, как группы геометрических преобразований и их однородные пространства и др. В физике они играют роль моделей пространства-времени, в механике служат фазовыми пространствами, уровнями энергии и проч., в экономике поверхностями безразличия, в психологии пространством ощущений (напр., цветов) и т. д.

    Хотя исходная идея, кладущаяся в основу определения М., относится к их локальному строению ("такому же, как у Rn "), эта идея позволяет выделить целый ряд характерных именно для М. глобальных черт: (не) ориентируемость, гомологическая Пуанкаре двойственность, возможность определения степени отображения одного М. на другое той же размерности и проч. Особое значение имеет введение касательного расслоения и связанных с ним инвариантов.

    Локальное строение М. позволяет также привлечь к их изучению геометрическую технику: приведение в общее положение, построение Морса функций и проч., к-рая служит для геометрического изучения глобального строения М., это, грубо говоря, заключается в представлении возможно более простым образом М. в виде объединения простых кусков, симплексов или ручек.

    При использовании понятия М. также обычно совершается переход от локального к глобальному. Первым шагом является введение параметризации, т. е. представление "пространства состояний" данной задачи областью числового пространства. Это дает возможность описать каждое состояние набором чисел - координатами соответствующей точки (координатный метод). В целом пространство состояний может не допускать подобного описания, т. е. может не иметь гомеоморфизма на область в . Если не прибегать к параметризации с вырождениями (как в полярных координатах и их обобщениях), то возможны два пути: либо введение сначала большего, чем необходимо, числа параметров, и выделение истинного пространства неявно системой уравнений ("уравнения состояния"), либо пространство параметризуется по частям локально, "в малом". Например, множество прямых на плоскости покрыто двумя подмножествами:, состоящее из прямых с уравнениями вида состоящее из прямых с уравнениями вида оба они гомеоморфны с параметризацией парами соответственно. Однако в целом это множество гомеоморфно открытому листу Мёбиуса.

    Когда М. естественно появляются в той или иной области, они обязательно несут какую-либо дополнительную структуру, к-рая и служит предметом изучения в этой области. Однако важную роль играет и топологич. строение, к-рое ограничивает априорные возможности. Наоборот, в топологии локальные и глобальные свойства М. изучают, привлекая дополнительные структуры (напр., гладкую) в качестве инструментов.

    Фундаментом общего понятия М. является определение топологического многообразия как топологич. пространства, в к-ром каждая точка имеет окрестность и гомеоморфизм на область в или в полупространстве гомеоморфизм наз. локальной параметризацией или картой, в . Размерность n=dim Mявляется инвариантом связного М. Для несвязного М. обычно берут компоненты одной размерности. М. распадается на внутренность Int Mи край дМ:точки края отвечают в своих картах точкам границы в Rn. Край является (n-1)-мерным М. без края и может бить пустым. Связное М. без края наз. открытым, если оно некомпактно, и замкнутым, если оно компактно. Простейшими примерами четырех возможных типов М. служат шар и его граничная сфера . Хотя нехаусдорфовы М. встречаются в некоторых ситуациях (напр., пространства пучков), обычно принимают, что М. хаусдорфово, паракомпакт-но, имеет счетную базу, в частности, метризуемо.

    Глобальное задание М. осуществляется атласом - набором карт, покрывающих М. Для использования М. в математич. анализе нужно, чтобы пересчет координат от одной карты к другой был дифференцируемым. Поэтому чаще всего рассматривают дифференцируемые многообразия. Более общим образом вводится понятие Г-строения на М., задаваемого атласами , в к-рых координатные переходы между картами являются гомеоморфизмами, входящими в систему -отображений областей в , замкнутую относительно композиций. Если Г состоит из непрерывно дифференцируемых раз отображений, то говорят, что класс гладкости М. есть . Аналогично определяются аналитические многообразия, кусочно линейные, липшицевы и др. типы М. Два Г-атласа задают одно Г-строение, если их объединение есть Г-атлас. Классификация Г-строений является важнейшей проблемой геометрии М. Отображение одного Г-многообразия в другое наз. Г-отображением, если локально оно имеет "координатное представление" - карты в Ми N, а . В частности, имеется понятие Г-гомеоморфизма ( -диффеоморфизма в случае Г= С r

    Поскольку в математич. анализе М. важны как носители дифференцируемых отображений, их иногда определяют (см. [12]) через запас гладких функций, определенных в окрестностях точек (см. Росток). Развитие этой идеи привело к понятию предмногообразия, или окольцованного пространства (пучка колец), и далее к понятию схемы. Заменяя Rn на другие векторные и иные пространства, приходят к различным обобщениям понятия М., таким, как напр, комплексно-аналитические М. Бесконечномерные М. возникают в математич. анализе и топологии как пространства отображений и сечений расслоений, как пространства гомеоморфизмов, замкнутых подмножеств и пр. Их локальными моделями служат векторные пространства (банаховы и иные) и такие пространства, как гильбертов кирпич. Понятие гладких и иных строении на бесконечномерных М. изучено недостаточно. Трудности здесь возникают из-за отсутствия технических теорем типа аппроксимаций, существования разбиения единицы (мал запас гладких функций), теоремы о неявной функции и т. п. М. возникают как подмножества при неявном задании их в виде множеств решений систем уравнений (и неравенств в случае непустого края). Этим М. задается сразу, а не по частям, как в случае задания атласом. Однако необходимы условия невырожденности, иначе всякое замкнутое множество можно задать одним уравнением. Существование локальной параметризации обеспечивается по теореме о неявной функции условием максимальности ранга Якоби матрицы данной системы. Уравнения служат языком для выражения средствами математич. анализа свойств М., служащих для определения М. Напр., свойство ортогональности -матрицы записывается системой из уравнений относительно элементов матрицы. Система оказывается невырожденной, а группа ортогональных матриц гладким подмногообразием в

    В механич. системе с уже введенными координатами меньшие системы выделяются уравнениями или неравенствами, выражающими ограничения или "связи". Если условие невырожденности системы выполнено во всех точках М., то градиенты функций образуют оснащение (k-репер, ортогональный к касательной плоскости в точке М. и непрерывно зависящий от этой точки). М., допускающие оснащение, образуют довольно узкий класс стабильно параллелизуемых М. (напр., они имеют ориентацию). Но локально любое дифференцируемое М. в может быть задано невырожденной системой, а с помощью разбиения единицы можно построить и систему постоянного (а не максимального) ранга, задающую М.

    Для М., заданного атласом, возникает задача реализации его как подмногообразия в с учетом того или иного Г-строения. Любое топологическое, гладкое или кусочно линейное М. Мвкладывается, т. е. Г-гомеоморфно подмногообразию, в , а в множество вложений плотно в пространстве всех непрерывных отображений. Для других классов вопрос существенно сложнее. Интенсивно он изучается, напр., для римановых многообразий. Алгебраические многообразия, реализующиеся в комплексном проективном пространстве (заменяющем здесь ), составляют очень специальный класс Ходжа многообразий. Если допускать вырожденность системы уравнений, то возникают М. <с особенностями. В алгебраич. геометрии обе идеи комбинируют: алгебраическое пространство определяется склейкой частей, к-рые локально задаются полиномиальными системами с вырождениями. В теории кобордизмов в топологии под названием М. с особенностями рассматривают пространства, устроенные локально как произведения конусов над М. Дальнейшие обобщения связаны с рассмотрением непрерывных семейств М. (см. Расслоенное пространство, Слоение, Стратификация).

    Изучение М. чисто топологическими методами чрезвычайно сложно и до последнего времени оно ограничивалось локальными свойствами М., т. е. в сущности свойствами Rn ( непрерывное разбиение, дикое вложение и пр.). Глобальное изучение М. и по необходимости требует привлечения или гомологических и других средств алгебраической топологии, или гладких, кусочно линейных и иных строений. Основное гомологическое свойство М.- Пуанкаре двойственность, сохраняющаяся и для гомологических многообразий и служащая для таких обобщений понятия М. как Пуанкаре комплексы. Гомологическую природу имеет и степень отображения, фундаментальное понятие, определяемое также для псевдо многообразий - пространств (обычно, комплексов), обладающих открытыми связными плотными подмножествами, являющимися М.

    Геометрическое изучение М., основанное на использовании различных строений, исходит прежде всего из локальной эквивалентности М. с и из возможности благодаря этому аппроксимации отображений гладкими или кусочно линейными, приведения их в общее положение и пр.

    Начальной задачей здесь является представление М. в виде пространства, склеенного из простых кусков. Первоначальной идеей было понятие триангуляции М., развившееся в широкое понятие комплекса. Трудные проблемы триангулируемости и эквивалентности триангуляции были прояснены в 60- 70-х гг. 20 в. (см. Топология многообразий). Более гибким инструментом оказалось разбиение М. на ручки, эквивалентное рассмотрению функций Морса. С помощью техники постепенного упрощения такого разбиения были доказаны важные теоремы (об h-кобордизме, обобщенная Пуанкаре гипотеза и др.). Эта техника послужила также геометрич. основой для теорем классификации гладких и кусочно линейных строений на заданном гомотопич. типе М. Эти теоремы потребовали, однако, привлечения тонких инвариантов, связанных с касательным расслоением М. (см. ниже). Большое значение имело также открытие новых гомологич. теорий: К-теории и особенно теорий кобордизмов. Два М. кобордантны, если они вместе ограничивают третье М. При этом учитывается тот или иной тип строения. Это отношение эквивалентности легло в основу первоначального определения гомологии, когда циклы рассматривались наивно как кусочно гладкие М. В теории кобордизмов эта идея восстанавливается, но подмногообразия заменяются отображениями М. Особую роль в вопросах классификации строений на М. играет фундаментальная группа, благодаря к-рой устанавливается связь этих вопросов с алгебраической К-теорией.

    Важнейший инвариант гладкого М. М - его касательное расслоение . Предметом анализа на М. служит изучение сечений и различных ассоциированных с ним расслоений. С топологической точки зрения характеризуется существованием экспоненциального отображения диффеоморфно отображающего малые шары в слоях на окрестности соответствующих точек . Его можно описать как проекцию трубчатой окрестности диагонали в на сомножитель. В такой форме определение перекосится на топологический, кусочно линейный и др. случаи (см. Микрорасслоение).

    Различные редукции структурной группы касательного расслоения наз. структурами на М. Если можно подобрать атлас такой, что матрицы Якоби его координатных переходов принадлежат уменьшенной структурной группе и определяют тем самым эту редукцию, то такая структура наз. интегрируемой. Вопросы классификации структур и их интегрируемости относятся к основным вопросам дифференциальной геометрии многообразий. В топологии М. вопрос о классификации гладких, кусочно линейных и иных строений сводится в основном к классификации соответствующих структур на касательном расслоении и приводится тем самым к гомотопич. задачам.

    Важная роль касательного расслоения состоит в том, что с ним инвариантно связываются когомологич. классы (см. Характеристический класс )в той или иной гомологической теории, несущие в себе наиболее существенную информацию о глобальном строении М. и связывающие свойства различных строений и структур на М. с его топологическими свойствами.

    Исследование топологии М. в этом направлении до 70-х гг. было по-существу использованием гладких и кусочно линейных строений на М. (точнее, на гомотопическом типе М.). Переход к чисто топологическим результатам стал возможным лишь после доказательства трудных и глубоких теорем, начиная с доказательства топологической инвариантности характеристических (рациональных) классов (см. Топология многообразий). В конце 70-х г. с этим направлением слилось и упомянутое выше направление чисто топологического изучения М. Ярким примером служит доказательство гипотезы о том, что двойная надстройка над гомологи-

    ческой трехмерной сферой есть многообразие (сфера). Это позволило дать топологическую характеризацию М. (известную до этих пор лишь для одномерных многообразий и двумерных многообразий), прояснить вопрос о том, какие полиэдры являются М. (препятствием здесь служит лишь недоказанная пока (1982) Пуанкаре гипотеза в размерностях 3 и 4) и др., см. Топология многообразий и [19].

    Исторический очерк. Начальный период изучения М. связан с анализом понятия многомерной параметризации, с исследованиями по геометрии, физич. мира (земной поверхности) и по геометрич. аксиоматике. Два способа задания М. в (локальная параметризация и уравнения) были рассмотрены впервые К. Гауссом (К. Gans?, см. [1] с. 127) для случая поверхностей в , а в многомерном случае А. Пуанкаре (Н. Poincare, см. [3], с. 459). Ю. Плюккер [5] изучал локальные координаты в М., составленных из кривых, поверхностей и т. п. Г. Грассман пришел в [6] к общей идее "многомерной протяженности", к-рая была под названием "многообразие" введена в математику Б. Ри-маном (В. Riemaim) в его знаменитой лекции "О гипотезах, лежащих в основании геометрии" (см. [1] с. 30). Свойства различных специальных координат изучались К. Якоби (С. Jacobi), Г. Ламе (G. Lame) и др. (см. [8]).

    К. Гаусс (см. [1] с. 123) начал в связи со своими работами по геодезии систематич. изучение поверхностей, введя понятие внутренней геометрии и тем самым о М., не зависящем от объемлющего числового пространства, и фактически понятие структуры на М. Его идеи были вполне поняты лишь в теории характеристич. классов, построенной в середине 20 в. Б. Риман перенес идеи К. Гаусса на многомерные М. На основе римановой геометрии был создан трудами Риччп, Леви-Чивита, Кристоффеля и др. тензорный анали;;, дальнейшее развитие к-рого шло в тесной связи с теорией относительности. Другая геометрическая линия развития понятия М. берет начало в открытии возможности неевклидовых геометрий и в построении геометрии на основе понятия движения (Г. Гельмгольц, Н. Helmholtz, см. [1] с. 366). Эта идея была превращена в широкую программу теоретико-группового построения геометрии Ф. Клейном (К. Klein, см. [1] с. 399 и [8]) и привела к глубоким работам С. Ли (S. Lie) по теории непрерывных групп. Линия Гельмгольца - Клейна - Ли долгое время оставалась в стороне от линии Гаусса - Ри-мана - Риччи, заимствовав у нее понятие кривизны, но интересуясь лишь Клейна пространствами. Однако здесь были поставлены важные вопросы о глобальном строении групп Ли и их однородных пространств и тем самым привлечено внимание к глобальному строению М. Важным фактом было произведшее глубокое впечатление открытие Клейном эллиптической геометрии, локально эквивалентной сферической, но глобально имеющей существенно иные свойства, а также открытие Мёбиусом и Клейном явления неориентируемости.

    Синтез обоих направлений произошел в работах Э. Картана (Е. Cartan, см. [1] с. 483). Отправляясь от исследований Г. Дарбу (G. Darboux) по теории поверхностей, он рассмотрел подвижного репера метод для произвольного М. в и пришел к теории уравнений структуры - далекого обобщения теории Дарбу, включившего в себя теорию С. Ли. В картановском понятии G-структуры соединились идеи римановой геометрии и теории действия групп Ли. По существу Э. Картан ввел понятие касательного расслоения и его структурной группы, окончательно оформленного лишь в 40-х гг. 20 в. (см. [13]). Это понятие позволило также. объединить математич. анализ на М. с топологич. изучением М.

    Основой послужил изоморфизм де Рама (см;; Рама теорема)- окончательное оформление принадлежащей Пуанкаре идеи (см. [3] с. 472) о связи между вещественными когомологиями и дифференциальными формами. Важнейшим следующим шагом было введение характеристических классов и их выражение как интегралов от форм, выражающихся через форму кривизны (примером здесь служит выражение эйлеровой характеристики в теореме Гаусса - Бонне в форме Дика, см. [14] с. 186).

    Топологическое изучение М. началось с открытия римаповых поверхностей в связи с представлением комплексно аналитических функций интегралами как попытка избавиться от многозначности этих функций. "Периоды" интегралов привели к понятию чисел связности и в конечном счете к гомологиям. Мысль о многомерном обобщении этого понятия и идея о глобальном гомологическом изучении М. принадлежит Риману (см. [2] с. 294). Это изучение было начато А. Пуанкаре, сделавшим ряд важных открытий и доказавшим Пуанкаре двойственность. Стимулирующую роль имело последовавшее за открытием Римана изучение двумерных многообразий (в первую очередь Мёбиусом и К. Жорданом, см. [14] с. 244), приведшее к полной их классификации. Окончательно это оказалось возможным проделать лишь после прояснения понятия "чистого" гомеоморфизма (А. Пуанкаре, например, пользовался в сущности кусочно гладкими гомеоморфизмами). Это прояснение явилось одним из итогов анализа непрерывности числового континуума, предпринятого в конце 19 в. Наибольшее значение имели в этом направлении постановка 5-й проблемы Гильберта и работы Л. Брауэра (L. Brouwer, [9]), доказавшего теоремы (инвариантность области, инвариантность размерности), к-рые позволили Г. Вейлю [4] сформулировать приятие топологич. М. Однако в высших размерностях топологическое изучение М. долгое время велось в рамках гладких и кусочно линейных строений. Гладкие строения, введенные в книге [20], были проанализированы в основном X. Уитни [21], а также Г. Уайтхедом и др. Кусочно линейные структуры были введены Л. Брауэром и проанализированы Дж. Александером [22] и также М. Ньюменом (М. Newman) и Г. Уайтхедом. Долгое время они рассматривались лишь как вспомогательное средство топологического изучения М. Лишь в конце 50-х гг. была открыта неединственность гладких строений уже на сферах и в конце 60-х гг. возможность неединственности кусочно линейных строений (например, на торах). После 50-х гг. 20 в. изучение М. проходило под знаком объединения идей топологии и анализа, основанного в первую очередь на понятии характеристич. классов (см. [17]).

    Лит.:[1] Обоснованиях геометрии, М., 1956; [2] Риман Б., Соч., пер. с нем., М.- Л., 1948; [3] Пуанкаре А., Избр. тр., пер. с франц., т. 2, М., 1972; [4] Wеуl Н., Die Idee der Riemannschen Flache, 3 Aufl., Stuttg., 1955; [5] Plueсker J., Neue Geometrie des Raumer..., Abt. 1-2, Lpz., 1868-69; [6] Grass mann H., Die Ausdelmungslehre von 1844, Lpz., 1894; [7] Kronecker L., "Monatsber. Preuss. Akad. Wiss.", 1869, S. 159-226; [8] Клейн Ф., Высшая геометрия, пер. с нем., М.- Л., 1939; [9] Вrоuwеr L. E. J., "Math. Ann.", 1911, Bd 70, S. 161-65; 1911, Bd 71, S. 97-115; 1912, Bd 72, S. 55-6; [10] Weyl H., Mathematische Analyse des Raumproblems, В., 1923; [11] Стинрод Н. Е., Топология косых произведений, пер. с англ., М., 1953; [12] Шевалле К., Теория групп Ли, пер. с англ., т. 1, М., 1948; [13] Лихнерович А., Теория связностей в целом и группы голономий, пер. с франц., М., 1960; [14] Xирш М., Дифференциальная топология, пер. с англ., М., 1979; [15] Манкрс Д ж., в кн.: Милнор Дж., Сташеф Дж., Характеристические классы, пер. с англ., М., 1979, с. 270-358; [16] Nijenhuis A., Theory of the geometric object, Amst., 1952; [17] Хирцебpуx Ф., Топологические методы в алгебраической геометрии, пер. с англ., М., 1973; [18] Сулливан Д., Геометрическая топология, пер. с англ., М., 1975; [19] Cannon J. W., "Bull. Amer. Math. Soc", 1978, v. 84, № 5, p. 832-66; [20] Веблен О., Уайтхед Дж., Основания диференциальной геометрии, пер. с англ., М., 1940; [21] Whitney H., "Ann. Math.", 1936, v. 37, p. 645-80; [22] Alexander J.W., "Trans. Amer., Math. Soc", 1926, v. 28, p. 301-29.

    См. также лит. при статьях Дифференциальная гео метрия многообразий, Дифференциальная топология, Дифференцируемое многообразие.

    А. <В. Чернавский.

  41. Источник: Математическая энциклопедия



  42. Математическая энциклопедия

    категорий - понятие, аналогичное понятию многообразия универсальных алгебр. Пусть - бикатегория с произведениями. Полная подкатегория категории наз. многообразием, если она удовлетворяет следующим условиям: а) если - допустимый мономорфизм и б) если - допустимый эпиморфизм и в) если .

    Если бикатегория локально мала слева, т. е. допустимые подобъекты любого объекта образуют множество, то всякое М. является рефлективной подкатегорией категории . Это значит, что функтор вложения обладает сопряженным слева функтором . Единица этого сопряжения - естественное преобразование обладает тем свойством, что для каждого морфизм является допустимым эпиморфизмом. Во многих важных случаях функтор Токазывается точным справа, т. е. он переводит коядро пары мор-физмов в коядро пары морфизмов , , если - ядерная пара морфизма v. Более того, точность справа и наличие естественного преобразования являются характеристич. свойствами функтора Т.

    Всякое М. наследует многие свойства объемлющей категории. Оно снабжается структурой бикатегории и является биполной категорией, если исходная категория биполна.

    В категориях с нормальными кообразами, как и в случае многообразий групп, можно определить произведение М. Строение возникающего при этом группоида М. изучено только в ряде частных случаев.

    Лит.:[1] Цаленко М. Ш., Шульгейфер Е. Г., Основы теории категорий, М., 1974; [2] Frohliсh A., "Quart. J. Math.", 1960, v. 11, № 43, p. 211-28.

    M. Ш. Цаленпо.

  43. Источник: Математическая энциклопедия



  44. Русско-английский политехнический словарь

    многообра́зие с. мат.

    variety

    несме́шанное многообра́зие — pure variety

    по́лное многообра́зие — complete variety

    получи́стое многообра́зие — unirational [semipure] variety

    универса́льное накрыва́ющее многообра́зие — largest covering manifold

  45. Источник: Русско-английский политехнический словарь



  46. Dictionnaire technique russo-italien

    с. матем.

    varietà f

    - дифференциальное многообразие

    - линейное многообразие

    - несмешанное многообразие

    - получистое многообразие

    - риманово многообразие

    - чистое многообразие

  47. Источник: Dictionnaire technique russo-italien



  48. Русско-украинский политехнический словарь

    матем.

    багатови́д, -ду, багатоста́тність, -ності

    дифференци́рованное многообра́зие — диференційо́ваний багатови́д

    - алгебраическое многообразие

    - аналитическое многообразие

    - антиподное многообразие

    - аффинное многообразие

    - вещественное многообразие

    - геометрическое многообразие

    - гладкое многообразие

    - голономное многообразие

    - гомологическое многообразие

    - двухмерное многообразие

    - двунаправленное многообразие

    - диффеоморфное многообразие

    - дифференциальное многообразие

    - дифференцируемое многообразие

    - изотропное многообразие

    - инвариантное многообразие

    - иррегулярное многообразие

    - линейное многообразие

    - касательное многообразие

    - комбинаторное многообразие

    - комплексное многообразие

    - многообразие групп

    - многообразие идеала

    - многообразие параметров

    - многообразие флагов

    - многомерное многообразие

    - нагруженное многообразие

    - неразложимое многообразие

    - опорное многообразие

    - ориентируемое многообразие

    - приводимое многообразие

    - проективное многообразие

    - разветвлённое многообразие

    - разностное многообразие

    - расщепляемое многообразие

    - рациональное многообразие

    - регулярное многообразие

    - секущее многообразие

    - соседнее многообразие

    - составное многообразие

    - торообразное многообразие

    - эйлерово многообразие

  49. Источник: Русско-украинский политехнический словарь



  50. Русско-украинский политехнический словарь

    матем.

    багатови́д, -ду, багатоста́тність, -ності

    дифференци́рованное многообра́зие — диференційо́ваний багатови́д

    - алгебраическое многообразие

    - аналитическое многообразие

    - антиподное многообразие

    - аффинное многообразие

    - вещественное многообразие

    - геометрическое многообразие

    - гладкое многообразие

    - голономное многообразие

    - гомологическое многообразие

    - двухмерное многообразие

    - двунаправленное многообразие

    - диффеоморфное многообразие

    - дифференциальное многообразие

    - дифференцируемое многообразие

    - изотропное многообразие

    - инвариантное многообразие

    - иррегулярное многообразие

    - линейное многообразие

    - касательное многообразие

    - комбинаторное многообразие

    - комплексное многообразие

    - многообразие групп

    - многообразие идеала

    - многообразие параметров

    - многообразие флагов

    - многомерное многообразие

    - нагруженное многообразие

    - неразложимое многообразие

    - опорное многообразие

    - ориентируемое многообразие

    - приводимое многообразие

    - проективное многообразие

    - разветвлённое многообразие

    - разностное многообразие

    - расщепляемое многообразие

    - рациональное многообразие

    - регулярное многообразие

    - секущее многообразие

    - соседнее многообразие

    - составное многообразие

    - торообразное многообразие

    - эйлерово многообразие

  51. Источник: Русско-украинский политехнический словарь



  52. Естествознание. Энциклопедический словарь

    , матем. понятие, уточняющее и обобщающее на любое число измерений понятие линии и поверхности, не содержащих особых точек (т. е. линии без точек самопересечения, концевых точек и т. п., поверхности без самопересечения, краёв и т. п.).

  53. Источник: Естествознание. Энциклопедический словарь



  54. Словарь антонимов

  55. Источник:



  56. Орфографический словарь-справочник

  57. Источник:



  58. Тезаурус русской деловой лексики

  59. Источник:



  60. Большой Энциклопедический словарь

  61. Источник: