«Категория»

(от греческого слова κατηγορέω, обвиняю) — логический и метафизический термин, введенный Аристотелем, ныне употребляемый в значении, данном Кантом: К. — априорное понятие рассудка, условие возможности мышления. В индийской философии, в системе Вайсешика, встречается термин падарта, весьма близкий к Аристотелевому пониманию К. шесть К., приводимых в сочинениях этой школы, тождественны с Аристотелевскими, почему и возникло предположение о возможном заимствовании этого учения греками у индийцев. Но это недопустимо уже по хронологическим основаниям, ибо образование различных систем индийской философии в известном теперь виде достоверно относится лишь к началу средних веков. Более чем вероятно обратное предположение — о влиянии греческой философии на индийскую. Аристотель разумеет под К. наиболее общие понятия, служащие предикатами, выводит их из грамматических форм и насчитывает их 10: субстанция (ουσία), количество (πόσον), качество (πρϊον), отношение (πρός τί), где (που), время (πότε), положение (κεϊσθαι), обладание (εχειν), действие (ποιεϊν) и страдание (πάοχειν). В известном смысле можно смотреть на пифагорейскую таблицу 10 противоположностей, как на попытку перечисления К. (конечное и бесконечное, парное и непарное, единство и множество, свет и тень, благо и зло, квадрат и иные фигуры). Аристотелевская таблица К. представляет несовершенства двоякого рода: случайность выведения (из частей речи) и сводимость одних К. к другим. Стоики были правы, когда они вместо десяти Аристотелевых принимали лишь четыре: субстанция, качество, модальность и отношение; не хватает здесь только К. количества. Плотин в первых трех книгах шестой "Эннеады" подробно критикует Аристотелеву таблицу и предлагает свою, которая, однако, в истории не играет никакой роли. В средние века Раймунд Лулльский (1234-1315) пытался перечислить принципы или самые общие понятия и самые общие отношения мышления к предметам. Эти принципы он располагал в виде табличек, причем из различных комбинаций принципов должны были получаться всевозможные новые точки зрения. Таким образом его К. должны были служить своего рода логикой открытий. Современное определение термина К. принадлежит Канту. Его учение о четырех основных, распадающихся как бы на 12 видовых К. (см. Кант), представляет тот же недостаток, что и Аристолево. Кант не выводит К. — формы рассудка — из деятельности рассудка, а берет их из готовых суждений; случайный характер К. и недостаток выведения — вот упреки, которые делает Канту Фихте. Нужно вывести все К. из высшего их основания — из единства сознания. Задачу эту полнее, чем Фихте, решил в своей логике Гегель. Под К. Гегель разумеет то же, что и Кант, только решительнее придает им метафизический характер. Средством выведения К. служит диалектический метод. Началом процесса образования К. является самое отвлеченное, бедное по содержанию понятие бытия, из которого получаются сначала К. качества, потом количества и т. п. Из новейших попыток преобразования К. внимания заслуживает попытка Милля. См. Trendelenburg, "Gesch. der Kategorienlehre" (Б., 1846).

Э. Радлов.

I

Катего́рия

1) группы, разряд, степень. 2) см. Категории, Категория в языкознании.

Катего́рия

в языкознании, языковые значения, соотносящиеся и взаимосвязанные на основании общего самантического признака и представляющие собой замкнутую систему подразделений этого признака. Например, К. лица в русском языке (объединяющая 3 значения на основе признака — участие в речевом акте), К. рода рус. прилагательных, лексические К. цветообозначения. К. различаются по характеру их семантики (денотативные, семантико-синтаксические и др.), по степени обязательности их в данном языке (грамматические, неграмматические), по способам выражения (морфологические, лексические, синтаксические). Близкие по семантике К. могут быть обязательными в одних и необязательными в других языках. Так, К. локативных отношений у существительных реализуется в лакском языке в К. серии местных падежей (къатлуйн — «на дом», къатлуйнмай — «по направлению на дом», къатлуйх — «сверху дома мимо» и до.), а в русском языке соответствующие значения выражаются отдельных лексическими единицами. Грамматические (обязательные) К. образуют в языке жёсткие иерархические системы. Например, в венгерском языке в существительном выражается К. числа притяжательности, лица и числа обладателя, релятив, число релятива, падеж.

Б. Ю. Городецкий.

1. катего́рия;
2. катего́рии;
3. катего́рии;
4. катего́рий;
5. катего́рии;
6. катего́риям;
7. катего́рию;
8. катего́рии;
9. катего́рией;
10. катего́риею;
11. катего́риями;
12. катего́рии;
13. катего́риях.

жен., греч. разряд, порядок или отдел предметов. Категорический, к категории относящийся

КАТЕГО́РИЯ, -и, жен.

1. В философии: общее понятие, отражающее наиболее существенные связи и отношения реальной действительности и познания. К. качества. К. количества. К. формы. К. содержания.

2. Крупный, обычно строго не очерченный класс в его сравнении с другими такими же классами. К. населения, избирателей, покупателей. К. заведений, учреждений. К. явлений, фактов.

| прил. категориальный, -ая, -ое (к 1 знач.).

-и, ж.

1. филос.

Понятие, отражающее наиболее общие свойства и связи явлений материального мира.

Категория времени. Категория причинности.

2.

В научной терминологии: родовое понятие, обозначающее разряд предметов или наиболее общий их признак.

Грамматические категории. Категории искусства.

||

Понятие, отражающее характерные свойства восприятия действительности в той или иной среде.

— Но я человек военный и мыслю категориями военными. Чаковский, Блокада.

3.

Разряд, группа однородных предметов, явлений, лиц.

Возрастная категория.

□

Дети в нашей семье разделялись на две категории: на любимых и постылых. Салтыков-Щедрин, Пошехонская старина.

[Гаврик] принадлежал к категории так называемых «уличных мальчиков». Катаев, Белеет парус одинокий.

[От греч. κατηγορία — высказывание, суждение]

разряд, порядок, отдел предметов

Категорический — точный, определенный (как обвинение)

Ср. На другой же день появилось категорическое опровержение (напечатанного известия), и ни в одной газете не появилось перепечатки.

Б.М. Станюкович. Откровенные. 2, 2.

Ср. Они причисляют его к одной из тех двух категорий — службистов и воротил, участников в свалке дутых ценностей и азартной игры на них.

Боборыкин. Дома. 3.

Ср. У Гоголя (в письме из-за границы)... вырвалось слово "подлецы". Это не было ругательство. Он имел в виду не Ивана Ивановича или Петра Петровича, а целую категорию, целую армию, наполнявшую канцелярии, конторы, салоны, общества, конкурсы и администрации...

Боборыкин. Дома. 10.

Ср. Categoria (κατηγορία — сказуемое; обвинение, доказывание); κατηγόρημα, признак.

См. службист.

См. воротила.

См. шаблонный.

См. канцелярская крыса.

КАТЕГО́РИЯ, категории, жен. (греч. kategoria).

1. Высшее родовое понятие, обозначающее какой-нибудь наиболее общий, отвлеченный разряд явлений, предметов или их признаков (научн.). Категория причинности. Категория количества. Категория времени. Грамматическая категория.

2. Разряд однородных предметов или лиц (книжн.). Он из категории тех людей, которые всегда всем недовольны.

3. Один из разрядов, на которые делятся гражданской властью граждане с точки зрения их прав, обязанностей, повинностей (офиц.). Продовольственная карточка первой категории.

I

Научное понятие, отражающее наиболее общие свойства и связи реальной действительности и познания (в философии).

II

1.

Родовое понятие, обозначающее разряд явлений, предметов или наиболее общий их признак.

2.

Понятие, отражающее характерные свойства восприятия действительности в какой-либо среде.

3.

Группа однородных предметов, явлений или лиц, объединенных общностью каких-либо признаков.

жен. category деление на категории ≈ breakdown распределять по категориям ≈ categorizeж. category, class.

category, class, entity

f.category, class

категория ж 1. Kategorie f, pl -ri|en; Gattung f c (разряд, группа) 2. спорт. Klasse f c весовая категория Gewichtsklasse f

категорияKategorie

ж

1)Kategorie f, pl -rien; Gattung f(разряд, группа)

2)спорт. Klasse f

весовая категория — Gewichtsklasse f

ж.

catégorie f

судья международной категории — juge m de catégorie internationale

высшая категория сложности — catégorie supérieure de complexité

ж.

categoría f

ж.

categoria; classe

等级, 官衔, 群体

(от греч. kategoria - признак) - отнесение к определенной группе, разряд, определяющий профессиональный уровень работников или качество товаров.

КАТЕГОРИЯ

(от греч. kategorein высказывать)

в разговорном языке то же самое, что вид, сорт, класс, ранг («определенная категория служащих»). В философии категории, с одной стороны, наиболее общие и вместе с тем простейшие формы действительности, высказываний и понятий, «родовые понятия» (Кант), от которых происходят остальные понятия (категории познания, сознания), а с другой – первоначальные и осн. формы бытия объектов познания (категории бытия, категории реального). Соотношение между категориями бытия и категориями познания исследуется теорией познания; см. также Основное отношение. Основателем учения о категориях является Аристотель; он считал, что имеется всего 10 категорий (единичного и общего): сущность, количество, качество, отношение, место, время, действие, страдание, обладание, самонахождение (положение). По существу, уже и Платон знает 4 категории: идентичность, отличие, постоянство, изменчивость. Схоластика, которая называла категории также предикаментами (см. также Предикабилии), знала только 6 категорий: бытие (сущность), качество, количество, движение (изменение), отношение, обладание (Habitus). Декарт и Локк различают 3 категории: субстанция, состояние (модус), отношение. Кант понимал под категориями формы рассудка, которые, придавая познавательный характер чистому восприятию, обусловливают опыт и которые сами по себе, т.е. без использования ощущений, не имеют познавательной ценности. Кант составил таблицу категорий, производную от соответствующей таблицы суждений (схемы), систематизировал 12 категорий в 4 группы по 3 категории в каждой; первые 6 категорий он назвал математическими, а 6 последних – динамическими; категории количества: единство (мера), множество (величина), цельность (все); категории качества: реальность, отрицание, ограничение; категории отношения: принадлежность, причинность, общение; категории модальности: возможность, существование, необходимость. В 19 в. Гегель разработал систему категорий, более обширную и сложную, чем все прежние. Э. Гартман также дал свое последовательно проведенное и доныне сохранившее значение учение о категориях. Шопенгауэр выбросил из 12 кантовских категорий все, кроме причинности: тем самым о себе заявила философия, в принципе скептически относящаяся ко всем категориям, особенно в том виде, как она встречается у Ницше. Кроме западной философии, сложная система категорий была построена прежде всего индийской философией, а именно философскими учениями санкхья, вайшешика и ньяя. В настоящее время проблема категорий разрабатывается в рамках онтологии (см. Категориальный анализ).

КАТЕГОРИЯ (греч. Kategoria - высказывание, обвинение; признак) - предельно общее понятие. Образуется как последний результат отвлечения (абстрагирования) от предметов их особенных признаков. Для него уже не существует более общего, родового понятия, и, вместе с тем, он обладает минимальным содержанием, т.е. фиксирует минимум признаков охватываемых предметов. Однако это такое содержание, которое отображает фундаментальные, наиболее существенные связи и отношения объективной действительности и познания. Каждое философское направление вырабатывает и использует набор собственных К. В диалектическом материализме, напр., К. являлись понятия материи, сознания, качества, количества, сущности, явления, необходимости, случайности и др.; в объективном идеализме - идеи, мирового разума, бытия, небытия, противоречия; в экзистенциализме - экзистенции, трансценденции, свободы; в позитивизме категориальный статус обретают понятия протокольного предложения, верификации и т.д. Своя система К. присуща и каждой конкретной науке.

КАТЕГО́РИЯ -и; ж. [от греч. katēgoria - высказывание, суждение]

1. Филос. Понятие, отражающее наиболее общие свойства и связи явлений материального мира. К. времени. К. причинности.

2. В научной терминологии: родовое понятие, обозначающее разряд явлений, понятий с наиболее общим их признаком. Категория грамматического рода. // Понятие, отражающее характерные свойства восприятия действительности в той или иной среде. Категории искусства. Личность как социальная категория.

3. Разряд, группа однородных предметов, явлений, лиц. Возрастная к. Соревнования международной категории.

◁ Категориа́льный, -ая, -ое (1-2 зн.).

- понятие, выделяющее ряд алгебраич. свойств совокупностей морфизмов однотипных математич. объектов (множеств, топологич. пространств, групп и т. п.) друг в друга при условии, что эти совокупности содержат тождественные отображения и замкнуты относительно последовательного выполнения (суперпозиции или умножения) отображений. К.состоит из класса элементы к-рого наз. объектами категории, и класса элементы к-рого наз. морфизмамикатегории. Эти классы должны удовлетворять следующим условиям:

1) Каждой упорядоченной паре объектов А, В сопоставлено множество (обозначаемое также Нот ( А, В )или Н( А, В ))из Мог; если то говорят, что А- начало, или область определения, морфизма а, а В - конец, или область значений а; часто вместо пишут a.: или

2) Каждый морфизм К. принадлежит одному и только одному множеству

3) В классе Моrзадан частичный закон умножения: произведение морфизмов a.: и b: определено тогда и только тогда, когда В = С, и принадлежит множеству Н( А, D), произведение a и b обозначается ab или ba.

4) Для любых морфизмов a: b: и у: справедлив закон ассоциативности:

5) В каждом множестве содержится такой морфизм 1_A, что aХ1_A=a и 1_A Х b= b для любых морфизмов a: и b:; морфизмы 1 _А наз. единичными, тождественными, или единицами.

Входящее в определение К. понятие класс предполагает использование такой аксиоматики теории множеств, к-рая различает множества и классы. Наиболее употребительной является аксиоматика Гёделя- Бернсайда - Неймана.

Иногда в определении К. не требуют, чтобы классы Н(А, В)являлись множествами. Иногда вместо использования классов предполагается существование универсального множества и требуется принадлежность классов и фиксированному универсальному множеству.

Поскольку между единицами К.и классом имеется биективное соответствие, К. можно определить как класс морфизмов с частичным умножением, удовлетворяющим дополнительным требованиям (см., напр., [6], [9]).

Понятие К. было введено в 1945 [8]. Своим происхождением и первоначальными стимулами развития теория К. обязана алгебраич. топологии. Последующие исследования выявили объединяющую и унифицирующую роль понятия К. и связанного с ним понятия функтора для многих разделов математики.

Примеры К.:

1) Категория множеств Ens; класс Ob Ens состоит из всевозможных множеств, класс Мог Ens - из всевозможных отображений множеств друг в друга, а умножение совпадает с последовательным выполнением отображений (см. Множеств категория).

2) Категория топологических пространств Тор (или ); класс Ob Top состоит из всевозможных топологич. пространств, класс Моr Тор - из всех непрерывных отображений топологич. пространств, а умножение снова совпадает с последовательным выполнением отображений.

3) Категория групп Gr (или ); класс Ob Gr состоит из всевозможных групп, класс Мог Gr - из всех гомоморфизмов групп, а умножение опять совпадает с последовательным выполнением гомоморфизмов (см. Групп категория). По аналогии с этими примерами можно ввести К. векторных пространств над нек-рым телом, К. колец и т. п.

4) Категория бинарных отношений множеств Rel Ens (или R()); класс объектов этой К. совпадает с классом Ob Ens, а морфизмами множества Ав множество Вслужат бинарные отношения этих множеств, т. е. всевозможные подмножества декартова произведения А В;умножение совпадает с умножением бинарных отношений.

5) Полугруппа с единицей является К. с одним объектом, и наоборот, каждая К., состоящая из одного объекта, есть полугруппа с единицей.

6) Предупорядоченное множество Nможно рассматривать как К. для которой и ={(a, b)| а,}, а умножение определяется равенством (а, b)(b, с)=( а, с).

Все перечисленные выше К. допускают изоморфное вложение в К. множеств. К., обладающие указанным свойством, наз. конкретными К. Не всякая К. конкретна, напр., такова К., объектами к-рой являются все топологич. пространства, а морфизмами - классы гомотопных отображений [10].

Запас примеров К. можно значительно расширить при помощи различных конструкций и прежде всего при помощи К. функторов или К. диаграмм.

Отображение F:категории в категорию наз. ковариантным функтором, если для каждого объекта объект для каждого морфизма образ F(a)причем F(1_A)=1_F(A) и F(ab)=F(a)F(b). всякий раз, когда определено произведение ab. Если объекты К. составляют множество, то можно построить К. диаграмм или объектами к-роп являются всевозможные ковариантные функторы из в а морфизмами - всевозможные естественные преобразования этих функторов.

Каждой К. может быть сопоставлена двойственная, или дуальная, К.. или , для которой и для любых Ковариантный функтор из в наз. контравар и антным функтором из в Наряду с функторами одного аргумента можно рассматривать многоместные функторы или функторы от многих аргументов.

Для каждого предложения теории К. существует двойственное (дуальное) предложение, к-рое получается формальным "обращением стрелок". При этом справедлив так наз. принцип двойственности: предложение ристинно в теории К. тогда и только тогда, когда в этой теории истинно двойственное предложение р*.

Многие понятия и результаты в математике оказались двойственными друг другу с категорной точки зрения: инъективность и проективность, нильпотентность и К. топологич. пространства в смысле Люстерника - Шнирельмана, многообразия и радикалы в алгебре и т. д.

Теоретико-категорный анализ основ теории гомологии привел к выделению в середине 50-х гг. 20 в. так наз. абелевых категорий, в рамках к-рых оказалось возможным осуществить основные построения гомологич. алгебры [2]. В 60-е гг. 20 в. определился возрастающий интерес к неабелевым К., вызванный задачами логики, общей алгебры, топологии и алгебраич. геометрии. Интенсивное развитие универсальной алгебры и аксиоматич. построения теории гомотопий положили начало различным направлениям исследований: категорному изучению многообразий универсальных алгебр, теории изоморфизмов прямых разложений, теории сопряженных функторов и теории двойственности функторов. Последующее развитие обнаружило существенные взаимосвязи между этими исследованиями. Благодаря возникшей в последние годы теории относительных К., широко использующей технику сопряженных функторов и замкнутых К., была установлена двойственность между теорией гомотопий и теорией универсальных алгебр, основанная на интерпретации категорных определений моноида и комоноида в подходящих К. функторов (см., напр., [7]). Наряду с развитием общей теории относительных К., шло выделение специальных классов таких К.: 2-категории, или формальные К., К. с инволюцией, или 1-категории, включающие, в частности, К. бинарных отношений, и т. д. В частности, 2-категорией является К. малых К., к-рая может быть положена в основу аксиоматического построения математики.

Перечисленные классы К. характеризуются тем, что их множестваморфизмов Н( А, В )обладают дополнительной структурой. Другой способ введения дополнительных структур в К. связан с заданием в К. топологии и построении К. пучков над топологизированной К. (так наз. топосы).

Лит.:[1] Бувур И., Деляну А., Введение в теорию категорий и функторов, пер. с англ., М., 1972; [2] Гротендик А., О некоторых вопросах гомологической алгебры, пер. с франц., М., 1961; [3] Курош А. Г., Лившиц А. X., Шульгейфер Е. Г., "Успехи матем. наук", 1960, т. 15, в.6, с. 3-52; [4] Итоги науки. Алгебра. Топология. 1962, М., 1963,,с. 90-106; [5] Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1967, М., 1969, с. 9-57; [6] Цаленко М. Ш., Шульгейфер Е. Г., Основы теории категорий, М., 1974; [7] Bunge M., "J. Algebra", 1969, v. 11, р. 64-101; [8] Еilenberg S., М а с Lane S., "Trans. Amer. Math. Soc", 1945, v. 58, P. 231-94; [9] Freyd P., Abelian categories, N. Y., 1964; [10] его же, "Symposia mathem.", IV, S. 431 - 56; [11] Mас Lane S., Kategorien. Begriffssprache und mathematische Theorie, В., 1972; [12] Schubert H., Kategorien, Bd 1-2, В., 1970; [13] Mitchell В., Theory of categorie, N. Y., 1965.

M. Ш. Цаленко.

(в смысле Люстерника - Шнирельмана) - характеристика топологич. пространства Е- минимальное число cat Е таких замкнутых множеств к-рыми можно покрыть Еи каждое из к-рых может быть стянуто в точку посредством непрерывной деформации в Е. К. является гомотопич. инвариантом (т. е. совпадает для всех топологич. пространств одного гомотопического типа). К. имеет важное значение для вариационного исчисления в целом, так как она оценивает снизу число стационарных (критических) точек гладкой функции на замкнутом многообразии. Уже простейшие примеры вроде функции/(х)= х, рассматриваемой на всей действительной оси и вообще не имеющей критич. точек, показывают, что за пределами класса замкнутых многообразий нельзя ожидать, чтобы такая оценка выполнялась для всех гладких функций. Тем не менее в ряде случаев удается получить аналогичную оценку для числа критич. точек различных изучаемых в вариационном исчислении функционалов, рассматриваемых как функции на бесконечномерных функциональных пространствах. Общих методов вычисления К. не имеется (хотя известно ее значение для некоторых конкретных пространств), известна только оценка

где (когомологическа я) длина long Eопределяется как наибольшее число классов когомологий положительной размерности, произведение которых может быть отлично от нуля. Поэтому иногда рассуждения проводят непосредственно в терминах когомологического умножения (или, двойственно, пересечения циклов), не обращаясь к К.

К. введена в [1], впервые вычислена в нетривиальном случае (для действительного проективного пространства) и сразу же использована для решения ряда задач, в том числе задачи Пуанкаре о трех замкнутых геодезических на поверхностях, гомеоморфных двумерной сфере [2].

Лит.:[1] Lusternik L., в кн.: "Atti del Congresso Internazionale dei Matematica", Bologna, 1931, t. 4, p. 291-96; [2] Люстерник Л. А., Шнирельман Л. Г., "Успехи матем. наук", 1947, т. 2, № 1, с. 166-217.

Д. В. Аносов.

category, class, entity

* * *

category, class

катего́рия гру́нта (в землеройных работах) — class of material

катего́рия сро́чности (в системах связи и системах обмена информации) — priority rank

то́чная катего́рия — exact category

* * *

class

ж.

categoria f

- абстрактная категория

матем.

катего́рія

- аддитивная категория

- шейповая категория

матем.

катего́рія

- аддитивная категория

- шейповая категория

(от греч. kategoria - высказывание, признак) - англ. category; нем. Kategorie. 1. Общее понятие, отражающее наиболее существенные свойства и отношения предметов и явлений. 2. Вид, группа, тип, выделенные в к.-л. классификации.

(от греч. kategoria - высказывание, признак) - англ. category; нем. Kategorie. 1. Общее понятие, отражающее наиболее существенные свойства и отношения предметов и явлений. 2. Вид, группа, тип, выделенные в к.-л. классификации.