«Интеграл»

(от лат. integer — целый)

одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой — измерять площади, объёмы, длины дуг, работу сил за определённый промежуток времени и т. п. Соответственно с этим различают неопределенные и определённые И., вычисление которых является задачей интегрального исчисления (См. Интегральное исчисление).

Неопределённый интеграл. Первообразная функции f(x) одного действительного переменного — функция F(x), производная которой при каждом значении х равна f(x). Прибавляя постоянную к первообразной какой-либо функции, вновь получают первообразную той же функции. Следовательно, имея одну первообразную F(x) функции f(x), получают общее выражение всех первообразных этой функции в виде F(x)+С. Это общее выражение первообразных называют неопределённым интегралом:

функции f(x). Одна из основных теорем интегрального исчисления устанавливает, что каждая непрерывная функция f(x) действительного переменного имеет неопределённый И.

Определённый интеграл. Определённый И. функции f(x) с нижним пределом аи верхним пределом b можно определить как разность

где F(x) есть первообразная функции f(x); определение не зависит от того, какая из первообразных выбрана для вычисления определённого И. Если функция f(x) непрерывна, то приведённое определение в случае a <> равносильно следующему определению, данному О. Коши(1823): рассматривают произвольное разбиение отрезка [a, b] точками

в каждом отрезке [x_i—1, x_i] (i =1, 2,...,n) берут произвольную точку ξ_i (x_i—1 ≤ ξ_i ≤ x_i) и образуют сумму

Сумма S_n зависит от выбора точек x_i и ξ_i. Однако в случае непрерывной функции f(x) суммы S_n, получающиеся при различном выборе точек x_i и ξ_i, стремятся к вполне определённому пределу, если максимальная из разностей x_i — x_i—1стремится к нулю при n→ ∞. Этот предел и является определённым интегралом

По определению,

Определённый И., как указано выше, выражается через любую первообразную F(x). Обратно, первообразная F(x) может быть записана в виде

где а — произвольная постоянная. В соответствии с этим неопределенный И. записывается в виде

О возникновении понятия И., а также о свойствах неопределенных и определённых И. см. Интегральное исчисление.

Обобщение понятия интеграла

Интеграл Римана. О. Коши применял своё определение И. только к непрерывным функциям. Назвать, по определению, интегралом

предел сумм S_n при max(x_i — x_i—1) → 0 во всех тех случаях, когда этот предел однозначно определён, предложил Б. Риман(1853). Он же исследовал условия применимости такого определения. Более совершенную форму этим условиям придал А. Лебег (1902), пользуясь введённым им понятием меры множества (см. Меры теория). Для интегрируемости в смысле Римана функции f(x) на [a, b] является необходимой и достаточной совокупность двух условий: f(x)ограничена на [а, b], множество помещающихся на [a, b] точек разрыва функции f(x) имеет меру, равную нулю. Таким образом, непрерывность в каждой точке отрезка [а, b] совсем не обязательна для интегрируемости по Риману.

Неопределённый И. и первообразную можно теперь определять формулами (5) и (4). Следует только заметить, что при этом первообразная F(x) не обязана иметь подинтегральную функцию f(x) своей производной в каждой точке. Но в каждой точке непрерывности f(x), т. е., в силу результата Лебега, всюду, кроме, может быть, множества меры, равной нулю, будет

Г. Дарбу (1879) дал определение интеграла Римана, которое делает особенно наглядными условиями существования такого И. Вместо сумм (3) Дарбу вводит суммы (называемые суммами Дарбу)

где M_k — верхняя грань функции f(x) наотрезке [x_k—1,x_k], а m_k — нижняя грань f (x) на том же отрезке. Если I̅ нижняя грань сумм l̲— верхняя грань сумм l̲ и I̅ и является интегралом Римана (6). Сами величины I̅ и l̲ называются верхним и, соответственно, нижним интегралами Дарбу.

Интеграл Лебега. Введённое Лебегом понятие меры множества позволило дать значительно более широкое определение И. Чтобы определить И. (6), Лебег делит точками

... <>y_-2 <>y_-1 <>y₀ <>y_-1 <>y_i <>

область возможных значений переменного у = f(x) и обозначает M_i множество тех точек х из отрезка [a, b], для которых

y_i—1 ≤ f(x)y_i.

Сумма S определяется равенством S = Σ_i η_i μ(M_i),

где η_i берётся из отрезка y_i—1 ≤ η_i y_i, а μ(M_i) обозначает меру множества M_i.Функция f(x) называется интегрируемой в смысле Лебега на отрезке [a, b], если ряды, определяющие суммы S, абсолютно сходятся при max(y_i — y_i—1) → 0. Предел этих сумм и называется интегралом Лебега (6). Можно определить первообразную в смысле Лебега как функцию F(x), удовлетворяющую равенству (4), где И. в правой части понимается по Лебегу. Как и в случае интеграла Римана, равенство (7) будет при этом выполняться во всех точках, кроме, может быть, множества, имеющего меру, равную нулю.

Для интегрируемости по Лебегу ограниченной функции f(x) необходимо и достаточно, чтобы она принадлежала к числу измеримых функций (См. Измеримые функции) в смысле Лебега. Все функции, встречающиеся в математическом анализе, измеримы в этом смысле. Более того, до настоящего времени (1972) не построено ни одного индивидуального примера неизмеримой функции. Таким образом, для случая ограниченных функций Лебег решил задачу определения интеграла (6) с общностью, исчерпывающей потребности математического анализа. Среди функций, интегрируемых по Лебегу, имеется сколько угодно функций, всюду разрывных и, следовательно, неинтегрируемых по Риману. Наоборот, каждая интегрируемая по Риману функция интегрируема и по Лебегу.

Определение Лебега обобщается на случай интегрирования по полупрямой и по полной прямой, т. е. на случай И. вида

После этого обобщения теория Лебега охватывает все случаи абсолютно сходящихся несобственных интегралов (См. Несобственные интегралы).

Общность, достигнутая в определении Лебега, весьма существенна во многих вопросах математического анализа; например, только с введением интеграла Лебега могла быть установлена теорема Фишера — Риса в теории тригонометрических рядов, в силу которой любой ряд

для которого

представляет функцию f(x), порождающую коэффициенты a_n и b_n по формулам

где И. понимаются в смысле Лебега.

Интеграл Стилтьеса. В конце 19 в. определение интеграла Римана подверглось совершенно иному обобщению, чем то, к которому привело введение понятия меры множества. Это обобщение было дано Т. Стилтьесом (1894). Пусть f(x) — непрерывная функция действительного переменного х, определённая на отрезке [a, b], и U(x) — определённая на том же отрезке ограниченная монотонная (неубывающая или невозрастающая) функция. Для определения интеграла Стилтьеса берут произвольное разбиение (2) отрезка [a, b] и составляют сумму

f(ξ₁) [U(x₁) — U(x₀)] + f(ξ₂) [U(x₂) — U(x₁)] +...+f(ξ_n) [U(x_n) — U(x_n—1)], (8)

где ξ₁, ξ₂, ..., ξ_n — произвольные точки, выбранные соответственно на отрезках [x₀, x₁], [x₁, x₂], ..., [x_n—1, x_n]. Пусть δ — наибольшее расстояние между двумя последовательными точками деления в разбиении (2). Если взять любую последовательность разбиений, для которой δ стремится к нулю, то сумма (8) будет иметь определённый, всегда один и тот же предел, как бы ни выбирались точки ξ₁, ξ₂, ..., ξ_n на соответствующих отрезках. Этот предел называют, следуя Стилтьесу, интегралом функции f(x) относительно функции U(x) и обозначают символом

Интеграл (9) (его называют также интегралом Стилтьеса) существует и в том случае, когда ограниченная функция U(x), не будучи сама монотонной, может быть представлена в виде суммы или разности двух ограниченных монотонных функций U₁(x) и U₂(x):

U(x) =U₁(x) — U₂(x),

т. е. является функцией с ограниченным изменением (см. Изменение функции).

Если интегрирующая функция U(х) имеет ограниченную и интегрируемую по Риману производную U'(x), то интеграл Стилтьеса сводится к интегралу Римана по формуле

В частности, когда U(x) = х + С, интеграл Стилтьеса (9) превращается в обыкновенный интеграл Римана (6).

Дальнейшие обобщения. Концепции И., созданные Стилтьесом и Лебегом, удалось впоследствии объединить и обобщить на интегрирование по любому (измеримому) множеству в пространстве любого числа измерений. Классические кратные интегралы вполне охватываются этим подходом. Потребности таких дисциплин, как теория вероятностей и общая теория динамическим систем, привели к ещё более широкому понятию абстрактного интеграла Лебега, основанному на общих понятиях меры множества и измеримости функций. Пусть Х — пространство, в котором выделена определённая система В его подмножеств, называемых «измеримыми», причём эта система обладает свойствами замкнутости по отношению к обычным теоретико-множественным операциям, выполняемым в конечном или счётном числе. Пусть μ — конечная мера, заданная на В. Для В-измеримой функции у=f(x), х∈Х, принимающей конечное или счётное число значений y₁, y₂, ..., y_n, ..., соответственно на попарно непересекающихся множествах A₁, ..., А_n, ..., сумма которых есть X, интеграл функции f(x) по мере μ, обозначаемый

определяется как сумма ряда

в предположении, что этот ряд абсолютно сходится. Для других f интегрируемость и И. определяются путём некоторого естественного предельного перехода от указанных кусочно постоянных функций.

Пусть А — измеримое множество и φ_А(х) = 1 для х, принадлежащих А, и φ_А(х) = 0 для х, не принадлежащих А. Тогда интеграл от f(x) по множеству А определяют, полагая

При фиксированных μ и А И. в зависимости от f может рассматриваться как Линейный функционал; при фиксированном f И., как функция множества А, есть счётно аддитивная функция.

Следует отметить, что, несмотря на кажущуюся отвлечённость, это общее понятие И. в наибольшей степени подходит для определения такого понятия, как математическое ожидание (в теории вероятностей), и даже для общей формулировки задачи проверки статистических гипотез. И. по отношению к так называемой мере Винера и различным её аналогам используют в статистической физике (здесь в качестве Х фигурирует пространство непрерывных на каком-либо отрезке функций). Упоминавшиеся до сих пор обобщения понятия И. были такими, что f и |f| оказывались интегрируемыми или неинтегрируемыми одновременно.

Обобщения первоначального понятия И. в другом направлении относятся к функциям одного переменного, но зато дают много больше в исследовании интегрирования неограниченных функций. Ещё Коши в случае функции f(x), неограниченной в точке х = с, определил интеграл

когда a <>c <>b, как предел выражения

при ε₁ → 0 и ε₂ → 0. Аналогично И. с бесконечными пределами

определяется как предел И.

при а → — ∞ и b → + ∞. Если при этом не требуется интегрируемости |f(x)|, т. е. f(x) интегрируема «не абсолютно», то это определение Коши не поглощается лебеговским.

Ещё более широкое обобщение понятия И. в этом направлении было предложено А. Данжуа (1912) и А. Я. Хинчиным(1915).

Лит.: Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, пер. с франц., М.—Л., 1934; Сакс С., Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949; Камке Э., Интеграл Лебега — Стилтьеса, пер. с нем., М., 1959; Уитни Х., Геометрическая теория интегрирования, пер. с англ., М., 1960; Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966; Данфорд Н., Шварц Дж. Т., Линейные операторы. Общая теория, пер. с англ., М., 1962; Невё Ж., Математические основы теории вероятностей, пер. с франц., М., 1969; Federer Н., Geometric measure theory, В. — Hdlb. — N. Y., 1969.

Под редакцией академика А. Н. Колмогорова.

1. интегра́л;
2. интегра́лы;
3. интегра́ла;
4. интегра́лов;
5. интегра́лу;
6. интегра́лам;
7. интегра́л;
8. интегра́лы;
9. интегра́лом;
10. интегра́лами;
11. интегра́ле;
12. интегра́лах.

муж., мат., лат. конечная, измеримая величина, в отношении к бесконечно малой части ее, к дифференциалу. Интегральное вычисление, искусство отыскивать интеграл по дифференциалу. Интегрировать, вычислять, находить интеграл; интеграция жен. действие это.

ИНТЕГРА́Л [тэ ], -а, муж. В математике: величина, получающаяся в результате действия, обратного дифференцированию.

| прил. интегральный, -ая, -ое. Интегральное исчисление.

-а, м. мат.

Величина, получающаяся в результате действия, обратного дифференцированию.

[От лат. integer — целый]

ИНТЕГРА́Л, интеграла, муж. (от лат. integer - целый) (мат.). Конечная измеримая величина в отношении к бесконечно малой части ее - к диференциалу.

м.

Целая величина, рассматриваемая как сумма своих бесконечно малых частей (в математике).

ИНТЕГРАЛ (от лат. integer - целый) - см. Интегральное исчисление.

ИНТЕГРАЛ (от латинского integer - целый), одно из основных понятий интегрального исчисления.

муж. integralм. мат. integral.

integral

Эта "кузница кадров" возникла в городе Усть-Каменогорске в конце 80-х годов. В "Интеграле" в разное" время переиграли: Юрий Лоза, Игорь Сандлер, Юрий Ильченко, Игорь Новиков, Ярослав Ангелюк, Женя Белоусов, Марина Хлебникова и другие. В начале 80-х группа играла рок-музыку, так же в программу входили пародии. Популярность группы стала угасать к середине 80-х, и художественный руководитель группы Бари Алибасов собирает новый состав, который уже работает в стиле глэм-рок. Следующим проектом Б. Алибасова стала "На-На", и на этом история "Интеграла" закончилась.

Дискография:

1990 "Интеграл"

m.integral; интеграл свёртки, convolution, convolution integral, Faltung; интеграл Пуассона, Poisson integral; интеграл по траекториям, functional integral, path integral

м мат.

Integral n

интеграл м мат. Integral n 1a

м. мат.

intégrale f

найти интеграл — intégrer vt

м. мат.

integral f

м.

integrale

ИНТЕГРАЛ (обозначение т ). Математический символ, используемый в ИСЧИСЛЕНИИ, представляющий операцию суммирования. Интеграл функции f(x), записанный как т f(x)dx, может представлять площадь фигуры, ограниченной кривой y=f(x) и осью абсцисс. ИНТЕГРИРОВАНИЕ (нахождение интеграла функции) формально выполняется путем деления площади этой фигуры на ряд прямоугольных полосок, параллельных оси ординат. Затем находится предел сумм этих площадей при условии, что ширина этих полосок уменьшается, а их количество увеличивается. В действительности, символ интегрирования обозначает «сумма». Определенный интеграл имеет числовое значение, которое представляется как площадь, ограниченная осью абсцисс, кривой у = f(x) и двумя прямыми х = а и х = b. Если а и b не заданы, то интеграл называется неопределенным. Во многих случаях ПРОИЗВОДНАЯ от неопределенного интеграла дает саму функцию. Поэтому интегрирование можно рассматривать как операцию, обратную ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЮ.

ИНТЕГРА́Л [тэ], -а; м. [от лат. integer - целый] Матем. Величина, получающаяся в результате действия, обратного дифференцированию.

◁ Интегра́льный, -ая, -ое. И-ое исчисление (раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения). И-ые уравнения (содержащие неизвестные функции под знаком интеграла).

* * *

(от лат. integer — целый), см. Интегральное исчисление.

* * *

ИНТЕГРА́Л (от лат. integer — целый), см. Интегральное исчисление(см. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ).

- одно из центральных понятий математич. анализа и всей математики, возникновение к-рого связано с двумя задачами: о восстановлении функции по ее производной (напр., с задачей об отыскании закона движения материальной точки вдоль прямой по известной скорости этой точки); о вычислении площади, заключенной между графиком функции f(x)на отрезке и осью абсцисс (к этой же задаче приводит вычисление работы, произведенной силой за промежуток времени и другие вопросы).

Указанные две задачи приводят к двум видам И.: неопределенному и определенному. Изучение свойств и вычисление этих связанных между собой видов И. составляет задачу интегрального исчисления.

В ходе развития математики и под влиянием потребностей естествознания и техники понятия неопределенного и определенного И. подвергались ряду обобщений и изменений.

Неопределенный интеграл. Первообразной функции f (х)одного переменного хна интервале а<х<b наз. любая функция F(x), производная к-рой для любого хиз этого интервала равна f(x). Очевидно, что если F(x)является первообразной функции f(x)нa интервале а<x<b, то и функция F₁ (х)= F(x)+C, где С- любая постоянная, также является первообразной f(x)на этом интервале. Верно и обратное: любые две первообразные одной и той же функции f(x)на интервале a<x<b могут отличаться лишь на постоянную. Следовательно, если F(x)- одна из первообразных f(x)на интервале a<x<b, то любая первообразная f(x)на этом интервале имеет вид F(x)+C, где С- постоянная. Совокупность всех первообразных функции f (х)на интервале a<x<b наз. неопределенным интегралом функции f(x)(на этом интервале) и обозначается символом

Согласно основной теореме интегрального исчисления, для каждой непрерывной на интервале a<x<b функции f(х)существует на этом интервале первообразная и, следовательно, неопределенный И.

Определенный интеграл. Понятие определенного И. вводится либо как предел интегральных сумм (см. Ноши интеграл, Римана интеграл, Лебега интеграл, Колмогорова интеграл, Стилтьеса интеграл), либо в случае, когда заданная функция f(x)определена на нек-ром отрезке [ а, b]и имеет на нем первообразную F, как разность ее значений на концах рассматриваемого отрезка F(b) - F(a). Определенный И. от функции f(x)на отрезке [ а, b] обозначают Определение И. как предела интегральных сумм в случае непрерывных функций было сформулировано О. Коши (А. Саuchy) в 1823. Случай произвольных функций был изучен Б. Риманом (В. Riemann, 1853). Существенное продвижение в теории определенного И. принадлежит Г. Дарбу (G. Darboux, 1879), к-рый ввел в рассмотрение наряду с интегральной суммой Римана верхнюю и нижнюю суммы (см. Дарбу сумма). Необходимое и достаточное условие интегрируемости по Риману разрывных функций в законченной форме установил (1902) А. Лебег (Н. Lebesgue).

Между определенным И. от непрерывной на отрезке [а, b]функции f(x)и неопределенным И. (или первообразной) этой функции существует следующая связь:

1) если F(x)- любая первообразная функции f(x), то справедлива формула Ньютона - Лейбница

2) для любого хиз отрезка [ а, b] неопределенный И. непрерывной функции f(х)записывается в виде

где С- произвольная постоянная. В частности, определенный И. с переменным верхним пределом

представляет собой первообразную функцию f(х). Для введения определенного И. от функции f(x)по отрезку [ а, b]в смысле Лебега разбивают множество значений уна частичные отрезки точками...<y_₂<у _-1<y₀<у₁<у₂<... и обозначают через М _i множество всех значений хиз отрезка [ а, b], для к-рых y_i-1f(x)<y_i, а через m( М _i) - меру множества М _i в смысле Лебега. Интегральную сумму Лебега функции f(x)на отрезке [ а, b] определяют равенством

где hi - любое число из отрезка

Функцию f(x)наз. интегрируемой в смысле Лебега на отрезке [а, b], если существует предел ее интегральных сумм (2) при стремлении к нулю максимальной из разностей у _i-y_i-1, т. е. если существует такое число I, что для любого e>0 найдется d>0 такое, что при единственном условии ( у _i -у _i-1)<d справедливо неравенство|s-I| <e. При этом указанный предел I наз. определенным интегралом Лебега от функции f(x)по отре. <зку [ а, b].

Вместо отрезка [ а, b]можно рассматривать произвольное множество, измеримое относительно некоторой неотрицательной полной счетно аддитивной меры. Возможно и другое введение интеграла Лебега, когда этот И. первоначально определяют на множестве так наз. простых функций (т. е. измеримых функций, принимающих не более счетного множества значений), а затем с помощью операции предельного перехода вводят для произвольной функции, представляющей собой предел равномерно сходящейся последовательности простых функций (см. Лебега интеграл).

Каждая интегрируемая в смысле Римана функция является интегрируемой и в смысле Лебега. Обратное неверно, ибо существуют разрывные на множестве положительной меры и вместе с тем интегрируемые в смысле Лебега функции (напр., функция Дирихле).

Для интегрируемости по Лебегу ограниченной функции необходимо и достаточно, чтобы эта функция принадлежала классу измеримых функций. Функции, встречающиеся в математич. анализе, как правило, измеримы. Это означает, что интеграл Лебега обладает общностью, исчерпывающей потребности анализа.

Интеграл Лебега охватывает и все случаи абсолютно сходящихся несобственных интегралов.

Общность, достигнутая определением И. в смысле Лебега, весьма существенна во многих вопросах современного математич. анализа (теория обобщенных функций, определение обобщенных решений дифференциальных уравнений, изоморфизм гильбертовых пространств L₂ и l₂, эквивалентный так наз. теореме Рисса - Фишера в теории тригонометрических или произвольных ортогональных рядов,- все эти теории оказались возможными только при понимании И. в смысле Лебега).

Первообразную в смысле Лебега естественно определить с помощью равенства (1), в к-ром И. понимается в смысле Лебега. При таком понимании соотношение F'(x)=f(x)будет справедливо всюду, кроме, может быть, множества, имеющего меру, равную нулю.

Другие обобщения понятия интеграла. В 1894 Т. Стилтьесом (Т. Stieltjes) было дано другое важное для приложений обобщение интеграла Римана (получившее название интеграла Стилтьеса), в к-ром рассматривается интегрируемость одной функции f(x), определенной на некотором отрезке [a, b], относительно другой функции, определенной на том же отрезке. Интеграл Стилтьеса функции f(х)относительно функции U(х)обозначают символом

Если U(х)имеет ограниченную и интегрируемую в смысле Римана производную U'(х), то интеграл Стилтьеса сводится к интегралу Римана по формуле

в частности при и(х)=х+С интеграл Стилтьеса (3) является интегралом Римана

Однако для приложений интересен случай, когда интегрирующая функция U(x)не имеет производной. Примером может служить рассмотрение в качестве U(x)спектральной меры при изучении спектральных разложений.

Криволинейный интеграл

вдоль кривой Г, определяемой уравнениями x=j(t), y=y(t), представляет собой частный случай интегралa Стилтьеса, так как может быть записан в виде

Дальнейшим обобщением понятия И. послужило интегрирование по произвольному множеству в пространстве любого числа измерений. В самом общем случае удобно рассматривать И. как функцию от того множества М, по к-рому производится интегрирование (см. Функции множеств )вида

,

где U- также некоторая функция множества М(в частном случае его мера), а точка принадлежит множеству М, по к-рому идет интегрирование. Частными случаями такого рассмотрения являются кратные интегралы и поверхностные интегралы.

Другим обобщением понятия И. является понятие несобственного интеграла.

В 1912 А. Данжуа (A. Denjoy) ввел понятие И. (см. Данжуа интеграл), применимое ко всякой функции f(x), являющейся производной нек-рой функции F(x). Это позволило привести конструктивное определение И. к такой степени общности, при к-рой оно целиком отвечает задаче разыскания неопределенного И., понимаемого в смысле первообразной.

Лит.:[1] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, ч. 1-2, М., 1971-73; [2] Колмогоров А. Н., Фомин СВ., Элементы теории функций и функционального анализа, 4 изд., М., 1976; [3] Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1-2, 2 изд., М., 1973; [4] Никольский С. М., Курс математического анализа, т. 1-2, 2 изд., 1975; [5] Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 5, М., 1959; [6] Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, пер. с франц., М.-Л., 1934.

В. А. Илъин.

А-ИНТЕГРАЛ - одно из обобщений интеграла Лебега, данное Е. Титчмаршем [1] для интегрирования функций, сопряженных к суммируемым. Измеримую функцию f(x)наз. А - интегрируемой на [ а, b], если