«Идеал»

представление высшего совершенства в каком-нибудь отношении. В этом широком смысле слово И. применяется одинаково и к отвлеченным и конкретным предметам: И. добра, И. женской красоты, И. государства, И. гражданина и т. д. В этом общем смысле И. обыкновенно противополагается действительности, как чему-то несовершенному. Такое противоположение может приниматься в трояком смысле: 1) И., противоречащий действительности, может тем самым признаваться за пустую фантазию; 2) действительность, несоответствующая И., может безусловно отвергаться как бытие ложное и призрачное и 3) противоречие между этими двумя терминами может пониматься как задача их примирения, т. е. преобразования действительности по И., или воплощения его в действительности. Первые два взгляда имеют частную, относительную истинность, поскольку бывают И. по существу своему фантастичные, а с другой стороны бывает действительность также по существу негодная, неспособная к улучшению или пересозданию. Но общая принципиальная истина принадлежит только третьему взгляду: совокупность космического и исторического опыта указывает на И. осуществимые и осуществляемые и на действительность преобразуемую, усовершаемую; вся история мира и человечества есть лишь постепенное воплощение И. и преобразование худшей действительности в лучшую, и когда полагаются произвольные пределы этому процессу — это обыкновенно означает лишь тайное предпочтение дурного хорошему в силу низших интересов и страстей. Особое значение имеет понятие И. в области чистого искусства, имеющего своей задачей воплощение идей в чувственных формах, т. е. создание конкретных И. (см. Эстетика). В общее употребление слово И. стало входить с конца прошлого и начала нынешнего столетия, главным образом, благодаря Шиллеру. О философском понятии Бога, как абсолютного И., или И. чистого разума см. Кант.

Вл. С.

I

Идеа́л (франц. idéal, от греч. idéa — идея, первообраз)

идеальный образ, определяющий способ мышления и деятельности человека или общественного класса. Формирование природы сообразно И. представляет собой специфически-человеческую форму жизнедеятельности, ибо предполагает специальное создание образа цели деятельности до её фактического осуществления.

Проблема И. была обстоятельно разработана в немецкой классической философии. Наиболее остро она была поставлена И. Кантом в связи с проблемой «внутренней цели». Согласно Канту, явления, не имеющие цели, которая могла бы быть представлена образно, не могут иметь и идеала. Единственным существом, действующим по «внутренней цели», является человек как представитель рода. В животном внутренняя целесообразность осуществляется бессознательно и потому не обретает форму И., особого образа цели. Согласно Канту, И. как воображаемое (достигнутое в воображении) совершенство человеческого рода характеризуется полным и абсолютным преодолением всех противоречий между индивидом и обществом, то есть между индивидами, составляющими «род». Таким образом, осуществление И. совпадало бы с концом истории. В силу этого И., по Канту, принципиально недостижим и представляет собой только «идею» регулятивного порядка. Он указывает скорее направление на цель, чем задаёт образ самой цели, и потому руководит человеком скорее как чувство верного направления, чем как ясный образ результата. Только в искусстве И. может и должен быть представлен в виде образа — в форме прекрасного (См. Прекрасное). И. науки («чистого разума») задаётся в виде принципа «запрета противоречия», моральный И. («практического разума») — в форме категорического императива (См. Категорический императив). Ни там, ни здесь наглядно представить себе состояние, соответствующее И., нельзя, ибо оно неосуществимо в течение сколь угодно длительного, но конечного времени. Поэтому И. и «прекрасное» становятся синонимами, и жизнь И. допускается только в искусстве. Эти идеи Канта получили развитие в соч. Ф. Шиллера, И. Г. Фихте, Ф. В. Шеллинга и немецких романтиков.

Г. Гегель, остро понявший бессилие кантовского представления об И., развенчал его как абстракцию, выражающую на деле один из моментов развивающейся действительности «духа» (то есть истории духовной культуры человечества) и противопоставленную другой такой же абстракции — «эмпирической действительности», якобы принципиально враждебной И. и несовместимой с ним. И. становится у Гегеля моментом действительности, образом человеческого духа, вечно развивающегося через свои имманентные противоречия, преодолевающего свои собственные порождения, свои «отчуждённые» состояния, а не изначально внешнюю и враждебную ему «эмпирическую действительность». И. науки (научного мышления) поэтому может и должен быть задан в виде системы логики, а И. практического разума — в виде образа разумно устроенного государства, а не в виде формальных и принципиально неосуществимых абстрактных императивных требований, обращенных к индивиду. И. как таковой поэтому всегда конкретен, и он постепенно реализуется в истории. Любая достигнутая ступень развития предстаёт с этой точки зрения как частично реализованный И., как фаза подчинения эмпирии власти мышления, силе идеи, творческой мощи понятия, — то есть коллективного разума объединённых вокруг идей людей. В виде И. всегда оформляется образ конкретной цели деятельности «рода», то есть человечества на данной ступени его интеллектуального и нравственного развития. В составе И. действительно представляются разрешенными главные, наиболее острые и окончательно назревшие всеобщие противоречия. «Дух» всегда осуществляет наличные проблемы, а не абстрактно-формальную цель «абсолютного совершенства», представляемого как неподвижное и лишённое жизни (стало быть и противоречий) состояние.

Поскольку И. определяется Гегелем в духе традиций немецкой классической философии как наглядно созерцаемый образ цели, дальнейшая разработка проблемы И. переходит у него в эстетику, в систему определений «прекрасного». Осуществление И. как «прекрасного» относится Гегелем, однако, к прошлому — к эпохе античного «царства прекрасной индивидуальности». Это связано с тем, что Гегель считает буржуазное (идеализированное им) развитие культуры завершением социальной истории людей. Теоретически увековечивая капиталистическое разделение труда, Гегель считает романтической мечтой, то есть реакционным идеалом, идею всестороннего и целостного развития индивида. Но без этого идея «прекрасной индивидуальности» становится немыслимой даже чисто теоретически. Поэтому «прекрасное» (а тем самым и И. как таковой) оказывается у Гегеля скорее образом прошлого человеческой культуры, нежели образом её будущего.

Подвергнув критике идеализм Гегеля, марксизм-ленинизм материалистически переработал диалектические идеи Гегеля относительно И., его состава, его роли в жизни общества и возможностей его конкретной реализации. Понимая под И. образ цели деятельности объединённых вокруг общей задачи людей, К. Маркс и Ф. Энгельс главное внимание обратили на исследование реальных условий жизни основных классов современного им (буржуазного) общества, на анализ тех реальных всеобщих потребностей, которые побуждают эти классы к деятельности и преломляются в их сознании в форме И. Идеал был впервые понят с точки зрения отражения противоречий развивающейся социальной действительности в головах людей, находящихся в тисках этих противоречий. В виде И. в сознании всегда своеобразно отражается противоречивая социально-историческая ситуация, чреватая назревшими, но не удовлетворяемыми потребностями более или менее широких масс людей, общественных классов, групп. В виде И. эти группы людей и создают для себя образ такой действительности, в рамках которого наличные, гнетущие их противоречия представляются преодоленными, «снятыми», и действительность изображена «очищенной» от этих противоречий, свободной от них. Это не значит, что в виде И. следует представлять себе грядущее состояние лишённым каких бы то ни было противоречий развития. В И. идеально разрешаются наличные, конкретно-исторические по существу и по происхождению, противоречия и поэтому И. выступает как активная, организующая сознание людей сила, объединяющая их вокруг решения вполне определённых, конкретных, исторически назревших задач.

Классы, реализующие прогресс всего общества, формируют соответственно прогрессивные И., собирающие под свои знамена всех активных людей, ищущих выхода из кризисных ситуаций. Таковыми были, например, И. Великой французской революции. Таковыми являются в современную эпоху И. Великой Октябрьской социалистической революции. В наши дни единственной системой идей, представляющей прогрессивный И., является коммунистическое мировоззрение, и именно потому, что оно указывает людям единственно возможный выход в будущее из тупика неразрешимых при капитализме противоречий: построение коммунизма, в условиях которого осуществляется свободное и всестороннее развитие личности.

Лит.: Маркс К. и Энгельс Ф., Немецкая идеология, Соч., 2 изд., т. 3; Маркс К., Критика Готской программы, там же, т. 19; Кант И., Критика эстетической способности суждения, Соч., т. 5, М., 1965; Шиллер Ф., Письма об эстетическом воспитании. Собр. соч., т. 6, М., 1957; Гегель Г. В. Ф., Наука логики, т. 1—2, Собр. соч., т. 5—6, М., 1937—39; его же, Эстетика, т. 1—3, М., 1968—72; Дебольский Н. Г., Об эстетическом идеале, «Вопросы философии и психологии», 1900, кн. 55, с. 759—816; Лифшиц М. А., И. И. Винкельман и три эпохи буржуазного мировоззрения, в сборнике: Вопросы искусства и философии, М., 1935; Муриан В. М., Эстетический идеал, М., 1966; Ильенков Э. В., Об идолах и идеалах, М., 1968; Schliesinger A., Der Begriff des Ideals, Lpz., 1908: Tsanoff R. A., Moral ideals of our civilization, N. Y., 1942; Bertin G. M., L’ideale estetico, Varese-Mil., 1949.

Э. В. Ильенков.

Идеа́л (математический)

одно из основных алгебраических понятий. Возникнув первоначально в связи с изучением алгебраических иррациональных чисел, И. нашли впоследствии многочисленные применения в других отделах математики.

Известно, что всякое целое (рациональное) число можно разложить в произведение простых множителей; например, 60 = 2 · 2 · 3 · 5, причём разложение единственно с точностью до порядка и знака множителей:

В 19 в. математики столкнулись с необходимостью разлагать на множители числа более общей природы. Если, например, рассматривать числа вида

где mиn — любые целые (рациональные) числа, то так же, как и для обычных целых чисел, здесь каждое число всегда можно разложить в произведение далее неразложимых множителей. Однако в этом случае нарушается единственность разложения. Так, число 9 (которое получается, если считать m = 9, n = 0) допускает здесь два различных разложения:

причем ни один из множителей

дальше разложить в произведение чисел вида

нельзя. Нарушения привычных законов единственности разложения не будет, если свойство делимости связывать не с числами, а с И. В современной алгебре И. вводятся в произвольных кольцах (См. Кольцо). В случае числовых колец (таковым является, например, рассмотренная выше совокупность чисел вида

И. называются также идеальными числами. И. — это совокупность чисел, принадлежащих данному числовому кольцу (а в случае произвольного кольца — совокупность его элементов), обладающая следующими свойствами: 1) сумма и разность двух чисел (элементов) совокупности принадлежит этой совокупности; 2) произведение числа (элемента) из этой совокупности на любое другое число (на любой другой элемент) кольца также принадлежит этой совокупности. Затем рассматривают вместо чисел соответствующие им И.; так, например, числу 9 соответствует И. p = (9), состоящий из всех чисел, делящихся на 9.

Числовые понятия, связанные с делимостью чисел, переносятся на И.: один И. делится на другой, если любой элемент первого лежит также и во втором (для чисел это эквивалентно тому, что любое число первого И. делится хотя бы на одно число второго); произведение И. определяется как наименьший И., содержащий всевозможные попарные произведения элементов из обоих идеалов-множителей; наибольший общий делитель двух И. — наименьший И., содержащий элементы как первого, так и второго И., и др. В совокупности целых чисел любой И. состоит из кратных какого-либо фиксированного числа: любой И. является главным. В общем случае, уже для алгебраических иррациональных чисел, не всякий И. является главным. Делимость на главный И. эквивалентна делимости на соответствующее этому И. число. Благодаря наличию не главных И. для целых алгебраических чисел остаётся справедливой теорема о том, что любой И. единственным образом разлагается в произведение неразложимых далее И. Эти неразложимые И., называются также простыми И., выполняют роль простых чисел и характеризуются тем, что обязательно содержат хотя бы один из множителей, если они содержат их произведение. Так, в рассмотренном выше примере

(3) = p₁ p₂,

где

и

— новые И., например И. p₁, являющийся наибольшим общим делителем И.

состоит из всех чисел вида

где k и l — любые целые рациональные числа.

Понятие «И.» (или в первоначальной терминологии «идеального числа») было введено в 1847 для одного частного случая числовых полей немецким математиком Э. Куммером. Строгое и полное обоснование теории И. для любых числовых полей дали независимо друг от друга немецкий математик Р. Дедекинд в 1871 и русский математик Е. И. Золотарев в 1877. Новое содержание теория И. получила в середине 20 в. в связи с развитием общей теории колец.

Лит.: Ван-дер-Варден Б. Л., Современная алгебра, пер. с нем., 2 изд., ч. 1—2, М.—Л., 1947.

1. идеа́л;
2. идеа́лы;
3. идеа́ла;
4. идеа́лов;
5. идеа́лу;
6. идеа́лам;
7. идеа́л;
8. идеа́лы;
9. идеа́лом;
10. идеа́лами;
11. идеа́ле;
12. идеа́лах.

ИДЕА́Л, -а, муж.

1. То, что составляет высшую цель деятельности, стремлений. Высокие гуманистические идеалы.

2. чего и чей. Совершенное воплощение чего-н. И. доброты. Этот человек мой и.

3. Наилучший вид, элитный образец чего-н. (спец.). Формы-идеалы (в растениеводстве).

| прил. идеальный, -ая, -ое (к 3 знач.; спец.). И. газ. И. кристалл.

-а, м.

1.

Высшая цель, к которой стремятся люди и которая руководит их

деятельностью.

Возвышенные идеалы.

□

Какие идеалы могут волновать души этих людей? Салтыков-Щедрин, Письма к тетеньке.

Мы знаем, что есть в буржуазном мире прогрессивные силы, которые служат светлым идеалам человечества. Михалков, Наш детский мир.

2. чей.

Совершенное воплощение, лучший образец чего-л.

Каждый народ имеет свой особенный идеал человека. Ушинский, О народности в общественном воспитании.

Вы думали, что встретили во мне ваш идеал. Чехов, После театра.

[франц. idéal]

(иноск.) — предмет мечты, представляемый образцом совершенства и вообще — желательный

Идеалист — наклонный к мечтанию о более или менее несбыточном

Ср. Я останусь до конца верна... чему? — идеалу, что ли? Да, идеалу... тому, от чего в первый раз забилось мое сердце — тому, что я признаю правдою, добром... Лишь бы силы мне не изменили, лишь бы кумир мой не оказался бездушным и немым идолом...

Тургенев. Переписка. 9.

Ср. В слове "карьера" выражался безусловный идеал, к которому жадно, болезненно, неуклонно стремились все вожделения тогдашнего петербуржца.

Маркевич. Из прожитых дней. 8.

Ср. Его любимый идеал

Был Александр Марлинский,

Хотя всему предпочитал

Театр Александринский.

Некрасов. Прекрасная партия. 3.

Ср. Мой идеал теперь — хозяйка;

Мои желания — покой.

А.С. Пушкин. Путешествие Онегина.

Ср. На модном слове идеал

Тихонько Ленский задремал.

А.С. Пушкин. Евг. Онегин. 6, 33.

Ср. Нашел бы прежний идеал,

Я верно б вас одну избрал

В подругу дней моих печальных...

Там же. 4, 13.

Ср. Все эти "идеалисты " ходят вокруг да около настоящей жизни, искусства и литературы.

Боборыкин. На ущербе. 1, 8.

Ср. Mein Ideal, mein Lebenszweck

Ist Borstenvieh und Schweinespeck.

Der Bettelstudent. (Operette.)

См. кумир.

См. идеал.

См. карьера.

ИДЕА́Л, идеала, муж. (от греч. idea - идея) (книжн.). Высшая, трудно достижимая степень совершенства в чем-нибудь, мыслимый предел стремлений, желаний. Идеал красоты. Идеал человека. В идеале не то, что в действительности. «Нельзя себе представить идеала будущего общества без соединения обучения с производительным трудом молодого поколения.» Ленин.

|| Высшая, руководящая всей деятельностью цель, то, к чему человек стремится. Политические идеалы. Жить без идеалов. «Мой идеал теперь - хозяйка да щей горшок.» Пушкин.

|| Лучший, самый совершенный образец. Она была идеалом женщины.

м.

1.

То, что составляет высшую - обычно практически недостижимую - цель деятельности или устремлений.

2.

Совершенное воплощение чего-либо.

ИДЕАЛ (франц. ideal) - образец, нечто совершенное, высшая цель стремлений.

ИДЕАЛ (французское ideal - относящийся к идее), образец, нечто совершенное, высшая цель стремлений.

муж. ideal в идеале ≈ theoretically возвышенные идеалы благородный идеалм. ideal;
~изация ж. idealization;
~изировать несов. и сов. (вн.) idealize (smb., smth.).

m.ideal; linear set

м

Ideal n; Vorbild n(образец)

идеал м Ideal n 1a; Vorbild n 1b (образец)

м.

idéal m

м.

ideal m

приня́ть за идеа́л — tomar de modelo (a)

м.

ideale

идеал красоты — ideale di bellezza

ИДЕАЛ

(от лат. idealis, греч. idea — образ, идея)

— 1) в общеупотребительном смысле:

а) высшая степень ценного или наилучшее, завершенное состояние к.-л. явления,

б) индивидуально принятый стандарт (признаваемый образец) ч.-л., как правило, касающийся личных качеств или способностей;

— 2) в строгом этическом смысле:

а) в теоретическом плане - наиболее общее, универсальное и, как правило, абсолютное нравственное представление (о благом и должном),

б) в нормативном плане - совершенство в отношениях между людьми или — в форме общественного И. — такое устроение общества, которое обеспечивает это совершенство,

в) высший образец нравственной личности.

И. как специальное понятие ценностного, в частности морального, сознания и этического рассуждения формируется в просветительской и романтической мысли. Однако в историко-философском анализе оно может быть реконструировано и в отношении иных, более ранних мыслительных эпох путем вычленения представлений о высшем благе (подлинном блаженстве), конечном предназначении человека или его доминирующих обязанностях.

Различие подходов в теоретическом понимании И. обусловливается решением проблемы соотношения И. и реальности. При натуралистическом подходе к морали и ценностям вообще И. может трактоваться по-разному:

1) как результат обобщения и/или абсолютизации в культуре того, что составляет предмет потребностей человека;

2) как результат обобщения содержания норм и правил или отвлечения этого содержания от конкретных задач действия; соответственно, идеалов столько, сколько норм: в каждом устанавливается общая цель, сообразно которой формулируется предписание относительно того, чего не следует или что следует делать. По такой логике нет морального И. вообще, но есть идеалы добра, справедливости, человечности и т.д. Наряду с этим на практике универсальный И. может индивидуализироваться и принимать персонифицированные формы, трансформируясь в личный И. — в представление индивида о лучшем из всего того, что ему известно, или в индивидуально принятый стандарт ч.-л., как правило, касающийся личных качеств или способностей. От индивидуализации И. отличается конкретизация И. в отдельном образе (к примеру, совершенной или божественной) личности при сохранении его абсолютных характеристик;

3) как имманентные социальной или индивидуальной действительности требование или ценность, раскрывающие перед человеком более обширные перспективы.

При идеалистическом подходе к морали И. рассматривается существующим трансцендентно к реальности и данным человеку непосредственно, через «голос совести» (Платон) или априорно (И. Кант). Концепция И., основанная на радикальном противопоставлении должного и сущего, ценности и факта, получила развитие в неокантианстве (В. Виндельбанд, Г. Риккерт, Р. Лотце), в рус. религиозной философии (B.C. Соловьев, С.Л. Франк, И.О. Лосский).

Как форма нравственного сознания И. является одновременно ценностным представлением, поскольку им утверждается определенное безусловное положительное содержание поступков, и императивным представлением, поскольку то содержание определено в отношении воли человека и вменяется ему в обязательное исполнение. В структуре морального сознания И. занимает ключевое место; им задается содержание добра и зла, должного, правильного и неправильного и т.д. И. — наиболее отвлеченное и общее нравственное представление. Его императивная и ценностная сила несомненна. Проблема заключается в том, какую роль он играет в жизни индивида. В отличие от большинства др. нравственных понятий в И. дан завершенный и абсолютный образ добра — вне его противопоставленности злу (частные принципы и нормы морали непременно отражают противоречивую взаимоопределенность добра и зла). По тому, признается ли существование универсального и абсолютного И. в качестве критерия выбора ценностей и оценки, философы и моралисты делятся на абсолютистов и релятивистов.

Непонимание того, что невозможно инструментализировать абстрактное императивное содержание И. в конкретных поступках или в качестве исключительной индивидуальной нравственной задачи, упование на непосредственное и тем более полное воплощение И. представляет собой своеобразный «идеализм», который может выражаться в пренебрежении или ненависти к реальной жизни, в которой более или менее относительное добро присутствует наравне со злом, и в бегстве от активной жизни, которую не удается втиснуть в рамки «бескомпромиссно» понятого И. Идеализму в этом значении слова противостоит реализм, опасность которого проявляется в педантичной приверженности И. как абсолютному добру, что может выражаться в нигилизме в отношении самой морали: факты безнравственности в конкретных проявлениях жизни истолковываются в том смысле, что в самой нравственности нет правды. В поведенческом плане первая позиция может вести к крайнему ригоризму и тираническому понуждению др. людей к жизни «по И.», пусть и лишенному жизни, вторая — к аморализму, выражающемуся, в частности, в игнорировании нравственных требований, попрании практических норм морали. Между тем воплощение высокого императивно-ценностного содержания нравственного И. в конкретных поступках предполагает осуществление ряда менее общих принципов и исполнение частных требований.

ИДЕАЛ (греч. idea - образец, норма) - идеальный образ, имеющий нормативный характер и определяющий способ и характер поведения, деятельности человека или социальной группы. В мировоззрении людей регулирующая функция И. в отношении поведения раскрывается в форме нравственного, правового кодекса правил, законов, примеров; в отношении деятельности - в форме выбора цели. Наличие И. в мировоззрении связано с особым состоянием эта-лонности сознания, предполагающим не только принятие идеи или чьего-то поведения, деятельности, творчества в качестве образца, а наличие убеждений, абсолютной веры в правоту избранных идей. Многообразие форм активности человека, жизнедеятельности создает ситуацию, когда у одного и того же индивида может быть несколько И., отражающих основной круг его интересов, активности (общественный, эстетический, нравственный, научный, религиозный и др.). Общественный связан с выбором мотива, оправдывающего напряжение сил и энергии многих людей ради достижения определенных социальных и политических целей. Так в европейской традиции, начиная с Платона сосуществует устойчивое представление об идеальном государстве. С организующей функцией И. для достижения коммунизма как определенным образом структурированного и трансформированного общества связывал надежды марксизм. Не меньшую роль в истории играл И. единого национального государства (в странах Западной Европы 18-19 вв.; Восточной - 20 в.). В ряде стран мира используется И. исламского государства. С точки зрения внутренней организации государства в мире конкурируют два основных И. - демократии и сильной власти. Эстетический И. отражает стремление человека к прекрасному, связанные с ним представления о путях творческого раскрытия в искусстве предмета наблюдения (внешняя природа, человек в его данности через внешние атрибуты (тело) и внутренний мир). Нравственный И. задает модель поведения в большинстве жизненных ситуаций и включает аспект сравнения (добро и зло). В мировой культуре неоднократно предпринимались попытки специально разработать нравственный И. - от первых кодексов возникшей в античности концептуальной этики до «морального кодекса строителя коммунизма». Однако не все они подкреплялись практикой, не всегда получали общественное признание. Религиозный И. непосредственно связан с нравственным, поскольку задает определенное видение человека, его действий. Научный И. представлен определенной совокупностью исторически варьируемых принципов, выступающих в качестве оснований научного поиска (этикет научной деятельности). Личный И. своим наличием в культуре фиксирует ценность индивидуального бытия, а также задает путь его раскрытия через самовоспитание, соучастие других людей в судьбе Я (воспитание). Он имеет самые разные ориентации - от общественно-значимых до личностно-интимных. Проблема соотношения индивидуального и коллективного (формально признаваемого официальным в данном обществе) И. достаточно сложна и актуальна для многих культур - например, такие явления, как нежелание участвовать в выборе коллективного И. (аполитичность, асоциальность, бездуховность). Феномен И. стал предметом осмысления в философии достаточно поздно. Впервые в теорию это понятие ввел Кант. По Канту, И. не может быть сформирован вне целепо-лагания, он возможен лишь применительно к явлениям, которые могут быть конституированы в качестве цели. Поскольку достижение цели лишает И. статуса существования, постольку он, по мнению Канта, реализует себя как «идея» исключительно регулятивного порядка. Единственной сферой, где воплощение И. является возможным, выступает, согласно Канту, искусство, где И. обретает онтологический статус прекрасного. Гегель определяет И. как наглядно созерцаемый образ цели, а достижение последней - как подчинение «эмпирической действительности» Абсолютному Духу.

ИДЕА́Л -а; м. [франц. idéal]

1. Высшая цель, к которой стремятся люди; то, что составляет высший смысл их деятельности, духовных устремлений. Жизненный и. Возвышенные, гуманистические идеалы. Либеральный идеал организации общества.

2. чего или с опр. Тот, кто является совершенным воплощением чего-л. Вы мой и. Она - воплощённый и. женщины. И. доброты, красоты. // То, что является лучшим образцом чего-л. Эта яхта - идеал парусного судна.

◁ Идеа́льный (см.).

* * *

(франц. idéal), образец, нечто совершенное, высшее, как правило, практически недостижимая цель стремлений.

* * *

ИДЕА́Л (франц. ideal), образец, нечто совершенное, высшая цель стремлений.

(от фр.ideal) — образец, прообраз, понятие совершенства, высшая, как правило, недостижимая цель стремлений.

Идеал

см. Совершенство

• Мы не верим в идеальных людей и каждый день в толпе высматриваем свой идеал.

• Ваше политическое кредо? Всегда! (И. Ильф и Е. Петров)

см. церемонии

- специального рода подобъект в иек-рой алгебраич. структуре. Понятие И. возникло первоначально в теории колец. Название И. ведет свое происхождение от идеальных чисел.

Для алгебры, кольца или полугруппы Аидеал I есть подалгебра, подкольцо или полугруппа, замкнутая относительно умножения на элементы из А. При этом И. I наз. левым (соответственно правым), если он замкнут относительно умножения слева (соответственно справа) на элементы из А, т. е.

АI =I (соответственно IА = I), где

И., являющийся одновременно левым и правым (т. е. выдерживающий любые умножения на элементы из А), наз. двусторонним. В коммутативном случае все эти три понятия совпадают. Любому утверждению о левых И. отвечает двойственное утверждение о правых И. (далее формулировки будут приводиться только в "левом случае").

Двусторонние И. в кольцах и алгебрах играют ту же роль, что и нормальные делители в группах. Для всякого гомоморфизма f: ядром Кеr f (т. е. множеством элементов, отображающихся f в 0) служит И., и обратно, всякий И.- ядро нек-рого гомоморфизма. Более того, И. I однозначно определяет конгруэнцию x в А, нулевым классом к-рой он является, и, следовательно, однозначно (с точностью до изоморфизма) определяет образ Af гомоморфизма f, ядром к-рого он служит: Af изоморфно факторкольцу (факторалгебре) А/x, обозначаемому также А/I. Аналогичными свойствами относительно гомоморфизмов обладают И. мультиоператорных групп. В мультиоператорной Q-группе АИ. определяется как нормальный делитель ее аддитивной группы, удовлетворяющий условию: для всякой n-арной операции со, любых элементов и при всяком i=1, 2,..., и должно иметь место включение-(а ₁, а ₂... а _nw)+а ₁... а _i-1(b+а _i) а _i+1 ... а _nwI (для колец и алгебр это понятие индуцирует понятие двустороннего И.).

Двусторонние И. полугрупп, напротив, не дают описания всех гомоморфных образов данной полугруппы. Если задан гомоморфизм f полугруппы Ана полугруппу В, то только в случае, когда В- полугруппа с нулем, с гомоморфизмом f естественно связан двусторонний И. f^-1(0), к-рый, однако, не обязан определять однозначно f. Тем не менее, если I - И. в A, то среди факторполугрупп полугруппы А, имеющих в качестве элемента класс I, существует максимальная фактор-полугруппа А/I (наз. идеальным факторо м). Элементами этой полугруппы будут элементы множества и сам И. I, к-рый будет нулем в А/I.

Для любого подмножества можно определить идеал I_X, порожденный X, как пересечение всех И., содержащих множество X. Множество Xназ. базисом идеала I_X. Разные базисы могут порождать один и тот же И. Идеал, порожденный одним элементом, наз. главным.

Пересечение, а в случае полугрупп и объединение левых (двусторонних) И. снова будет левым (двусторонним) И. Для колец и алгебр теоретико-множественное объединение И. не обязано быть И. Пусть I₁, I₂- левые или двусторонние И. в кольце (алгебре) А. Суммой идеалов I₁ и I₂ наз. И. он является минимальным И . в А, содержащим I₁ и I₂. Относительно операций пересечения и взятия суммы все (левые или двусторонние) И. кольца (или алгебры) образуют решетку. Многие классы колец и алгебр определяются условиями на их И. или решетку И. (см. Главных идеалов кольцо, Артиново кольцо, Нестерове кольцо).

И. мультипликативной полугруппы кольца может и не быть И. кольца. Полугруппа Аявляется группой тогда и только тогда, когда Ане содержит (как левых, так и правых) И., отличных от самой А. Таким образом, обилие И. в полугруппе характеризует отчасти степень отличия данной полугруппы от группы.

Для k -алгебры А(алгебры над полем к)И. кольца Аможет, вообще говоря, не быть И. алгебры А. Напр., если Аесть k-алгебра с нулевым умножением, то множество всех И. кольца Асовпадает с множеством всех подгрупп аддитивной группы А, а множество всех И. алгебры Асовпадает с множеством всех подпространств векторного k-пространства А. Однако в случае, когда А- алгебра с единицей, оба эти понятия И. совпадают. Поэтому многие результаты одинаково формулируются как для колец, так и для алгебр.

Кольцо, не имеющее двусторонних И., наз. просты м. Кольцо без собственных односторонних И. является телом. Левые И. кольца Аможно определить также, как подмодули левого А-модуля А. Нек-рые свойства колец не меняются при замене левых И. на правые. Напр., Джекобсона радикал, определенный с помощью левых И., совпадает с радикалом Джекобсона, определенным с помощью правых И. С другой стороны, нётерово слева кольцо может не быть нётеровым справа.

Изучение И. коммутативных колец - важная часть коммутативной алгебры. С любым коммутативным кольцом с единицей связано топологич. пространство Spec A, точками к-рого являются все простые И. кольца А, отличные от А. При этом существует взаимно однозначное соответствие между всеми И. кольца Аи всеми замкнутыми подмножествами пространства Spec A. В коммутативной алгебре встречается понятие И. поля, точнее И. поля относительно кольца. При этом кольцо Акоммутативно, с единицей и без делителей нуля, а поле Q- поле частных кольца А. Идеалом поля Qназ. ненулевое подмножество являющееся подгруппой аддитивной группы поля Q, выдерживающее умножения на элементы из А(т. е. для любых и такое, что существует элемент для к-рого И. наз. целым, если он содержится в А (и тогда он служит обычным И. кольца А), в противном случае I наз. дробным идеалом.

Идеалом решетки наз. непустое подмножество Iэлементов решетки, удовлетворяющее условиям: 1) если то 2) если то Дуальный идеал (или фильтр) решетки определяется двойственным образом ( а,, И. решетки, упорядоченные включением, сами образуют решетку. Максимальный элемент в множестве всех собственных И. решетки наз. максимальным идеалом. Если f - гомоморфизм решетки в частично упорядоченное множество с нулем, то полный прообраз нуля является И. Он наз. ядерным идеалом гомоморфизма f. И. Sрешетки Lназ. стандартным, если для любых неравенство a<b+s влечет a=x+t, где и Всякий стандартный И. является ядерным.

Ядерный И. решетки с относительными дополнениями (см. Решетка с дополнениями )является стандартным. И. I наз. простым, если из следует, что или Каждое из следующих условий эквивалентно простоте для И. Iрешетки L:. а) дополнение является фильтром; б) I - полный прообраз нуля при нек-ром гомоморфизме решетки Lна двухэлементную решетку. В дистрибутивной решетке каждый максимальный И. прост.

Не вполне согласовано с предыдущим определение И. в частично упорядоченном множестве. А именно, вместо условия 1) требуется выполнение более сильного условия: для всякого подмножества элементов, лежащих в И., их объединение, если оно существует в этом частично упорядоченном множестве, также лежит в I..

Идеалом объекта Акатегории с нулевыми морфизмами наз. подобъект(U,m) объекта Атакой, что m=кеra для нек-рого морфизма Этот И. можно отождествить с совокупностью всех мономорфизмов, являющихся ядрами нек-рого морфизма (см. также Нормальный мономорфизм). Двойственным образом определяется коидеал объекта категории. Понятие И. для W-групп является частным случаем понятия И. объекта категории.

Левым идеалом категории наз. класс морфизмов, содержащий вместе со всяким своим морфизмом j все произведения aj, где если они определены в категории М. Двойственным образом определяется правый идеал категории. Двусторонний идеал - класс морфизмов, являющийся как левым, так и правым И.

Лит.:[1] Борович З. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972; [2] Бурбаки Н., Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971; [3] Ван-дер-Варден Б. Л., Алгебра, пер. с нем., М., 1976; [4] Клиффорд А., Престон Г., Алгебраическая теория полугрупп, пер. с англ., т. 1-2, М., 1972; [5] Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд., М., 1973; [6] Ляпин Е. С, Полугруппы, М., 1960; [7] Скорняков Л. А., Элементы теории структур, М., 1970; [8] Цаленко М. Ш., Шульгейфер Е. Г., Основы теории категорий, М., 1974.

Л. В. Кузьмин, Т. С. Фофанова, М. III. Цаленко.

Т-ИДЕАЛ свободной ассоциативной алгебры - вполне характерпстнч. идеал этой алгебры, т. е. идеал, инвариантный относительно всех эндоморфизмов. Совокупность полиномиальных тождеств произвольной ассоциативной алгебры над полем Fобразует Т-И. в счетно порожденной свободной алгебре F[X], Х= {х ₁,..., x_k,...}. Поэтбму существует взаимно однозначное соответствие между Т-И. алгебры F [X]и многообразиями ассоциативных алгебр над полем F. Если поле Fимеет характеристику 0, то для любого Т-И. существует такое натуральное число.. п=п( Т), что элементами Тявляются нек-рые степени элементов М _n(F). и только они, где М _n(F)- идеал тождеств алгебры квадратных матриц F _п порядка пнад F. В этом случае Т-И. можно определить также как (односторонний) идеал, замкнутый относительно всех дифференцирований свободной алгебры. Фактор-алгебра F[Х]/Т является PI -алгеброй, совокупность полиномиальных тождеств к-рой совпадает с Т. Она наз. относительно свободной алгеброй Т-И. тождеств Т(и является свободной алгеброй многообразия алгебр, определяемого тождествами из Т). Алгебра F[Х]/Т не имеет делителей нуля тогда и только тогда, когда T=M_n(F)для некоторого натурального числа п. Всякий Т-И. Тсвободной ассоциативной алгебры является примерным идеалом.