«Динамика»

греч. слово (δύναμις — сила), введено Лейбницем и служит наименованием учения о движении тел под влиянием сил. См. Механика теоретическая и Кинетика.

I

Дина́мика (от греч. dynamikós — сильный, от dýnamis — сила)

раздел механики (См. Механика), посвящённый изучению движения материальных тел под действием приложенных к ним сил. В основе Д. лежат три закона И. Ньютона (см. Ньютона законы механики), из которых как следствия получаются все уравнения и теоремы, необходимые для решения задач Д.

Согласно первому закону (закону инерции) материальная точка, на которую не действуют силы, находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения; изменить это состояние может только действие силы. Второй закон, являющийся основным законом Д., устанавливает, что при действии силы F материальная точка (или поступательно движущееся тело) с массой m получает ускорение w, определяемое равенством

mw = F. (1)

Третьим законом является закон о равенстве действия и противодействия (см. Действия и противодействия закон). Когда к телу приложено несколько сил, F в уравнении (1) означает их равнодействующую. Этот результат следует из закона независимости действия сил, согласно которому при действии на тело нескольких сил каждая из них сообщает телу такое же ускорение, какое она сообщила бы, если бы действовала одна.

В Д. рассматриваются два типа задач, решения которых для материальной точки (или поступательно движущегося тела) находятся с помощью уравнения (1). Задачи первого типа состоят в том, чтобы, зная движение тела, определить действующие на него силы. Классическим примером решения такой задачи является открытие Ньютоном закона всемирного тяготения: зная установленные И. Кеплером на основании обработки результатов наблюдений законы движения планет (см. Кеплера законы), Ньютон показал, что это движение происходит под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния между планетой и Солнцем. В технике такие задачи возникают при определении сил, с которыми движущиеся тела действуют на связи, т. е. др. тела, ограничивающие их движение (см. Связи механические), например при определении сил давления колёс на рельсы, а также при нахождении внутренних усилий в различных деталях машин и механизмов, когда законы движения этих машин (механизмов) известны.

Задачи второго типа, являющиеся в Д. основными, состоят в том, чтобы, зная действующие на тело силы, определить закон его движения. При решении этих задач необходимо ещё знать так называемые начальные условия, т. е. положение и скорость тела в момент начала его движения под действием заданных сил. Примеры таких задач: зная величину и направление скорости снаряда в момент его вылета из канала ствола (начальная скорость) и действующие на снаряд при его движении силу тяжести и силу сопротивления воздуха, найти закон движения снаряда, в частности его траекторию, горизонтальную дальность полёта, время движения до цели и др.; зная скорость автомобиля в момент начала торможения и силу торможения, найти время движения и путь до остановки; зная силу упругости рессор и вес кузова вагона, определить закон его колебаний, в частности частоту этих колебаний, и многие др.

Задачи Д. для твёрдого тела (при его непоступательном движении) и различных механических систем решаются с помощью уравнений, которые также получаются как следствия второго закона Д., применяемого к отдельным частицам системы или тела; при этом ещё учитывается равенство сил взаимодействия между этими частицами (третий закон Д.). В частности, таким путём для твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z, получается уравнение:

l_zε = M_z,

где I_z — Момент инерции тела относительно оси вращения, ε — угловое ускорение тела, M_z — Вращающий момент, равный сумме моментов действующих сил относительно оси вращения. Это уравнение позволяет, зная закон вращения, т. е. зависимость ε от времени, найти вращающий момент (задача первого типа) или, зная вращающий момент и начальные условия, т. е. начальное положение тела и начальную угловую скорость, найти закон вращения (задача второго типа).

При изучении движения механических систем часто применяют так называемые общие теоремы Д., которые также могут быть получены как следствия 2-го и 3-го законов Д. К ним относятся теоремы о движении центра масс (или центра инерции) и об изменении количества движения (См. Количество движения), момента количества движения (См. Момент количества движения) и кинетической энергии системы. Иной путь решения задач Д. связан с использованием вместо 2-го закона Д. др. принципов механики (см. Д' Аламбера принцип (См. Д'Аламбера принцип), Д' Аламбера — Лагранжа принцип (См. Д'Аламбера - Лагранжа принцип), Вариационные принципы механики) и получаемых с их помощью уравнений движения, в частности Лагранжа уравнений (См. Лагранжа уравнения) механики.

Уравнение (1) и все следствия из него справедливы только при изучении движения по отношению к так называемой инерциальной системе отсчёта (См. Инерциальная система отсчёта), которой для движений внутри солнечной системы с высокой степенью точности является звёздная система (система отсчёта с началом в центре Солнца и осями, направленными на удалённые звёзды), а при решении большинства инженерных задач — система отсчёта, связанная с Землёй. При изучении движения по отношению к неинерциальным системам отсчёта, т. е. системам, связанным с ускоренно движущимися или вращающимися телами, уравнение движения можно также составлять в виде (1), если только к силе F прибавить так называемую переносную и Кориолиса силы (См. Кориолиса сила) инерции (см. Относительное движение). Такие задачи возникают при изучении влияния вращения Земли на движение тел по отношению к земной поверхности, а также при изучении движения различных приборов и устройств, установленных на движущихся объектах (судах, самолётах, ракетах и др.).

Помимо общих методов изучения движения тел под действием сил, в Д. рассматриваются специальные задачи: теория Гироскопа, теория механических колебаний (См. Колебания), теория устойчивости движения (См. Устойчивость движения), теория Удара, механика тела переменной массы (См. Механика тел переменной массы) и др. С помощью законов Д. изучается также движение сплошной среды, т. е. упруго и пластически деформируемых тел, жидкостей и газов (см. Упругости теория, Пластичности теория, Гидроаэромеханика, Газовая динамика). Наконец, в результате применения методов Д. к изучению движения конкретных объектов возник ряд специальных дисциплин: Небесная механика, внешняя Баллистика, динамика паровоза, автомобиля, самолёта, Динамика ракет и т.п.

Методы Д., базирующейся на законах Ньютона и называются классической Д., описывают движения самых различных объектов (от молекул до небесных тел), происходящие со скоростями от долей мм/сек до десятков км/сек (скорости ракет и небесных тел), и имеют огромное значение для современного естествознания и техники. Однако эти методы перестают быть справедливыми для движения объектов очень малых размеров (элементарные частицы) и при движениях со скоростями, близкими к скорости света; такие движения подчиняются др. законам (см. Квантовая механика, Относительности теория).

Лит. см. при ст. Механика.

С. М. Тарг.

II

Дина́мика

в музыке, совокупность явлений, связанных с применением различных степеней силы звучания, громкости. Основные градации силы звучания: piano (в нотах сокращённо р) — тихо, слабо и forte (f) — громко, сильно. Производные от piano в сторону ослабления: pianissimo (рр) — очень тихо, piano-pianissimo (ppp) — чрезвычайно тихо и т.д. (до ррррр); от forte в сторону усиления: fortissimo (ff) — очень громко, forte-fortissimo (fff) — чрезвычайно громко и т.д. (до fffff). Применяются также обозначения mezzo piano (mp) — умеренно тихо и mezzo forte (mf) — умеренно громко. Все эти обозначения относятся к более или менее протяжённым музыкальным отрывкам, в которых выдерживается в общем единая и неизменная степень громкости звучания. Внутри таких отрывков нередко выделяются по громкости отдельные звуки, что обозначается терминами forzato, sforzato и др. (см. Акцент). В музыке широко используется и постепенное усиление или ослабление звучания. Усиление звучания обозначается термином crescendo (cresc, знак

Градации динамики и их обозначения имеют в музыке лишь относительное значение; абсолютная величина громкости зависит от многих факторов, в том числе от типа инструмента, при ансамблевом исполнении — от количества партий и числа исполнителей на каждую партию, а также от акустических свойств помещения. Так, по абсолютному значению piano на трубе гораздо громче, чем forte вокалиста, громкость звучания piano у целого хора значительно выше, чем у отдельного его участника, и т.п. Абсолютные величины громкости измеряются в акустике и выражаются в фонах (см. Громкость звука).

1. дина́мика;
2. дина́мики;
3. дина́мики;
4. дина́мик;
5. дина́мике;
6. дина́микам;
7. дина́мику;
8. дина́мики;
9. дина́микой;
10. дина́микою;
11. дина́миками;
12. дина́мике;
13. дина́миках.

жен., греч. наука о движении тел, о силах двигающих. Механика делится на статику и динамику. Динамический, относящийся к динамике; основанный не на отвлеченном понятии о теле, о веществе, а на деятельных силах тела. Динамическое учение, в физике противоположно атоми(сти)ческому, отвергая образование тел из неделимых атомов и объясняя образование их взаимным противодействием и равновесием сил. Динамик, динамист муж. последователь динамической школы. Динамометр муж. снаряд для из мерения силы, силомер.

ДИНА́МИКА, -и, жен.

1. Раздел механики, изучающий движение тел под действием приложенных к ним сил.

2. Ход развития, изменения какого-н. явления (книжн.). Д. общественного развития.

3. Движение, действие, развитие. В пьесе много динамики.

| прил. динамический, -ая, -ое (ко 2 знач.).

-и, ж.

1.

Раздел механики, изучающий законы движения тел в зависимости от действующих на них сил.

2.

Состояние движения, ход развития, изменения чего-л.

Динамика государственного бюджета. Динамика производительности труда. Динамика исторических событий.

|| перен.

Движение, действие, развитие.

Отсутствие динамики в романе.

□

[В Левине] есть частица того «страшного внутреннего огня», которым горит музыкант Альберт, в нем есть искание , есть живая динамика. Вересаев, «Да здравствует весь мир!»

3. муз. Сила звучания.

[От греч. δυναμικός — действующий]

ДИНА́МИКА, динамики, мн. нет, жен. (от греч. dynamikos - действующий).

1. Отдел механики, изучающий законы движения тел в зависимости от действующих на них сил (мех.).

2. Ход развития, изменения какого-нибудь явления под влиянием действующих на него сил; ант. статика во 2 знач. (научн.). Динамика социального процесса.

3. перен. Обилие движения, действия (книжн.). В пьесе много динамики.

I

ж.

Раздел механики, изучающий движение тел под воздействием приложенных к ним сил.

II

ж.

1.

Движение, действие, развитие.

2.

Состояние движения, ход развития какого-либо явления или процесса.

ДИНАМИКА - в музыке - различной степени силы звучания, громкости и их изменения. Обозначаются итальянскими терминами: пиано (piano, сокр. p) - тихо; форте (forte, сокр. f) - громко; крещендо (crescendo) - постепенно усиливая; диминуэндо (diminuendo) - постепенно затихая и др.

ДИНАМИКА (от греч. dynamis - сила) - раздел механики, в котором изучается движение тел под действием приложенных к ним сил. Основа динамики - Ньютона законы механики.

ДИНАМИКА (от греческого dynamis - сила), раздел механики. Изучает движение тел под действием приложенных к ним сил. Основа динамики - Ньютона законы механики, сформулированные в конце 17 в.

жен.
1) (наука) dynamics
2) (ход развития чего-л.) the dynamics мн. динамика общественного развития ≈ the moving forces and trends of social development
3) (движение, действие) movement, action в пьесе мало динамики ≈ there is little action in the playж.
1. (наука) dynamics sg.;

2. (состояние движения, ход развития чего-л.) the dynamics pl.;
~ внешнеторговых цен dynamics of foreign trade prices;

3. (движение, действие) movement, action.

dynamics

f.dynamics

ж

Dynamik f

динамика ж Dynamik f

ж.

1)физ. dynamique f

2)перен. dynamisme m, dynamique f

динамика (общественного) развития — dynamisme(или dynamique) du développement social

ж.

1)физ. dinámica f

2)перен. dinamismo m

ж.

1)физ. dinamica

2)(ход развития) dinamica

3)(движение) dinamismo m, movimento m

ДИНАМИКА

(от греч. dynamis — сила), раздел механики, посвящённый изучению движения матер. тел под действием приложенных к ним сил. В основе Д. лежат Ньютона законы механики, из к-рых получаются все ур-ния и теоремы, необходимые для решения задач Д.

Согласно первому закону (закону инерции), матер. точка, на к-рую не действуют силы, находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения по отношению к инерциальной системе отсчёта; изменить это состояние может только действие силы. Второй закон, являющийся осн. законом Д., устанавливает, что при действии силы матер. точка (или поступательно движущееся тело) с массой т получает ускорение w, определяемое равенством

mw=F. (1)

Третьим законом явл. закон о равенстве действия и противодействия. Когда к телу приложено неск. сил, F в ур-нии (1) означает их равнодействующую. Этот результат следует из закона независимости действия сил, согласно к-рому при действии на тело неск. сил каждая из них сообщает телу такое же ускорение, какое она сообщила бы, если бы действовала одна.

В Д. рассматриваются два типа задач, решения к-рых для матер. точки (или поступательно движущегося тела) находятся с помощью ур-ния (1). Задачи первого типа состоят в том, чтобы, зная движение тела, определить действующие на него силы. Классич. примером решения такой задачи явл. открытие Ньютоном закона всемирного тяготения: зная установленные И. Кеплером на основании обработки результатов наблюдений законы движения планет (см. КЕПЛЕРА ЗАКОНЫ), Ньютон показал, что это движение происходит под действием силы, обратно пропорц. квадрату расстояния между планетой и Солнцем. В технике такие задачи возникают при определении сил, с к-рыми движущиеся тела действуют на связи, т. е. другие тела, ограничивающие их движение (см. СВЯЗИ МЕХАНИЧЕСКИЕ), напр. при определении сил давления колёс на рельсы, а также при нахождении внутр. усилий в разл. деталях машин и механизмов, когда законы движения этих машин (механизмов) известны.

Задачи второго типа явл. в Д. основными и состоят в том, чтобы по действующим на тело силам определить закон его движения. Для решения этих задач необходимо знать т. н. нач. условия, т. е. положение и скорость тела в момент начала его движения под действием заданных сил. Примеры таких задач: по величине и направлению скорости снаряда в момент его вылета из канала ствола (нач. скорость) и действующим на снаряд при его движении силе тяжести и силе сопротивления воздуха найти закон движения снаряда, в частности его траекторию, горизонтальную дальность полёта, время движения до цели; по известным скорости автомобиля в момент начала торможения и силе торможения найти время движения и путь до остановки; по силе упругости рессор и весу кузова вагона определить закон его колебаний.

Задачи Д. для тв. тела (при его непоступат. движении) и разл. механич. систем решаются с помощью ур-ний, к-рые получаются как следствия второго закона Д., применяемого к отд. ч-цам системы или тела; при этом ещё учитывается равенство сил вз-ствия между этими ч-цами (третий закон Д.). В частности, таким путём для тв. тела, вращающегося вокруг неподвижной оси г, получается ур-ние:

Ize=Mz, (2)

где Iz — момент инерции тела относительно оси вращения, e — угл. ускорение тела, Mz — вращающий момент, равный сумме моментов действующих сил относительно оси вращения. Если известен закон вращения, то ур-ние (2) позволяет найти вращающий момент (задача первого типа); если же известны вращающий момент и нач. условия, т. е. нач. положение тела и нач. угл. скорость, то из ур-ния (2) можно найти закон вращения (задача второго типа).

При изучении движения механич. систем часто применяют т. н. общие теоремы Д., к-рые также могут быть получены как следствия второго и третьего законов Д. К ним относятся теоремы о движении центра масс (или центра инерции) и об изменении количества движения, момента количеств движения и кинетич. энергии системы. Иной путь решения задач Д. связан с использованием вместо второго закона Д. принципов механики (см. Д'АЛАМБЕРА ПРИНЦИП, Д'АЛАМБЕРА — ЛАГРАНЖА ПРИНЦИП, ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ) и получаемых с их помощью ур-ний движения, в частности Лагранжа уравнений механики.

Ур-ние (1) и все следствия из него справедливы только при изучении движения по отношению к т. н. инерц. системе отсчёта, к-рой для движения внутри Солн. системы с высокой степенью точности явл. звёздная система (система отсчёта с началом в центре Солнца и осями, направленными на удалённые звёзды), а при решении большинства инженерных задач — система отсчёта, связанная с Землёй. При изучении движения по отношению к неинерц. системам отсчёта, т. е. системам, связанным с ускоренно движущимися или вращающимися телами, ур-ние движения можно также составлять в виде (1), если к силе F прибавить т. н. переносную и Кориолиса силы инерции (см. СПЕКТРОСКОПИЯ) (см. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ). Такие задачи возникают при изучении влияния вращения Земли на движение тел по отношению к земной поверхности, а также при изучении движения разл. приборов и устройств, установленных на движущихся объектах (судах, самолётах, ракетах и др.).

Помимо общих методов изучения движения тел под действием сил, в Д. рассматриваются спец. задачи: теория гироскопа, теория механич. колебаний, теория устойчивости движения, теория удара, механика тел переменной массы и др. С помощью законов Д. изучается также движение сплошной среды, в частности упруго и пластически деформируемых тв. тел, жидкостей и газов (см. ПЛАСТИЧНОСТИ ТЕОРИЯ, УПРУГОСТИ ТЕОРИЯ, ГИДРОАЭРОМЕХАНИКА, ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА, СПЕКТРОСКОПИЯ). Наконец, в результате применения методов Д. к изучению движения конкретных объектов возник ряд спец. дисциплин: небесная механика, внеш. баллистика, Д. автомобиля, самолёта, динамика ракет и т. п.

ДИНАМИКА, отрасль МЕХАНИКИ, которая изучает движение предметов. Основными разделами ее являются кинематика, изучающая движение безотносительно к его причинам, и КИНЕТИКА, принимающая в расчет силы, вызывающие движение. см. также ИНЕРЦИЯ,МОМЕНТ,ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ.

力度

часть кинетики - раздела теоретической механики, в котором рассматриваются тела в условиях воздействия на них заданных сил. Кинетика подразделяется на статику и динамику. В статике рассматриваются тела в равновесии, т.е. в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. В динамике же рассматриваются тела, скорость движения которых под действием сил изменяется либо по величине, либо по направлению (неравномерное или непрямолинейное движение).

СТАТИКА И РАВНОВЕСИЕ

Равновесие. Тело, находящееся в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, находится в равновесии. Равнодействующая всех сил, действующих на такое тело, равна нулю. Если на тело, находящееся в равновесии, действуют только две силы, то они должны быть равны по величине и противоположны по направлению, так как только в этом случае их равнодействующая равна нулю. На рис. 1 показаны два примера тела, находящегося в равновесии в условиях, когда на него действуют две силы: лампа, стоящая на столе, и лампа, висящая на потолке. На настольную лампу действуют направленная вниз сила тяжести W, т.е. ее вес, и направленная вверх сила сопротивления стола F. Поскольку лампа находится в состоянии покоя, сила F должна быть равна по величине и противоположна по направлению силе W. Точно так же в случае висящей лампы тянущая вниз сила W должна быть равна по величине и противоположна по направлению тянущей вверх силе F натяжения шнура, на котором она подвешена.

Рис. 1. РАВНОВЕСИЕ - состояние тела, в котором сумма всех сил, действующих на него, равна нулю. Тянущий вниз вес W как подвесной потолочной, так и настольной лампы уравновешивается направленной вверх силой F.

Разложение сил. Когда число сил, действующих на тело, находящееся в равновесии, больше двух, анализ несколько усложняется. Например, если лампа подвешена между двумя столбами на разных расстояниях от них (рис. 2,а), то на нее действуют три силы - силы натяжения двух шнуров и вес лампы. Сила натяжения одного шнура F1 направлена вверх и влево, а другого, F2, - вверх и вправо, тогда как сила тяжести W тянет лампу вниз. Поскольку лампа находится в равновесии, равнодействующая всех сил, приложенных к ней, должна быть равна нулю. Следовательно, сумма вертикальных (направленных вверх) составляющих сил натяжения двух шнуров должна быть равна по величине (и противоположна по направлению) силе веса, а горизонтальные составляющие двух сил натяжения должны быть одинаковы по величине (и противоположно направлены). Это можно показать, разложив обе силы на составляющие по правилу параллелограмма сил. Согласно этому фундаментальному правилу физики, всякую силу можно разложить на горизонтальную и вертикальную составляющие, построив прямоугольник, для которого эта сила была бы диагональю (рис. 2,б). Горизонтальная и вертикальная стороны прямоугольника дадут горизонтальную и вертикальную составляющие силы соответственно. (И наоборот, если две силы приложены в одной точке, то, построив параллелограмм, двумя смежными сторонами которого являются эти две силы, можно найти их равнодействующую как диагональ параллелограмма.) Поскольку вертикальные составляющие обеих сил натяжения шнуров направлены вверх по одной линии, они складываются арифметически. Эта равнодействующая R двух вертикальных составляющих равна по величине и противоположна по направлению силе W (рис. 2,в). Горизонтальные составляющие сил, с которыми действуют на лампу два шнура, изображены как равные и противоположно направленные силы F1x и F2x.

Рис. 2. РАЗЛОЖЕНИЕ СИЛ по правилу параллелограмма сил. a - лампа, подвешенная на шнурах на двух столбах; б - наклонные силы F1 и F2, действующие на лампу, разлагаются на горизонтальные и вертикальные составляющие построением на этих силах прямоугольников как на диагоналях; в - сумма вертикальных составляющих, их равнодействующая R, уравновешивает вес W, а горизонтальные составляющие F1x и F2x уравновешивают друг друга, так что лампа находится в равновесии.

Равновесие на наклонной плоскости. Если на наклонную плоскость положить брусок, то в отсутствие трения он соскользнет по ней вниз. Анализ действующих сил позволяет объяснить отсутствие равновесия в рассматриваемом случае. На брусок (рис. 3) действует только одна сила - его вес W. Ее можно разложить на две составляющие P и Q, одна из которых параллельна, а другая - перпендикулярна наклонной плоскости. Составляющая P, перпендикулярная наклонной плоскости, никак не влияет на движение по этой плоскости и уравновешивается направленной вверх по нормали силой реакции N. В то же время сила Q ничем не уравновешена и тянет брусок по наклонной плоскости вниз. Величина силы Q определяется, очевидно, двумя факторами - величиной силы W и крутизной наклона плоскости. Чем больше каждый из них, тем больше сила Q. Если бы плоскость не была наклонной, то сила P равнялась бы весу W, а силы Q не было бы вовсе. Если бы плоскость была вертикальной, то сила Q равнялась бы весу W и брусок свободно упал бы вниз. Чтобы брусок на наклонной плоскости был в равновесии, к нему должна быть приложена действующая вправо и вверх сила, равная по величине, но противоположная по направлению силе Q. Если наклонная плоскость не идеальна, т.е. существует трение, то на стремящийся соскользнуть вниз брусок действует сила трения, направленная в сторону, противоположную его движению. Таким образом, если сила трения равна силе Q, последняя уравновешивается и брусок остается неподвижно лежать на наклонной плоскости, а если сила трения меньше Q, то брусок будет скользить вниз, но медленнее, чем это было бы в отсутствие трения.

Рис. 3. РАВНОВЕСИЕ на наклонной плоскости. Перпендикулярная наклонной плоскости составляющая P веса бруска W уравновешивается нормальной реакцией N, а параллельная Q - силой трения между бруском и наклонной плоскостью.

Равновесие и вращение. Во всех рассмотренных примерах равновесия действующие силы не только были равны по величине и противоположны по направлению, но и лежали на одной прямой или проходили через одну точку. Если же на твердое тело действуют силы, которые нельзя свести к одной, то они заставляют тело вращаться. (Две параллельные силы, равные по величине и противоположно направленные, называются парой сил.) Для того чтобы тело в таких условиях было в равновесии, т.е. не вращалось, пара сил должна быть уравновешена двумя такими же силами, вращающими тело в другую сторону.

Момент силы. Если твердое тело закреплено в одной точке на шарнире и на него действует лишь одна сила, заставляющая его вращаться вокруг этой точки, то говорят, что тело вращается под действием момента силы. Момент силы равен произведению силы на ее плечо, т.е. на расстояние по перпендикуляру от точки закрепления до линии действия силы (рис. 4,а). Если на твердое тело действуют несколько сил, то тело не будет вращаться только при условии, что сумма моментов всех сил равна нулю (рис. 4,б).

См. также СТАТИКА.

Рис. 4. МОМЕНТ СИЛЫ равен произведению силы F (рис. 4,а) на плечо силы, т.е. на расстояние (по перпендикуляру) PQ от точки P шарнирного закрепления тела до линии действия силы F. В случае нескольких сил, действующих на твердое тело, способное вращаться вокруг точки P (рис. 4,б), условием равновесия является равенство нулю суммы моментов всех сил:

[[F1*a]] + [[F2*b]] + [[F3*c]] + [[F4*d]] = 0.

Равномерное движение. Тело движется равномерно, если в любую единицу времени своего движения оно проходит одно и то же расстояние в одном и том же направлении. Примером прямолинейного равномерного движения может служить движение космического аппарата, летящего по инерции в межзвездном пространстве достаточно далеко от всех небесных тел, там, где гравитационные поля ничтожно малы. Коль скоро на него не действуют никакие внешние силы, он будет, не останавливаясь, двигаться по прямой линии с постоянной скоростью. Но как только космический аппарат приблизится к какому-либо небесному телу, он окажется в гравитационном поле этого тела и начнет с нарастающей скоростью отклоняться к нему от прямолинейной траектории. Если же в межзвездном пространстве он войдет в плотное облако космической пыли, то (если отвлечься от гравитационного воздействия пыли) он по-прежнему будет двигаться прямолинейно, но с замедлением. В обоих случаях изменение характера движения вызывается действием неуравновешенных внешних сил.

ДИНАМИКА

Динамика изучает тела, находящиеся под воздействием неуравновешенных внешних сил, т.е. тела, характер движения которых изменяется. Поскольку равновесие означает равенство нулю равнодействующей всех сил, приложенных к телу, динамика, очевидно, имеет дело с силами, равнодействующая которых не равна нулю. Английский физик и математик И. Ньютон (1643-1727) сформулировал три закона движения, которым подчиняются тела, движущиеся под действием неуравновешенных сил, и за этими законами навсегда закрепилось его имя.

Первый закон Ньютона. Всякое тело сохраняет свое состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока неуравновешенные внешние силы не заставят его изменить это состояние. Поскольку состояние покоя, как и состояние равномерного и прямолинейного движения, соответствует равновесию, из первого закона Ньютона следует, что тело, находящееся в равновесии, остается в равновесии, пока его не выведут из этого состояния внешние силы.

Инерция. Если для того, чтобы изменить состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения, нужна внешняя сила, то, очевидно, что-то противодействует такому изменению. Свойственная всем телам способность сопротивляться изменению состояния покоя или движения называется инертностью или инерцией. Когда приходится толкать автомобиль, то вначале нужно больше усилий, чтобы стронуть его с места, чем потом - чтобы поддерживать его качение. Здесь инерция проявляется двояким образом. Во-первых, как сопротивление переходу из состояния покоя в состояние движения. Во-вторых, если дорога ровная и гладкая, то как стремление катящегося по ней автомобиля сохранить свое состояние движения. В такой ситуации всякий может сам ощутить инерцию автомобиля, попробовав его остановить. Для этого потребуется гораздо больше усилий, чем для поддержания движения.

Второй закон Ньютона. Всякое тело, на которое действует постоянная сила, движется с ускорением, пропорциональным силе и обратно пропорциональным массе тела. Самый обычный пример второго закона Ньютона - падение какого-либо тела на землю. Движение в направлении к земле вызывается силой гравитационного притяжения, которая при малой высоте падения практически постоянна. Поэтому за каждую секунду падения тела его скорость увеличивается на 9,8 м/с. Таким образом, падающее тело движется с ускорением, равным 9,8 м/с2. Второй закон Ньютона записывается в виде алгебраического соотношения F = ma, где F - сила, приложенная к телу, m - масса тела и a - ускорение, вызываемое силой F.

Импульс (количество движения). Количеством движения тела называется произведение его массы m на его скорость v, т.е. величина mv. Количество движения одинаково у автомобиля массой 1 т, мчащегося со скоростью 100 км/ч, и у 2-тонного грузовика, едущего в том же направлении со скоростью 50 км/ч. Поскольку ускорение есть изменение скорости за малое время t, второй закон Ньютона можно переписать в виде mv = Ft. Произведение силы F на (малое) время ее действия t ранее называлось импульсом силы. Поэтому количество движения в настоящее время называют импульсом. Для импульса (количества движения) справедлив закон сохранения: при столкновении двух или нескольких тел их полный (суммарный) импульс не изменяется. Например, при забивании гвоздя молотком полный импульс молотка и гвоздя после удара равен полному импульсу молотка до удара (поскольку импульс гвоздя до удара был равен нулю).

Третий закон Ньютона. Для всякой силы действия имеется равная, но противоположно направленная сила противодействия. Иначе говоря, всякий раз, когда одно тело действует с какой-либо силой на другое, последнее тоже действует на него с такой же по величине, но противоположно направленной силой. Примером может служить отдача винтовки при выстреле. Винтовка действует на пулю с силой, направленной вперед, а пуля на винтовку - с силой, направленной назад. В результате пуля летит вперед, а винтовка отдает в плечо стрелку. Если силу, приложенную к пуле, считать действием, то отдача будет противодействием (реакцией). Другой пример к третьему закону - реактивное движение ракеты. Здесь действием считается истечение струи газов из сопла двигателя, а противодействием (реакцией) - движение ракеты в направлении, противоположном движению газов.

Центростремительная сила. Когда вращают мяч на бечевке (рис. 5), бечевка тянет его в сторону центра вращения. Сила, направленная к центру вращения, называется центростремительной. Инерция мяча (его стремление продолжать в каждый момент движение по прямой линии) заставляет бечевку натягиваться. Поскольку мяч продолжает вращаться по окружности, его инерция создает равную, но противоположно направленную, так называемую центробежную силу. Если мяч движется по окружности с постоянной скоростью, то может показаться, что он находится в равновесии относительно центра окружности. Но это неверно. На самом деле мяч приобретает ускорение, направленное к центру вращения, хотя и остается все время на одном и том же расстоянии от центра. Этот кажущийся парадокс поясняется рис. 6. Здесь кривая AB - часть круговой траектории мяча, а прямая AC - касательная (к окружности), по которой полетел бы мяч, если бы бечевка лопнула и он двигался по инерции. Длина отрезков s, t, u и w, соединяющих дугу и прямую, увеличивается в направлении движения. Чтобы мяч продолжал двигаться по дуге окружности, некая непрерывно действующая сила F должна приводить его в движение с возрастающей скоростью. Необходимое ускорение сообщает ему центростремительная сила.

См. также

МАШИНЫ И МЕХАНИЗМЫ;

МЕХАНИКА.

Рис. 5. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ПО ОКРУЖНОСТИ. Fцс - центростремительная сила; Fцб - центробежная сила; штриховой стрелкой показано направление движения по инерции. Центростремительная сила увлекает тело с пути, соответствующего прямолинейному движению по инерции. Сила сопротивления этому увлечению называется центробежной силой.

Рис. 6. УСКОРЕНИЕ, приобретаемое телом при движении по окружности. Двигаясь под действием центростремительной силы F по кривой AB, тело все больше удаляется от прямой AC (увеличиваются отклонения s, t, u, w).

ЛИТЕРАТУРА

Халфмэн Р. Динамика. М., 1972 Татаринов Я.В. Лекции по классической динамике. М., 1984 Ньютон И. Определения. Аксиомы и законы движения. М., 1985 Бабенков И.С. Основы статики и сопротивления материалов. М., 1988

ДИНАМИКА

(от греч. dynamis – сила)

учение о силах и о производимых ими движениях: у Аристотеля dynamis.называется потенция (возможность) действия, заключенная в силе (следовательно, латентная сила), в отличие от энергии или. энтелехии – активно, фактически действующей силы.

ДИНА́МИКА -и; ж. [от греч. dynamis - действующий]

1. Раздел механики, изучающий движение тел под действием приложенных к ним сил. Курс динамики.

2. Состояние чего-л., находящегося в движении, развитии, и перспективы его изменения (противоп.: ста́тика). Д. государственного бюджета. Д. производительности труда. Д. исторических событий. // Ход развития, движения чего-л. Д. сюжета пьесы. Д. стиха. Описать события в динамике.

3. Муз. Сила, энергия звучания.

◁ Динами́ческий; Динами́чный (см.).

* * *

динамика

I

(от греч. dýnamis — сила), раздел механики, в котором изучается движение тел под действием приложенных к ним сил. Основа динамики — Ньютона законы механики.

II

в музыке, различной степени силы звучания, громкости и их изменения. Обозначаются итальянскими терминами: пиано (piano, сокр. р) — тихо; форте (forte, сокр. f) — громко; крещендо (crescendo) — постепенно усиливая; диминуэндо (diminuendo) — постепенно затихая, и др.

(от греч.dynamis — сила,dynamikos — относящийся к силе, сильный)

1) раздел механики, изучающий движение тел под действием сил, согласно законам динамики Ньютона;

2) состояние движения, ход развития, изменение чего-либо под влиянием действующих на него факторов (противоположность — статика);

3) обилие движения, действия;

4) (в музыке) различные степени силы звучания, громкости и их изменения, обозначаемые итальянскими терминами: пиано — тихо, форте — громко, крещендо — постепенно усиливая, диминуэндо — постепенно затихая и др.

(от греч. dynamixos - имеющий силу, от dunamis - сила) в музыке - совокупность явлений, связанных с разл. степенями громкости звучания, а также учение об этих явлениях. Термин "Д.", известный ещё со времён антич. философии, заимствован из учения о механике; по-видимому, он был впервые введён в муз. теорию и практику швейц. муз. педагогом X. Г. Негели (1810). Д. основана на применении звучаний разл. степени громкости, их контрастном противопоставлении или же постепенной смене. Осн. виды динамич. обозначений: forte (сокращённо f) - громко, сильно; piano (r) - тихо, слабо; mezzo forte (mf) - умеренно громко; mezzo piano (mp)- умеренно тихо; fortissimo (ff) - очень громко; pianissimo (pp) - очень тихо; forte-fortissimo (fff) - чрезвычайно громко; piano-pianissimo (ррр) - чрезвычайно тихо. Все эти степени громкости звука являются относительными, а не абсолютными, определение которых относится к области акустики; абсолютная величина каждой из них зависит от многих факторов - динамич. возможностей инструмента (голоса) или ансамбля инструментов (голосов), акустич. особенностей помещения, исполнительской трактовки произведения и др. Постепенное нарастание звучания - crescendo (графич. изображение

); постепенное ослабление - diminuendo или decrescendo (

). Резкая, внезапная смена динамич. оттенка обозначается термином subito. Piano subito - внезапная смена громкого звучания тихим, forte subito - тихого звучания громким. К динамич. оттенкам относятся разл. виды акцентов (см. Акцент), связанных с выделением отд. звуков и созвучий, оказывающим влияние и на метрику.

Д. - важнейшее средство муз. выражения. Подобно светотени в живописи, Д. способна производить психологич. и эмоцион. эффекты громадной силы, вызывать образные и пространств. ассоциации. Forte может создать впечатление чего-то светлого, радостного, мажорного, piano - минорного, печального, fortissimo - величественного, могучего, грандиозного, а доведённое до предельной силы - подавляющего, устрашающего. Наоборот, pianissimo ассоциируется с нежностью, нередко таинственностью. Смены нарастания и спада звучности создают эффект "приближения" и "удаления". Нек-рые муз. произв. рассчитаны на определённое динамич. воздействие: хор. пьеса "Эхо" О. Лассо построена на противопоставлении громкого и тихого звучания, "Болеро" М. Равеля - на постепенном нарастании звучания, приводящем в заключит. разделе к грандиозной кульминации.

Применение динамич. оттенков определяется внутр. сущностью и характером музыки, её стилем, особенностями структуры муз. произведения. В разл. эпохи эстетич. критерии Д., требования к её характеру и способам применения менялись. Одним из первоисточников Д. является эхо - резкое, непосредственное противопоставление громкого и тихого звучания. Примерно до сер. 18 в. в музыке господствовала Д. forte и piano. Высшее своё развитие этот динамич. принцип получил в эпоху барокко с его искусством "хорошо организованного контраста", тяготением к монумент. полифонич. формам вок. и инстр. музыки, к ярким эффектам светотени. Для музыки эпохи барокко типичной являлась контрастная Д. и в более тонких её проявлениях - Д. регистров. Этому типу Д. отвечал и господствовавший муз. инструментарий эпохи, в частности такие инструменты, как орган, клавесин (о последнем Ф. Куперен писал, что на нём "нельзя ни увеличить, ни уменьшить силу звуков", 1713), и монументально-декоративный стиль многогол. вок.-инстр. музыки венецианской школы, с её главенств. принципом coro spezzato - противопоставлением разл. хор. групп и игры 2 органов. Самая значит. форма инстр. музыки этой эпохи - предклассич. concerto grosso - основывалась на резком, непосредств. противопоставлении forte и piano - игры concerto и concertino, вообще отдельных, часто очень различных не только по тембру, но и по громкости звучания групп инструментов. В то же время в области сольного вок. исполнения уже в период раннего барокко культивировались плавные, постепенные изменения громкости звучания. В области инстр. музыки переходу к такой Д. способствовали коренной переворот в муз. инструментарии, свершившийся в кон. 17 - нач. 18 вв., утверждение скрипки, а позднее и молоточкового фп. как ведущих сольных инструментов, обладающих разнообразными динамич. возможностями, развитие певучей, протяжённой, гибкой, психологически более ёмкой инстр. мелодики, обогащение гармонич. средств. Скрипка и инструменты скрипичного семейства составили основу формирующегося классич. (малого) симф. оркестра. Отдельные знаки crescendo и diminuendo встречаются у нек-рых композиторов начиная с 17 в.: Д. Мадзокки (1640), Ж. Ф. Рамо (30-е гг. 18 в.). Указание crescendo il forte имеется в опере "Артаксеркс" Н. Йоммелли (1749). Ф. Джеминиани явился первым инстр. виртуозом, применившим в 1739, при переиздании своих сонат для скрипки с басом ор. 1 (1705), особые динамич. знаки для нарастания силы звука (/) и для его уменьшения ();он пояснял: "звук должен начинаться тихо и затем ровно усиливаться до половины длительности (ноты), после чего постепенно стихать к концу". Это исполнительское указание, относящееся к crescendo на одной ноте, следует отличать от переходного crescendo внутри больших муз. построений, применению к-рого положили начало представители мангеймской школы. Введённые ими длит. динамич. нарастания и спады, более чёткие динамич. оттенки были не только новыми исполнительскими приёмами, но и органич. особенностями самого стиля их музыки. Мангеймцы установили новый динамич. принцип - forte y них достигалось не с помощью простого увеличения количества голосов (приём, широко использовавшийся до этого), а с помощью усиления звучания всего орк. ансамбля. Они установили, что piano удаётся тем лучше, чем больше дисциплинированных музыкантов участвует в исполнении. Тем самым оркестр был освобождён от статичности и сделался способным к разнообразным динамич. "модуляциям". Переходное crescendo, связывавшее между собой forte и piano в единое динамич. целое, означало новый принцип в музыке, взрывавший старые муз. формы, основывавшиеся на контрастной Д. и Д. регистров. Утверждение классич. сонатной формы (сонатного allegro), внедрение новых принципов тематич. развития обусловили использование более детализированных, тонких динамич. оттенков, основывающихся уже на "контрастах в теснейших рамках тематич. образования" (X. Риман). Иск-во "хорошо организованного контраста" уступило место иск-ву "постепенного перехода". Эти два осн. динамич. принципа нашли своё органич. сочетание в музыке Л. Бетховена с её мощными динамич. контрастами (излюбленный приём subito piano - нарастание звука внезапно прерывается, уступая место piano) и вместе с тем постепенными переходами от одного динамич. оттенка к другому. В дальнейшем они получили развитие у композиторов-романтиков, в особенности у Г. Берлиоза. Для орк. сочинений последнего характерно сочетание разнообразных динамич. эффектов с определ. инстр. тембрами, что позволяет говорить о своего рода "динамич. красках" (приём, в дальнейшем широко разработанный импрессионистами). Позднее получила развитие и полидинамика - несовпадение при ансамблевой игре динамич. оттенков у отд. инструментов или орк. групп, создающее эффект тонкой динамич. полифонии (типична для симфонизма Г. Малера). Д. играет огромную роль в исполнительском искусстве. Логика соотношения муз. звучностей - одно из главных условий художеств. исполнения. Её нарушение способно исказить содержание музыки. Будучи неразрывно связана с агогикой, артикуляцией и фразировкой, Д. во многом определяет индивид. исполнит. стиль, характер интерпретации, эстетич. направленность исполнит. школ. Для одних характерны принципы волнообразной Д., дробных динамич. оттенков, для других - принципы террасообразной Д., построение целого из динамических "плоскостей", отделённых друг от друга отчётливыми гранями, и т. п.

В различных авангардистских течениях 20 в. использование динамич. средств претерпевает большие изменения. В атональной музыке, порывающей с ладом и функцион. отношениями, тесная связь Д. с логикой гармонич. развития утрачивается. У авангардистов модифицируется и эффект динамич. несовместимости, когда, напр., на выдержанном аккорде у каждого инструмента по-разному меняется сила звучания (К. Штокхаузен, "Zeitmasse"). В полисерийной музыке динамич. оттенки полностью подчинены серии, каждый звук к-рой связывается с определённой степенью громкости.

Литература: Mострас К. Г., Динамика в скрипичном искусстве, М., 1956; Коган Г. М., Работа пианиста, М., 1963, 1969, с. 161-64; Пазовский А. М., Записки дирижёра, М., 1966, с. 287-310, М., 1968; Riemann H., Musikalische Dynamik und Agogik, Hamb., 1884; Heuss A., Ьber die Dynamik der Mannheimer Schule, в кн.: Riemann-Festschrift, Lpz., 1909, S. 433-55; Rolland R., Hдndel, P., 1910, рус. пер., M., 1931, с. 68-70; Harding R. E. M., Origins of musical time and expression, L., 1938, ch. IV, p. 85-107; Kolneder W., Auffьhrungspraxis bei Vivaldi, Lpz., (1955); Fellinger I., Ьber die Dynamik in der Musik von J. Brahms, В., 1961.И. M. Ямпольский.

- раздел механики, в к-ром изучается движение материальных тел, происходящее под действием приложенных к ним сил, вызывающих или изменяющих это движение,- так называемых ускоряющих сил.

Основы Д. заложены в нач. 17 в. Г. Галилеем (G. Galilei), к-рый первый рассмотрел движение тел под действием силы тяжести и установил закон инерции. Основные принципы Д. были четко сформулированы И. Ньютоном (I. Newton) в виде трех основных законов механики и следствий из них. Дальнейшее развитие и совершенствование законов Д. содержится в трудах Л. Эйлера (L. Euler), Ж. Д'Аламбера (J. D'Alembert), Ж. Лагранжа (J. Lagrange), где были даны общие методы составления уравнений Д. Начало аналитич. методам исследования уравнений Д. положили Ж. Лагранж, У. Гамильтон {W. Hamilton) и К. Якоби (С. Jacobi). Позднейшим развитием этих методов занимались К. Гаусс (С. Gauss), M. В. Остроградский, А. Пуанкаре (Н. Poincare), С. А. Чаплыгин, Н. Г. Четаев и др.

Д., основывающаяся на принципах Г. Галилея и И. Ньютона, наз. классической или ньютоновской Д., в отличие от направлений, исходящих из иных принципов (квантовая механика, релятивистская Д. и др.). Классич. Д. состоит из совокупности математич. выводов и заключений, являющихся следствиями основных законов Галилея и Ньютона. В ней аксиоматически вводятся понятия неподвижного пространства (абсолютной неподвижной системы отсчета или инерциальной системы отсчета) и абсолютного времени, одинакового для всех точек пространства. Абсолютному пространству приписываются геометрич. свойства евклидова пространства. Законы Ньютона формулируются по отношению к абсолютному пространству и абсолютному времени. Они остаются справедливыми по отношению к инерциальным системам отсчета. Заключения о движении материальных тел Д. получает с помощью построения моделей (материальной точки, абсолютно твердого тела, континуума и др.).

По характеру решаемых задач Д. может быть разделена на Д. материальной точки и Д. системы материальных точек. Понятие материальной точки является основным понятием классической Д. Материальной точкой наз. такое тело, геометрич. размерами к-рого можно пренебрегать при изучении его движения, но к-рое обладает конечной массой. Первый и второй законы Ньютона формулируются в Д. только для одной материальной точки. Кроме материальной точки в Д. рассматривают еще модель абсолютно твердого тела, расстояния между точками к-рого не изменяются во время движения. Эти основные модели Д. позволяют успешно решать ряд конкретных задач о движении реальных тел.

В Д. системы материальных точек рассматриваются движения таких тел, к-рые находятся во взаимосвязи друг с другом. Д. системы включает в себя Д. твердого тела, Д. систем с переменной массой, Д. упругого и пластически деформируемого тела, Д. жидкости и газа и др.

Характер движения материальной системы определяется действующими на нее силами (активными силами), а также связями, наложенными на точки системы, действие к-рых может быть заменено действием сил реакций связи (пассивными силами). Действующие на систему материальных точек силы являются результатом взаимодействия отдельных материальных точек, как входящих, так и не входящих в рассматриваемую систему. В соответствии с этим различают силы внутренние и внешние. Силы могут быть представлены как функции положений материальных точек, их скоростей и времени.

В Д. решаются две основные задачи: 1) определение силы, производящей данное движение материальной точки или системы; 2) определение движения материальной точки или системы, происходящее под действием заданных сил. Задачи Д. решаются при помощи дифференциальных уравнений движения. Для одной материальной точки эти уравнения выражают второй закон Ньютона и могут быть записаны в виде

где r- радиус-вектор материальной точки в рассматриваемой системе отсчета, d²r/dt²- ее ускорение, F- действующая на точку активная сила, N- сила реакций связи. Для определения закона движения материальной точки нужно найти значение rдля каждого момента времени. Задача интегрирования уравнений Д. решается с помощью общих теорем Д. (теорем об изменении количества движения, момента количества движения и живых сил). Эти теоремы обусловливают важные физич. зависимости между основными динамич. характеристиками движения и взаимодействия материальных тел; в ряде случаев они значительно упрощают процесс интегрирования уравнений Д. Кроме того, общие теоремы дают возможность изучать отдельные стороны рассматриваемого движения. Общие теоремы для системы материальных точек могут быть получены непосредственным обобщением общих теорем для одной материальной точки. При выводе из Д'Аламбера- Лагранжа принципа они становятся более совершенными и не содержат реакций связи, а устанавливают непосредственную зависимость между динамич. величинами, характеризующими движение системы, и действующими на систему активными силами. Наиболее распространенными являются системы с голономными идеальными связями. Движение таких систем полностью описывается Лагранжа уравнениями2-го рода, получающимися из принципа Д'Аламбера - Лагранжа. Эти уравнения наиболее удобны при исследовании движения системы материальных точек. Для материальных систем с неголономными идеальными связями наиболее общими уравнениями движения, не содержащими реакций связей, являются Аппеля уравнения.

Изучением свойств уравнений движения механич. систем, обусловленных специфич. формой этих уравнений, занимается аналитич. Д. Она рассматривает общие принципы Д., вывод из этих принципов дифференциальных уравнений движения и методов их интегрирования. Методы аналитич. Д. широко применяются как для решения различных задач Д., так и в различных областях физики. Большое значение для исследования свойств движения механич. систем получили канонические Гамильтона уравнения, к-рые дают возможность сформулировать ряд эффективных методов решения задач Д.

Помимо установления общих методов составления и интегрирования уравнений движения материальных тел, движущихся под действием ускоряющих сил, в Д. рассматривается ряд специальных задач: Д. твердого тела, Д. гироскопич. систем, теория колебаний механич. систем, теория устойчивости движения, теория удара и др.

Лит.:[1] Галилей Г., Соч., т. 1 - Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению..., пер. с итал., М.-Л., 1934; [2] его же, Диалог о двух главнейших системах мира, птолемеевой и коперниковой, пер. с итал., М.-Л., 1948; [3] Ньютон И., Математические начала натуральной философии, пер. с латин., в кн.: Крылов А. Н., Собр. трудов, т. 7, М.-Л., 1936; [4] Эйлер Л., Основы динамики точки, пер. с латин., М.-Л., 1938; [5] Д' Аламбер Ж., Динамика, пер. с франц., М.-Л., 1950; [6] Лагранж Ж., Аналитическая механика, пер. с франц., т. 1-2, М.-Л., 1950; [7] Якоби К., Лекции по динамике, пер. с нем.,М.-Л., 1936; [8] Гамильтон У., Об общем методе в динамике..., пер. с англ., в кн.: Вариационные принципы механики, М., 1959; [9] Герц Г., Принципы механики, изложенные в новой связи, пер. с нем., М., 1959; [10] Остроградский М. В., Лекции по аналитической механике, в кн.: Остроградский М. В., Поли. собр. трудов, т. 2, К., 1961; [11] Жуковский Н. Е., Теоретическая механика, 2изд., М.-Л., 1952; [12] Чаплыгин С. А., Курсы лекций по теоретической механике, Собр. соч., т. 4, М,-Л., 1949; [13] Четаев Н. Г., Устойчивость движения.-Работы по аналитической механике, М., 1962.

Е. Н. Березкин.