Кай в Толковом словаре Даля
муж., ряз. слово, обет, зарок, договор. Положили они меж собою кай. На каю стать, договариваться. Каить что, пск. говорить? см. кае, каже, говорить, и каять.
Источник: Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863-1866.