«Тауберовы теоремы»

теоремы, устанавливающие условия, при которых суммируемость ряда или интеграла некоторым методом влечёт его суммируемость более слабым методом (см. Суммирование расходящихся рядов и интегралов). Одной из первых теорем такого типа была теорема австрийского математика А. Таубера (A. Tauber) (1897): если для числового ряда sметодом Абеля) и если s.

Тауберовы теоремы применяются при исследованиях во многих областях математики, в частности в аналитической теории чисел и при изучении асимптотического поведения собственных значений (См. Собственные значения) и собственных функций (См. Собственные функции) дифференциальных операторов.

Лит.: Харди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951.

теоремы тауберова типа,- теоремы, устанавливающие условия, определяющие множество рядов (или последовательностей), на к-ром для двух данных суммирования методов А и В происходит включение Наиболее часто в теории суммирования рассматривается случай, когда метод Втождествен сходимости. В Т. т., относящихся к этим случаям, устанавливаются условия на ряд (последовательность), при к-рых из суммируемости ряда данным методом следует его сходимость. Назв. теорем восходит к А. Тауберу [1], впервые доказавшему две теоремы такого тина для Абеля метода суммирования:

1) если ряд

суммируем методом Абеля к сумме Sи то ряд сходится к S;

2) для того чтобы из суммируемости ряда (*) методом Абеля к сумме Sследовала сходимость этого ряда к сумме S, необходимо и достаточно, чтобы

Теорема 1) была позднее усилена, а именно, было показано, что условие можно заменить на Условия, к-рые накладываются на ряд в этих случаях, помимо его суммируемости, наз. тауборовыми условиями.

Эти условия могут выражаться в различных формах. Наиболее распространенными для рядов (*) являются условия вида:

Н - постоянная,

а также их обобщения, где натуральный параметр пзаменен переменным t_n. В Т. т. к таким условиям, помимо приведенных выше, относятся, напр., следующие: если ряд (*) суммируем методом Бореля к сумме

Sи то ряд сходится к S.

Для каждого регулярного матричного метода суммирования существуют числа такие, что и условие является тауберовым для этого метода (т. е. из суммируемости ряда этим методом и условия следует сходимость ряда).

Тауберовы условия могут выражаться через оценки частичных сумм S_n ряда или оценки разности S_n-S_m при определенных соотношениях между пи т. Примерами Т. т. с такими условиями являются следующие: если ряд (*) с частичными суммами S_n суммируем методом Бореля к сумме Sи

то ряд сходится к S;если ряд (*) суммируем методом Абеля к сумме Sи его частичные суммы S_n удовлетворяют условию S_n=0(1), то он суммируем к Sметодом Чезаро ( С,1).

Тауберовьш условием может служить лакунарность ряда: а _n=0 при п=п _k условие в этом случае выражается через свойства последовательности {n_k}.

Кроме обычной суммируемости, в теории суммирования рассматриваются Т. т. для специальных видов суммируемости (абсолютной, сильной, суммируемости со скоростью и др.).

Лит.:[1] Tauber A., лMonats. Math, und Physik