«Гессиан»

Функциональным определителем n функций: f₁, f₂, f₃,.. . f_nот n независимых переменных x₁, x₂, x₃... x_nназывается определитель вида:

df₁/dx₁, df₁/dx₂,.. . df₁/dx_n

df₂/dx₁, df₂/dx₂,.. . df₂/dx_n

......................................

......................................

df_n/dx₁, df_n/dx₂,.. . df_n/dx_n

Если теперь под функциями f₁, f₂,.. . f_nмы будем разуметь частные произведения некоторой функции U от n независимых переменных x₁, x₂,.. . x_n, так что

f₁= dU/dx₁, f₂= dU/dx₂, f₃= dU/dx₃,.. ., f_n= dU/dx_n,

то указанный определитель есть так называемый гессиан функции U относительно независимых переменных х₁, х₂, x₃,.. . x_n.

Такого рода определитель ввел в рассмотрение проф. Гессе в теории алгебраических линий на плоскости и алгебраических поверхностей, причем он доказал две весьма примечательные теоремы. 1) Если уравнение U = 0 в однородных координатах (см. Координаты) определяет некоторую кривую n-ого порядка, где, очевидно, U есть однородная функция n-ой степени относительно трех координат х₁, х₂, х₃, то условие необходимое и достаточное, чтобы эта кривая была системой n прямых линий, выходящих из одной и той же точки, состоит в том, чтобы гессиан функции U, взятый относительно координат х₁, х₂, х₃, тождественно равнялся нулю. 2) Если уравнение U = 0 в однородных координатах определяет некоторую алгебраическую поверхность в пространстве, где, очевидно, U есть однородная функция некоторой n-ой степени относительно четырех координат х₁, х₂, х₃, x₄, то условие, необходимое и достаточное для того, чтобы эта поверхность была конусом, состоит с тождественном уничтожении гессиана функции U относительно сказанных координат х₁, х₂, х₃, x₄.

Hessian

m.Hessian

гессиана, алгебраической кривой порядка п - множество точек, конические поляры к-рых распадаются на две прямые, а также множество двойных точек первых поляр. Г. неособой кривой порядка песть кривая порядка 3(n-2) и класса Если есть уравнение кривой порядка пв однородных координатах и то

есть уравнение Г. Гессиан кривой 3-го порядка пересекает кривую в девяти общих точках перегиба. Назв. по имени О. Гессе (О. Hesse, 1844). А. <Б. <Иванов.

функции f - квадратичная форма

или

где (или ) и задана на n-мерном действительном пространстве (или комплексном пространстве ) с координатами (или ). Введен О. Гессе (О. Hesse, 1844). С помощью локальной системы координат это определение переносится на функции, определенные на действительном многообразии класса (или на комплексном пространство). В обоих случаях Г.- квадратичная форма, заданная на касательном пространстве, не зависящая от выбора системы координат. В теории Морса через Г. определяются понятия (не) вырожденной критич. точки, формы Морса и формы Ботта. В комплексном анализе Г. участвует в определении псевдовыпуклой области и плюрисубгармонич. функции.

Лит.:[1] Постнико в М. М., Введение в теорию Морса, М., 1971; [2] Ганнинг Р., Росси X., Аналитические функции многих комплексных переменных, пер. с англ., М., 1969.

Л. Д. Иванов.

гессиа́н м. мат.

Hessian

м. матем.

hessiano m

матем.

гесіа́н

- гессиан алгебраической кривой

матем.

гесіа́н

- гессиан алгебраической кривой