«Первый интеграл»

системы обыкновенных дифференциальных уравнений

, i = 1, …, n

— соотношение вида

(где С — произвольная постоянная), левая часть которого сохраняет постоянное значение при подстановке любого решения y₁ = y₁(x),..., y_n= y_n (x) системы, но не является тождественной постоянной (см. Дифференциальные уравнения).Геометрически П. и. представляет собой семейство гиперповерхностей в (n + 1)-мерном пространстве Oxy₁... y_n, на каждой из которых расположено некоторое подсемейство интегральных кривых системы. Например, одним из П. и. системы y² + x² = C² (круговые цилиндры); интегральные кривые у = Csin (x — x₀), z = Ccos (x—x₀) суть винтовые линии, расположенные на этих цилиндрах (см. рис.). Если известно k независимых П. и. Ф_i (x₁, y₁,..., у_п) = C_i (i = 1,..., k; k <>)системы, то её порядок, вообще говоря, может быть понижен на k единиц; если k = n, то Общий интеграл системы получается без интегрирования.

Лит.: Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959.

Рис. к ст. Первый интеграл.

обыкновенного дифференциального уравнения - отличная от постоянной и непрерывно дифференцируемая функция, производная к-рой вдоль решений данного уравнения тождественно равна нулю. Для скалярного уравнения

(*)

П. и. есть функция F(x, у), находящаяся в левой части общего решения F(x, y)=C, где С - произвольная постоянная. Таким образом, F(x, у).удовлетворяет линейному уравнению

с частными производными 1-го порядка. П. и. может не существовать во всей области задания уравнения (*), однако в малой окрестности точки, в к-рой функция f(x, у).непрерывно дифференцируема, он всегда существует. П. и. определяется не единственным образом. Так, для уравнения П. и. является как функция x²+y², так, напр., и функция Знание П. и. нормальной системы

позволяет понизить порядок этой системы на единицу, а отыскание пфункционально независимых П. и. равносильно отысканию общего решения в неявном виде. Если - функционально независимые П. и., то всякий другой П. и. F(x, t).можно представить в виде

где Ф - нек-рая дифференцируемая функция.

Лит.:[1] Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 4 изд., М., 1974. Н. Н. Ладис.

integrale primo