«Эрмитова форма»

выражение вида

,

где a_kt = a_tk(а — число, комплексносопряжённое с а). Матрица, составленная из коэффициентов Э. ф., называется эрмитовой; линейное преобразование, задаваемое эрмитовой матрицей, называется эрмитовым. Вопрос о представлении целых чисел Э. ф. при целочисленных значениях аргументов исследовал Ш. Эрмит (1854). Теория Э. ф. во многом аналогична теории квадратичных форм (См. Квадратичная форма). См. также Эрмитов оператор.

на левом R- модуле .- отображение линейное по первому аргументу и удовлетворяющее условию

При этом Л - кольцо с единицей, снабженное инволютным антиавтоморфизмом J. В частности, является полуторалинейной формой на X. Сам модуль Xпри этом наз. эрмитовым пространством. Аналогично тому, как это делается для билинейных форм, для Э. ф. определяется эквивалентность (в другой терминологии, изометричность) и, соответственно, изоморфизм (изометрия) эрмитовых провтранств (в частности, автоморфизм). Все автоморфизмы Э. ф. образуют группу называемую унитарной группой, ассоциированной с Э. ф. ее строение хорошо изучено, когда R - тело (см. Унитарная группа).

Э. ф. является частным случаем -эрмитовой формы - элемент центра кольца R),т. е. такой полуторалинейной формы на X, что

При -эрмитова форма является Э. ф., а при она наз. косоэрмитовой, или антнэрмитовой, формой. Если J=1, то Э. ф.- это симметрическая билинейная форма, а косоэрмитова форма - это кососимметрическая, или антисимметрическая билинейная форма. Если отображение

где для любого биективно, то Э. ф. (р наз. невырожденной Э. ф., или эрмитовым скалярным произведением на X.

Если X- свободный R-модуль с базисом e₁,...,e_n, то матрица наз. матрицей У. ф. в указанном базисе; она является эрмитовой матрицей (т. е. Э. ф. невырождена тогда и только тогда, когда матрица обратима. Если R - тело, char и X конечномерен над R, то в Xсуществует ортогональный относительно j базис (в к-ром матрица Э. ф. диагональна).

Если R - коммутативное Кольцо с единицей, = и матрица Э. ф. ф определена, то определитель этой матрицы лежит в R₀. При замене базиса в Xэтот определитель умножается на ненулевой элемент из Rвида где -обратимый элемент кольца R. Указанный определитель, рассматриваемый с точностью до умножения на такие элементы, наз. детерминантом Э. ф., или детерминантом эрмитова пространства X;онявляется важным инвариантом Э. ф., участвующим в классификации Э. ф.

Пусть Rкоммутативно. Тогда Э. ф. на X порождает квадратичную форму на Xнад R₀. Рассмотрение таких форм лежит в основе конструкции группы Витта кольца R с инволюцией (см. Витта кольцо, Витта разложение, Витта теорема). В случае, когда Я - максимальное упорядоченное поле, на Э. ф. распространяется инерции закон (и возникают связанные с ним понятия сигнатуры, индекса инерции, положительной и отрицательной определенности). Если R- поле и то Rявляется квадратичным расширением Галуа ноля R₀. и изометричность двух невырожденных Э. ф. над Rравносильна изометричности порожденных ими квадратичных форм над R₀: это сводит классификацию невырожденных Э. ф. над Rк классификации невырожденных квадратичных форм над R₀.

Если а J - инволюция комплексного сопряжения, то полную систему инвариантов Э. ф. на конечномерном пространстве образуют ранг и сигнатура соответствующей квадратичной формы. Если R - локальное поле или поле функций от одной переменной над конечным полем констант, то полную систему инвариантов для невырожденной Э. ф. образуют ранг и детерминант. Если R - конечное поле, то инвариант только один - ранг. О случае, когда R - алгебраич. расширение поля см. [3]. Э. ф. впервые рассмотрены Ш. Эрмитом (Ch. Hermite, 1853) в связи с нек-рыми задачами теории чисел.

Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. с франц., М., 1966; [2] Дьедонис Ж., Геометрия классических групп, пер. с франц., М., 1974; [3] Мilnor J., Ниsеmoller D., Symmetric bilinear forms, B.- [a. o.], 1972; [4] O'Mсаrа О. Т., Introduction to quadratic forms, 3 ed., В.- [a. o.], 1973.

В. Л. Попов.

ермі́това фо́рма

ермі́това фо́рма