«Параметрическое представление»

функции, выражение функциональной зависимости между несколькими переменными посредством вспомогательных переменных Параметров. В случае двух переменных х и у зависимость между ними F(х,у)= 0 может быть геометрически истолкована как уравнение некоторой плоской кривой. Любую величину t,определяющую положение точки (х, у)на этой кривой (например, длину дуги, отсчитываемой со знаком + или — от некоторой точки кривой, принятой за начало отсчёта, или момент времени в некотором заданном движении точки, описывающей кривую), можно принять за параметр, в функции которого выразятся хиу:

x =φ(t),у =ψ(t). (*)

Последние функции и дадут П. п. функциональной зависимости между х и у,уравнения (*) называют параметрическими уравнениями соответствующей кривой. Так, для случая зависимости x²+ y²= 1 имеем П. п. х= cos t,у = sin t (0 ≤ tх²—у²= 1 имеем П. п. t ≠ 0) или также х = cosec t,y=ctg t(—π<>π,t≠ 0) (параметрические уравнения гиперболы). Если параметр t можно выбрать так, что функции (*) рациональны, то кривую называют уникурсальной (см. Уникурсальная кривая); такой является, например, гипербола. Особенно важно П. п. пространственных кривых, т. е. задание их уравнениями вида: х = φ(t),у =ψ(t),z = χ (t). Так, прямая в пространстве допускает П. п. х = а + mt; у = b + nt;z = с + pt,Винтовая линия— П. п. х = a cos t;у = a sin t;z = ct.

Для случая трёх переменных х,у и z,связанных зависимостью F(x, y, z)= 0(одну из них, например z, можно рассматривать как неявную функцию двух других), геометрическим образом служит поверхность. Чтобы определить положение точки на ней, нужны два параметра u и υ (например, широта и долгота на поверхности шара), так что П. п. имеет вид: х = φ(u,υ), у = ψ(u,υ); z =χ (u,υ). Например, для зависимости x²+ y²=(z²+1)² имеем П. п. х =(u²—1)cosυ;у =(u² + 1) sinυ; z = u. Важнейшими преимуществами П. п. являются: 1) то, что они дают возможность изучать Неявные функции и в тех случаях, когда переход к их явному заданию без посредства параметров затруднителен; 2) то, что здесь удаётся выражать многозначные функции посредством однозначных. Вопросы П. п. изучены особенно хорошо для аналитических функций. П. п. аналитических функций посредством однозначных аналитических функций составляет предмет теории униформизации (См. Униформизация).

мат. parametric representation

parametric representation

в теории однолистных функций - представление однолистных функций, осуществляющих конформное отображение плоских областей на области канонич. вида (напр., на круг с концентрич. разрезами); оно возникает обычно следующим образом. Выбирается однопараметрич. семейство областей Q_t,

, вложенных друг в друга, Для области Q₀ предполагается известным ее конформное отображение на нек-рую канонич. область В ₀. По известному отображению области на область канонич. вида строится такое же отображение для области , где и мало. При непрерывном изменении параметра tна этом пути возникают дифференциальные уравнения, наиболее известными из к-рых являются Лёвнера уравнение и уравнение Лёвнера - Куфарева. В дискретном случае - для сеточных областей Q_t и натурального параметра t - переход от отображения к отображению , , осуществляется по рекуррентным формулам. Источником упомянутых формул и уравнений служит обычно формула Шварца (см. [1] с. 92) и ее обобщения (см. [2]). Не менее важным источником П. п. служат вариации Адамара (см. [3], [4]) для функций Грина , указанного выше семейства областей. Метод Адамара наз. также методом инвариантного погружения (см. [5]) для эллиптических дифференциальных уравнений. Ниже показана связь П. п., вариаций Адамара и инвариантного погружения в простейшем (дискретном) случае.

Пусть Q - нек-рый набор целых комплексных чисел (сеточная область) и функция Грина - экстремаль функционала Дирихле-Дугласа

в классе П ₀ всех действительных на Qфункций g(z). Здесь ,

(1)

N- натуральное число,

- символ Кронекера и z_t=(k_t, z_t) t=0,1,..., Т-1,- нек-рый набор пар чисел; {zj|t=l,...,Т}- граница области Q_t, k_t=0 или 1. Нахождение экстремума функционала I_t(g) - задача квадратичного программирования. Сравнение ее решений при tи t+1 дает основную формулу инвариантного погружения (вариацию Адамара):

(2) где символ означает разностные операторы (1) по второму аргументу функции Грина. Зная функцию ,

можно шаг за шагом (рекуррентно) получить по формуле (2) все функции .

Достроив функцию Грина до сеточно аналитич. ции согласно уравнениям типа Коши - Римана

получают однолистное сеточно-квазиконформное отображение области и единичный круг. Ближайшим к началу координат будет образ точки z'. В пределе при отображение сеточно-конформно и образом области служит круг с концентрич. разрезами. Получен непрерывный аналог формулы (2) (см. [6]). В случае, когда все области односвязны и канонич. областью служит единичный круг В, удается, используя дробно-линейные автоморфизмы круга В, представить функцию Грина в явном виде

через функцию f_t(z), отображающую Qt на В с нормировкой для всех

В терминах отображения w=f_t(z) вариация Адамара сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению (Лёвнера). По сравнению с вариацией Адамара это уравнение значительно проще, однако информация о границе области представлена в нем неявно - через управляющий параметр , поскольку функция заранее неизвестна. Тем не менее уравнение Лёвнера - основной инструмент П. п.

Были рассмотрены более общие однопараметрич. семейства областей , не обязательно вложенных друг в друга (см. [7]). Возникающие при таких П. п. уравнения наз. уравнениями Куфарева - Лёвнера. Существуют также модификации уравнений Лёвнера и Куфарева - Лёвнера на те случаи, когда области обладают различного рода симметриями или иными геометрич. особенностями (см. [1]). Лит.:[1] Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966; [2] Александров. И. А., Сорокин А. С., "Сиб. матем. ж.", 1972, т. 13, № 5, с. 971 - 1001; [3] Hadamard J., Memoire sur le probleme d'analyse relatif a I'equilibri des plaques elastiques encastrees, P., 1908; [4] его же, Lecons sur le calcul des variations, v. 1, P., 1910; [5] Беллман Р., Энджел Э., Динамическое программирование и уравнения в частных производных, пер. с англ., М., 1974; [6] Попов В. И., "Докл. АН СССР", 1972, т. 207, № 5, с. 1048-50; [7] Куфарев П. П., "Матем. сб.", 1943, т. 13, № 1, с. 87-118. В. И. Попов.

функции - задание функции , определенной, напр., на отрезке [a,b]с помощью пары функций x=j(t),

, таких, что у функции существует такая однозначная обратная функция , что , т. е. для любого имеет место

Пример. Пара функций является П. п. функции

Если в точке П. п. функции дифференцируемо, т. е. функции j и y дифференцируемы, и 0, то параметрически представленная функция f дифференцируема в точке и

Если, кроме того, у функций j и y в точке t₀ существуют производные порядка то и у функции f в точке х ₀ существует производная порядка n, причем она является дробно-рациональной функцией от производных функций j и y порядков k, k=1,2,..., n, в знаменателе к-рой стоит (2п-1)-я степень значения производной , напр.,

Л. Д. Кудрявцев.

parametric representation

rappresentazione parametrica

параметри́чне зобра́ження

параметри́чне зобра́ження