«Особое решение»

дифференциального уравнения, решение, в каждой точке которого нарушается единственность (см. Дифференциальные уравнения). Для уравнения у' = f(x, у) это значит, что через каждую точку О. р. проходит несколько различных интегральных кривых (имеющих в этой точке общую касательную). При непрерывности f(x, у) последнее возможно лишь, если в точках О. р. для функции f(x, у) не выполнено Липшица условие по у. Например, для уравнения р. является прямая у = x: через любую точку М₀ (х₀, у₀) этой прямой, кроме самой прямой, проходят интегральные кривые

Геометрически О. р. представляет собой огибающую (См. Огибающая) семейства интегральных кривых Ф (х, у, С) = 0, образующих Общий интеграл уравнения.

Для дифференциального уравнения F (х, у, у') = 0 определяется дискриминантная кривая D (х, у) = 0 как результат исключения параметра р = у' из системы: F (х, у, р) = 0, х, у, р) = 0. О. р. является, вообще говоря, лишь частью этой кривой.

Лит.: Степанов В.В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959.

Рис. к ст. Особое решение.

singular solution

singular solution

обыкновенного дифференциального уравнения - решение, в каждой точке к-рого нарушается единственность решения задачи Коши для этого уравнения. Напр., для уравнения 1-го порядка

с непрерывной правой частью, всюду имеющей конечную или бесконечную частную производную по у, О. р. может лежать только во множестве

Кривая есть О. р. уравнения (*), если g является интегральной кривой уравнения (*) и через каждую точку кривой Y проходит по крайней мере еще одна интегральная кривая уравнения (*). Пусть уравнение (*) имеет в нек-рой области G общий интеграл Ф( х, у, С)=0;если это семейство кривых имеет огибающую, то она является О. р. уравнения (*). Для дифференциального уравнения

О. р. находится исследованием дискриминантной кривой.

Лит.:[1] Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 7 изд., М., 1958; [2] Сансоне Дж., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с итал., т. 2, М., 1954.

singular solution

* * *

singular solution

soluzione singolare

особли́вий ро́зв'язок

особли́вий ро́зв'язок