«Самосопряжённое дифференциальное уравнение»

уравнение, имеющее те же решения, что и сопряжённое с ним (см. Сопряжённые дифференциальные уравнения). Обыкновенное С. д. у. чётного порядка 2m имеет вид

а нечётного порядка 2m — 1 имеет вид

где A_i— функции от x. Понятие С. д. у. играет большую роль в теории дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными. При некоторых краевых условиях левая часть С. д. у. определяет самосопряжённый дифференциальный оператор. Наиболее важны в приложениях С. д. у. второго порядка.

- линейное обыкновенное дифференциальное уравнение l(у)=0, совпадающее с сопряженным дифференциальным уравнением l* (у)=0. Здесь

где

С ^m(I)-пространство траз непрерывно дифференцируемых комплекснозначных функций на I= (a, b); черта означает операцию комплексного сопряжения.

Левая часть всякого С. д. у. l(y)=0есть сумма выражений вида

где - действительнозначные достаточно гладкие функции, i²= - 1. С. д. у. с действительными коэффициентами - обязательно четного порядка и имеет вид

(см. [1] - [3]). Линейная система дифференциальных уравнений

с непрерывной комплекснозначной -матрицей A(t)наз. с а м о с о п р я ж е н н о й, если А(t) =-A*(t), где A*(t)-эрмитово сопряженная матрица к матрице A(t)(см. [1], [4]). Это определение не согласовано с определением С. д. у. Напр., система

эквивалентная С. д. у.

- самосопряженная только в том случае, если Краевая задача (1)

(2)

где - линейные и линейно независимые функционалы, описывающие краевые условия, наз. с а м о с о п р я ж е н н о й, если она совпадает со своей сопряженной краевой задачей, то есть (1) - С. д. у., а для всех и всех k=1,..., n (см. [1] - [3], [5]). Если (1), (2) - самосопряженная краевая задача, то справедливо равенство (см. Грина формулы)

Для любой пары функций , удовлетворяющей краевым условиям (2).

Все собственные значения самосопряженной задачи

действительны, а собственные функции j₁, j₂, отвечающие различным собственным значениям l₁,l₂, ортогональны

Линейная краевая задача

(3)

где A(t) - непрерывная комплекснозначная матрица, Uесть n-вектор-функционал на пространстве непрерывных комплекснозначных функций х: , наз. с а м о с о п р я ж е н н о й, если она совпадает со своей сопряженной краевой задачей,

т. е.

для всех . Самосопряженная краевая задача обладает свойствами, аналогичными свойствам задачи (1), (2) (см. [4]).

Понятия С. д. у. и самосопряженной краевой задачи тесно связаны с понятием самосопряженного оператора [6]. С. д. у. и самосопряженная краевая задача определяются также для линейного уравнения с частными производными (см. [5], [7]).

Лит.:[1] К а м к е Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 5 изд., М., 1976; [2] Н а й м а р к М. А., Линейные дифференциальные операторы, 2 изд., М., 1969; [3] К о д д и н г т о н Э. А., Л е в и н с о н Н.,

Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1958;[4] В л а д и м и р ов В. С., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1981; [5] X а р т м а н Ф., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ., М., 1970; [6] Д а н ф о р д Н., Ш в а р ц Д ж. Т., Линейные операторы. Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве, пер. с англ., ч. 2, М., 1966; [7] М и х а й л о в В. П., Дифференциальные уравнения в частных производных, М., 1976. Е. Л. Тонков.