«Униформизация»

(от лат. uniformis – единообразный)

(математическая), представление многозначной аналитической функции (См. Аналитические функции) через однозначные аналитические функции параметра. Пример У. даёт представление двузначной функции, определяемой уравнением: z²+ ω²=1, посредством пары однозначных функций параметра t:

или z = sin t, ω = cos t и т.п.

uniformization

f.uniformization

множества (или - тройка (f, D, G), где f=(f₁,..., f_N) - система мероморфных в области (соответственно функций, определяющая голоморфное накрытие причем f(D₀) плотно в A,a G - собственно разрывная группа биголоморфных автоморфизмов D, ограничение к-рой на D₀ служит группой накрывающих гомеоморфизмов этого накрытия, т. е. D₀/Gбиголоморфно эквивалентно f(D₀).

Можно говорить также об У. многозначных аналитических функций понимая под этим У. множества A={(z, w)};это соответствует параметризации Fс помощью однозначных мероморфных функций.

Напр., комплексная кривая z²+w²=l в униформизируется тройкой где z=cos t, w=sin t, G - группа сдвигов или тройкой ((z, w), D, G), где

G - тривиальная группа. Менее тривиальный пример дает кубическая кривая w²=a₀z³+a₁z²+a₂z+a₃, к-рая не допускает рациональной параметризации, но может быть униформизирована с помощью эллиптических функций, а именно тройкой ((f₁, f₂), D, G), где f₁ и f₂ - рациональные функции от -функции Вейерштрасса и ее производной с соответствующими периодами а G - группа, порожденная сдвигами

Проблема У. произвольной алгебраич. кривой, определяемой общим алгебраич. уравнением

где Р- неприводимый алгебраич. многочлен над С, возникла еще в 1-й пол. 19 в., в частности в связи с интегрированием алгебраич. функций. А. Пуанкаре (Н. Poincare) поставил вопрос об У. множества решений произвольных аналитич. равнений вида (*), когда Р - сходящийся степенной ряд от двух переменных, рассматриваемый с его всевозможными аналитич. родолжениями. У. алгебраич. и произвольных аналитич. многообразий составляет содержание двадцать второй проблемы Гильберта. Полного решения проблемы У. тюка (к 1984) не получено, за исключением одномерного случая.

Введя во множестве пар (z, w) в удовлетворяющих (*), комплексную структуру с помощью элементов соответствующей алгебраич. функции w(z) (или z(w)), получают компактную риманову поверхность, при этом координаты точек кривой (*) будут мероморфными функциями на этой поверхности. Более того, все компактные римановы поверхности с точностью до конформной эквивалентности получаются таким образом. Поэтому проблема У. алгебраич. кривых сводится к проблеме У. римановых поверхностен.

У. произвольной римановой поверхности Sназ. <тройка где D - область на римановой сфере - регулярное голоморфное накрытие с накрывающей группой Gконформных автоморфизмов D. Общая проблемa заключается в нахождении и описании всех возможных таких троек для данной римановой поверхности.

Возможность У. любой римановой поверхности S, дающая принципиальное решение проблемы, была установлена в классич. работах П. Кебе (P. Koebe), А. Пуанкаре и Ф. Клейна (F. Klein); было получено окончательное решение, дающее описание всех возможных У. поверхности . (см. [4] - [6]). Справедлива теорема униформизации Клейна - Пуанкаре (доказанная в общем случае Л. Пуанкаре, см. [2]); каждая риманова поверхность Sконформно эквивалентна фактору D/G, где D- одна из трех канонических областей: риманова сфера комплексная плоскость единичный круг a G- собственно разрывная группа мёбиусовых (дробно-линейных) автоморфизмов D, определяемая с точностью до сопряжения в группе всех мёбиусовых автоморфизмов D.

Случаи и взаимно исключают друг друга. Поверхности Sс такими универсальными голоморфными накрытиями наз. соответственно эллиптическими, параболическими и гиперболическими. При этом только в случае, когда сама Sконформно эквивалентна (и, значит, G тривиальна); когда S конформно эквивалентна либо либо либо тору, и соответственно этому Gлибо тривиальна, либо есть группа, порожденная сдвигом либо есть группа, порожденная двумя сдвигами где - комплексные числа с В остальных случаях Sконформно эквивалентна где G- фуксова группа без кручения.

Каноническая проекция является неразветвленным накрытием и униформизирует все функции f на S, так как функции однозначны в D. Теорема Клейна - Пуанкаре обобщается и на разветвленные накрытия с заданными порядками ветвления.

Несколько др. подход к проблеме У. (см. [3]) опирается на принцип: если риманова поверхность гомео-морфна области (не обязательно односвязной), то и конформно эквивалентна D. Тем самым проблема У. сводится к топологич. проблеме нахождения всех (вообще говоря, разветвленных) плоских накрытий данной римановой поверхности 5. Решение этих проблем дается следующими теоремами Маскита (см. [4], [5]).

I. Пусть S- ориентируемая поверхность, v₁,..., v_n,...- множество простых попарно не пересекающихся петель на S. Если - регулярное накрытие с определяющей подгруппой где - натуральные числа, то - плоская поверхность, т. е. гомеоморфна области в

II. Пусть - плоская поверхность и - регулярное накрытие ориентируемой поверхности Sс определяющей подгруппой N. Если S - поверхность конечного типа, т. е. конечно порождена, то существуют конечное множество простых попарно не пересекающихся петель v₁,..., v_n и такие натуральные числа что

III. Если - плоская риманова поверхность и - собственно разрывная группа конформных автоморфизмов то существует конформный гомеоморфизм такой, что есть клейнова группа с инвариантной компонентой D.

Таким образом, каждая риманова поверхность униформизируется клейновой группой. Напр., если S - замкнутая риманова поверхность рода то ее фундаментальная группа имеет копредставление

и в качестве определяющей плоское накрытие нормальной подгруппы Nможно взять наименьшую нормальную подгруппу, порожденную a_l,..., a_g (или b_1,..., b_g);тогда Sуниформизируется группой Шотки G рода g - свободной чисто локсодромической клейновой группой с gобразующими (классич. теорема Кёбе о разрезах).

У. римановых поверхностей конечного типа возможные клейновы группы могут быть классифицированы. Для этого используется понятие факторподгруппы. Если G - клейнова группа с инвариантной компонентой D(G), то ее подгруппа Нназ. факторнодгруппой G, если Н - максимальная подгруппа, для к-рой: а) ее инвариантная компонента односвязна; b) Hне содержит случайных параболических элементов g(т. е. таких параболич. элементов, что при конформном изоморфизме образ будет гиперболическим); с) каждый параболический элемент Gс неподвижной точкой на предельном множестве Нпринадлежит H. Напр., в теореме Клейна - Пуанкаре каждая факторподгруппа G совпадает с самой G, а в теореме Кебе о разрезах все факторподгрупиы G тривиальны. У. римановой поверхности S, где D- инвариантная компонента G, наз. стандартной, если G не имеет кручения и не содержит случайных параболич. элементов. Для замкнутых поверхностей все такие У. описываются следующей теоремой (см. [6]).

Пусть S- замкнутая риманова поверхность рода g>0 и {v_l,..., v_n} - множество простых попарно не пересекающихся петель на S. Тогда существует единственная с точностью до конформной эквивалентности стандартная У. поверхности S такая, что каждая факторподгруппа G является либо фуксовой, либо элементарной и накрытие построено по наименьшей нормальной подгруппе натянутой на петли v₁,..., v _п.

Теория квазиконформных отображений и Тайхмюллера пространств позволила доказать возможность одновременной У. нескольких римановых поверхностей одной клейновой группой, а также всех римановых поверхностей данного типа (см. [7]).

Лит.:[1] Klein Сhr. F., лMath. Ann.

матем.

уніформіза́ція

матем.

уніформіза́ція