Унитарный оператор в словарях и энциклопедиях
обобщение понятия вращения евклидова пространства на бесконечномерный случай. Именно, У. о. – оператор вращений гильбертова пространства (См. Гильбертово пространство) вокруг нулевой точки. Оператор U, отображающий гильбертово пространство Н на себя, называется У. о., если (f, g)=(Uf, Ug)(см.Скалярное произведение) для любых двух векторов f и g из Н.У. о. не изменяет длин векторов в Ни углов между ними и является линейным оператором (См. Линейный оператор). Он имеет обратный оператор U1, также являющийся У. о.; при этом U1=U*, где U* –сопряжённый оператор. Примером У. о. может служить оператор Фурье – Планшереля, ставящий в соответствие каждой функции f(x), –∞ х+ ∞, с интегрируемым квадратом модуля функцию
(см. Фурье преобразование). См. также Операторов теория, Спектральный анализ линейных операторов.
мат. unitary operator
- линейный оператор U, отображающий предгильбертово пространство (в частности, гильбертово пространство) X в предгильбертово пространство Y и сохраняющий нормы (или длины векторов). Линейный оператор унитарен тогда и только тогда, когда ( х, y) = (Ux, Uy )для всех Наиболее важный случай У. о.- отображение гильбертова пространства в себя, то есть унитарные преобразования. Характеристическими признаками унитарности линейного оператора являются: 1) (I -тождественное преобразование), т. <е. где -сопряжённый оператор; 2) спектр оператора лежит на единичной окружности, и имеет место спектральное разложение
( -спектральная ф-ция). Совокупность У. о., действующих в H, образует группу. Всякая сильно непрерывная однопараметрич. группа У. о. представляется в виде
где А - самосопряжённый оператор. Примером У. о. и его обратного в пространстве ) являются взаимно обратные Фурье преобразования.
В. И. Соболев.
- линейный оператор U, отображающий линейное нормированное пространство Xна линейное нормированное пространство Yи такой, что Наиболее важными являются У. о., отображающие гильбертово пространство в себя. Такой оператор унитарен тогда и только тогда, когда ( х, у) = (Ux, Uy )для всех х, Др. характеристич. признаками унитарности оператора являются: 1) U*U=UU*=I, т. <е. U-1=U*;2) спектр оператора Uлежит на единичной окружности, и имеет место спектральное разложение Совокупность У. о., действующих в H, образует группу.
Примером У. о. и ого обратного в пространство являются взаимно обратные Фурье преобразования.
Лит.:[1] Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу, пер. с франц., 2 изд., М., 1979; [2] Ахиезер Н. И., Глазман И. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2 изд., М., 1966; [3] Плеснер А. И., Спектральная теория линейных операторов, М., 1965.
В. И. Соболев.
матем. operatore unitario
уніта́рний опера́тор
уніта́рний опера́тор