«Обменное взаимодействие»

специфическое взаимное влияние одинаковых, тождественных, частиц, эффективно проявляющееся как результат некоторого особого взаимодействия. О. в. — чисто квантовомеханический эффект, не имеющий аналога в классической физике (см. Квантовая механика). Вследствие квантовомеханического принципа неразличимости одинаковых частиц (Тождественности принципа) Волновая функция системы должна обладать определенной симметрией относительно перестановки двух одинаковых частиц, т. е. их координат и Спинов: для частиц с целым спином — Бозонов — волновая функция системы не меняется при такой перестановке (является симметричной), а для частиц с полуцелым спином — Фермионов — меняет знак (является антисимметричной). Если силы взаимодействия между частицами не зависят от их спинов, волновую функцию системы можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от координат частиц, а другая — только от их спинов. В этом случае из принципа тождественности следует, что координатная часть волновой функции, описывающая движение частиц в пространстве, должна обладать определённой симметрией относительно перестановки координат одинаковых частиц, зависящей от симметрии спиновой функции. Наличие такой симметрии означает, что имеет место определённая согласованность, корреляция, движения одинаковых частиц, которая сказывается на энергии системы (даже в отсутствие каких-либо силовых взаимодействий между частицами). Поскольку обычно влияние частиц друг на друга является результатом действия между ними каких-либо сил, о взаимном влиянии одинаковых частиц, вытекающем из принципа тождественности, говорят как о проявлении специфического взаимодействия — О. в. Возникновение О. в. можно проиллюстрировать на примере атома гелия (впервые это было сделано В. Гейзенбергом в 1926). Спиновые взаимодействия в лёгких атомах малы, поэтому волновая функция Ψ двух электронов в атоме гелия может быть представлена в виде:

Ψ = Ф (r₁, r₂)χ(s₁, s₂), (1)

где Ф (r₁, r₂) — функция от координат r₁, r₂ электронов, а χ(s₁, s₂) — от проекции их спинов s₁, s₂ на некоторое направление. Т. к. электроны являются фермионами, полная волновая функция ψ должна быть антисимметричной. Если суммарный спин 5 обоих электронов равен нулю (спины антипараллельны — парагелий), то спиновая функция c антисимметрична относительно перестановки спиновых переменных и, следовательно, координатная функция Ф должна быть симметрична относительно перестановки координат электронов. Если же полный спин системы равен 1 (спины параллельны — ортогелий), то спиновая функция симметрична, а координатная — антисимметрична. Обозначая через ψ_п (r₁), ψ_п' (r₂) волновые функции отдельных электронов в атоме гелия (индексы n, n' означают набор квантовых чисел, определяющих состояние электрона в атоме), можно, пренебрегая сначала взаимодействием между электронами, записать координатную часть волновой функции в виде:

для случая S = 1, (2)

для случая S = 0 (2')

(множитель _а ср. расстояние между электронами оказывается бо́льшим, чем в состоянии с симметричной функцией Ф_S; это видно из того, что вероятность |Ψ|² = |Ф_а|² |χ_S|² нахождения электронов в одной и той же точке r₁ = r₂ для состояния Ф_а равна нулю. Поэтому средняя энергия кулоновского взаимодействия (отталкивания) двух электронов оказывается в состоянии Ф_аменьшей, чем в состоянии Ф_S. Поправка к энергии системы, связанная с взаимодействием электронов, определяется по теории возмущении и равна:

Е_В3 = К ± А, (3)

где знаки ± относятся соответственно к симметричному Ф_S и антисимметричному Ф_а координатным состояниям,

(dt = dxdydz — элемент объёма). Величина К имеет вполне наглядный классический смысл и соответствует электростатическому взаимодействию двух заряженных «облаков» с плотностями заряда е(ψ_n (r₁)(² ие(ψ_n'(r₂)(². Величину А, называется обменным интегралом, можно интерпретировать как электростатическое взаимодействие заряженных «облаков» с плотностями заряда еψ_n*(r₁)ψ_n'(r₁) и еψ_n'*(r₁)ψ_n'(r₂) ψ_n (r₂), т. е. когда каждый из электронов находится одновременно в состояниях ψ_n и ψ_n' (что бессмысленно с точки зрения классической физики). Из (3) следует, что полная энергия пара- и ортогелия с электронами в аналогичных состояниях отличается на величину 2А. Т. о., хотя непосредственно спиновое взаимодействие мало и не учитывается, тождественность двух электронов в атоме гелия приводит к тому, что энергия системы оказывается зависящей от полного спина системы, как если бы между частицами существовало дополнительное, обменное, взаимодействие. Очевидно, что О. в. в данном случае является частью кулоновского взаимодействия электронов и явным образом выступает при приближённом рассмотрении квантовомеханической системы, когда волновая функция всей системы выражается через волновые функции отдельных частиц (в частности, в приближении Хартри — Фока; см. Самосогласованное поле (См. Самосогласванное поле)).

О. в. эффективно проявляется, когда «перекрываются» волновые функции отдельных частиц системы, т. е. когда существуют области пространства, в которых с заметной вероятностью может находиться частица в различных состояниях движения. Это видно из выражения для обменного интеграла А: если степень перекрытия состояний ψ_n*(r) и ψ_n'(r) незначительна, то величина А очень мала.

Из принципа тождественности следует, что О. в. возникает в системе одинаковых частиц даже в случае, если прямыми силовыми взаимодействиями частиц можно пренебречь, т. е. в идеальном газе тождественных частиц. Эффективно оно начинает проявляться, когда среднее расстояние между частицами становится сравнимым (или меньшим) длины Волны де Бройля, соответствующей средней скорости частиц. При этом характер О. в. различен для фермионов и для бозонов. Для фермионов О. в. является следствием Паули принципа, препятствующего сближению тождественных частиц с одинаковым направлением спинов, и эффективно проявляется как отталкивание их друг от друга на расстояниях порядка или меньше длины волны де Бройля; отличие от нуля энергии вырожденного газа (См. Вырожденный газ) фермионов (ферми-газа) целиком обусловлено таким О. в. В системе тождественных бозонов О. в., напротив, имеет характер взаимного притяжения частиц. В этих случаях рассмотрение систем, состоящих из большого числа одинаковых частиц, производится на основе квантовой статистики (Ферми — Дирака статистики (См. Ферми - Дирака статистика)для фермионов и Бозе — Эйнштейна статистики (См. Бозе - Эйнштейна статистика) для бозонов).

Если взаимодействующие тождественные частицы находятся во внешнем поле, например в кулоновском поле ядра, то существование определённой симметрии волновой функции и соответственно определённой корреляции движения частиц влияет на их энергию в этом поле, что также является семенным эффектом. Обычно (в атоме, молекуле, кристалле) это О. в. вносит вклад обратного знака по сравнению с вкладом О. в. частиц друг с другом. Поэтому суммарный обменный эффект может как понижать, так и повышать полную энергию взаимодействия в системе. Энергетическая выгодность или невыгодность состояния с параллельными спинами фермионов, в частности электронов, зависит от относительных величин этих вкладов. Так, в ферромагнетике (аналогично рассмотренному атому гелия) более низкой энергией обладает состояние, в котором спины электронов в незаполненных оболочках соседних атомов параллельны; в этом случае благодаря О. в. возникает спонтанная намагниченность (см. Ферромагнетизм). Напротив, в молекулах с ковалентной химической связью (См. Химическая связь), например в молекуле Н₂, энергетически выгодно состояние, в котором спины валентных электронов соединяющихся атомов антипараллельны.

О. в. объясняет, т. о., закономерности атомной и молекулярной спектроскопии, химическую связь в молекулах, ферромагнетизм (и антиферромагнетизм), а также др. специфические явления в системах одинаковых частиц.

Термином «О. в.» обозначают также силы взаимодействия, не обусловленные тождественностью частиц, но приводящие к «обмену» между частицами некоторыми их характеристиками. Так, среди различных типов ядерных сил имеются силы, благодаря которым нуклоны (протоны и нейтроны) ядра «обмениваются» координатами, направлениями спинов, электрическими зарядами (т. н. обменные силы). Такие силы возникают вследствие того, что нуклоны могут обмениваться различного типа мезонами, переносящими заряд, спин и др. квантовые характеристики от одного нуклона к другому. Подробнее см. Ядерные силы.

Лит.: Блохинцев Д. И., Основы квантовой механики, 3 изд., М., 1961; Гамбош П., Статистическая теория атома и её применения, пер. с нем., М., 1951; Вонсовский С. В., Шур Я. С., Ферромагнетизм, М. — Л., 1948; Давыдов А. С., Теория атомного ядра, М., 1958.

Д. А. Киржниц, С. С. Герштейн.

ОБМЕННОЕ взаимодействие - специфическое взаимное влияние тождественных частиц, эффективно проявляющееся как результат некоторого особого взаимодействия; чисто квантовый эффект, отражающий свойства симметрии системы тождественных частиц относительно перестановки пары таких частиц. Обменное взаимодействие объясняет закономерности атомных и молекулярных спектров, химическую связь, ферромагнетизм и др.

exchange interaction

(в квантовой механике) exchange, exchange interaction

ОБМЕННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ

специфич. взаимное влияние тождественных частиц, эффективно проявляющееся как результат нек-рого особого вз-ствия. О. в.— чисто квантовомеханич. эффект, не имеющий аналога в классич. физике (см. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА).

Вследствие квантовомеханич. принципа неразличимости одинаковых ч-ц (тождественности принципа) волн. ф-ция системы должна обладать определ. симметрией относительно перестановки двух таких ч-ц, т. е. их координат и проекций спинов: для ч-ц с целым спином — бозонов — волн. ф-ция системы не меняется при такой перестановке (явл. симметричной), а для ч-ц с полуцелым спином — фермионов — меняет знак (явл. антисимметричной). Если силы вз-ствия между ч-цами не зависят от их спинов, волн. ф-цию системы можно представить в виде произведения двух ф-ций, одна из к-рых зависит только от координат ч-ц, а другая — только от их спинов. В этом случае из принципа тождественности следует, что координатная часть волн. ф-ции, описывающая движение ч-ц в пр-ве, должна обладать определ. симметрией относительно перестановки координат одинаковых ч-ц, зависящей от симметрии спиновой части волн. ф-ции. Наличие такой симметрии означает, что имеет место определ. согласованность, корреляция движения одинаковых ч-ц, к-рая сказывается на энергии системы (даже в отсутствие силовых вз-ствий между ч-цами). Поскольку обычно влияние ч-ц друг на друга явл. результатом действия между ними к.-л. сил, о взаимном влиянии одинаковых ч-ц, вытекающем из принципа тождественности, говорят как о проявлении специфич. вз-ствия — О. в.

Возникновение О. в. можно проиллюстрировать на примере атома гелия (впервые это было сделано нем. физиком В. Гейзенбергом в 1926). Спиновые вз-ствия в лёгких атомах малы, поэтому волн. ф-ция y двух эл-нов в атоме гелия может быть представлена в виде:

y=Ф(r1, r2)c(s1, s2), (1)

где Ф (r1, r2) — ф-ция координат r1, r2 эл-нов, а c(s1, s2) — ф-ция проекций их спинов s1, s2 на нек-рое направление. Т. к. эл-ны явл.. фермионами, полная волн. ф-ция y должна быть антисимметричной. Если суммарный спин S обоих эл-нов равен нулю (спины антипараллельны — парагелий), то спиновая ф-ция c антисимметрична относительно перестановки спиновых переменных и, следовательно, координатная ф-ция Ф должна быть симметричной относительно перестановки координат эл-нов. Если же S=1 (спины параллельны — ортогелий), то c симметрична, а Ф — антисимметрична. Обозначая через yn(r1), ym(r2) волн ф-ции отд. эл-нов в атоме гелия (индексы га и т означают набор квант. чисел, определяющих состояние эл-на в атоме), можно, пренебрегая сначала вз-ствием между эл-нами, записать координатную часть волн. ф-ции в виде:

(множитель 1/?2 введён для нормировки волн. ф-ции). В состоянии с антисимметричной координатной ф-цией Фа ср. расстояние между эл-нами оказывается большим, чем в состоянии с симметричной ф-цией Фс; это видно из того, что вероятность|y|2=|Фа|2|cс|2 нахождения эл-нов в одной и той же точке r1=r2 для состояния Фа равна нулю. Поэтому ср. энергия кулоновского вз-ствия (отталкивания) двух эл-нов оказывается в состоянии Фа меньшей, чем в состоянии Фс. Поправка к энергии системы, связанная с вз-ствием эл-нов, определяется по теории возмущений и равна

?вз =K±А, (3)

где знаки ± относятся соответственно к симметричному и антисимметричному координатным состояниям

(е — заряд эл-на, dt=dxdydz — элемент объёма). Величина К имеет наглядный классич. смысл и соответствует электростатич. вз-ствию двух заряж. «облаков» с плотностями заряда e|yn(r1)|2 и e|ym(r2)|2. Величину А, называемую обменным интегралом, можно интерпретировать как электростатич. вз-ствие заряж. «облаков» с плотностями заряда ey*n(r1)ym(r1) и ey*m(r2)yn(r2) (звёздочка означает комплексное сопряжение), т. е. когда каждый из эл-нов находится одновременно в состояниях yn и ym (что бессмысленно с точки зрения классич. физики). Из (3) следует, что полная энергия пара- и ортогелия с эл-нами в аналогичных состояниях отличается на величину 2А. Т. о., хотя непосредственно спиновое вз-ствие мало и не учитывается, тождественность двух эл-нов в атоме гелия приводит к тому, что энергия системы оказывается зависящей от полного спина системы, как если бы между ч-цами существовало дополнит., обменное, вз-ствие. Очевидно, что О. в. в данном случае явл. частью кулоновского вз-ствия эл-нов и явным образом выступает при приближённом рассмотрении квантовомеханич. системы, когда волн. ф-ция всей системы выражается через волн. ф-ции отд. ч-ц (в частности, в приближении Хартри — Фока; (см. САМОСОГЛАСОВАННОЕ ПОЛЕ)).

О. в. эффективно проявляется в тех случаях, когда «перекрываются» волн. ф-ции отд. ч-ц системы, т. е. когда существуют области пр-ва, в к-рых с заметной вероятностью может находиться ч-ца в разл. состояниях движения. Это видно из выражения для обменного интеграла А: если степень перекрытия состояний y*n (r) и ym(r) незначительна, то величина А очень мала.

Из принципа тождественности следует, что О. в. возникает в системе одинаковых ч-ц даже в случае, если прямыми силовыми вз-ствиями ч-ц можно пренебречь, т. е. в идеальном газе тождеств. ч-ц. Эффективно оно начинает проявляться, когда ср. расстояние между ч-цами становится сравнимым (или меньшим) с длиной волны де Бройля, соответствующей ср. скорости ч-ц. При этом хар-р О. в. различен для фермионов и для бозонов. Для фермионов О. в. явл. следствием Паули принципа, препятствующего сближению тождеств. ч-ц с одинаковым направлением спинов, и эффективно проявляется как отталкивание их друг от друга на расстояниях порядка или меньше длины волны де Бройля; отличие от нуля энергии вырожденного газа фермионов (ферми-газа) целиком обусловлено таким О. в. В системе тождеств. бозонов О. в., напротив, имеет хар-р взаимного притяжения ч-ц. В этих случаях рассмотрение систем, состоящих из большего числа одинаковых ч-ц, производится на основе Ферми — Дирака статистики для фермнонов и Бозе — Эйнштейна статистики для бозонов.

Если взаимодействующие тождеств. ч-цы находятся во внеш. поле, напр. в кулоновском поле ядра, то существование определённой симметрии волн. ф-ции и соответственно определ. корреляции движения ч-ц влияет на их энергию в этом поле, что также явл. обменным эффектом. Обычно (в атоме, молекуле, кристалле) это О. в. вносит вклад обратного знака по сравнению с вкладом О. в. ч-ц друг с другом. Поэтому суммарный обменный эффект может как понижать, так и повышать полную энергию вз-ствия в системе. Энергетич. выгодность или невыгодность состояния с параллельными спинами фермионов, в частности эл-нов, зависит от относит. величин этих вкладов. Так, в ферромагнетике (аналогично рассмотренному атому гелия) более низкой энергией обладает состояние, в к-ром спины (а следовательно, и магн. моменты) эл-нов в незаполненных оболочках соседних атомов параллельны; в этом случае благодаря О. в. возникает спонтанная намагниченность (см. ФЕРРОМАГНЕТИЗМ). Напротив, в молекулах с ковалентной хим. связью, напр. в молекуле Н2, энергетически выгодно состояние, в к-ром спины валентных эл-нов соединяющихся атомов антипараллельны.

О. в. объясняет, т. о., закономерности ат. и мол. спектроскопии, хим. связь в молекулах, ферромагнетизм (и антиферромагнетизм), а также др. специфич. явления в системах одинаковых ч-ц.

,

специфич. квантово-мех. взаимодействие тождественных частиц, в частности электронов. Является следствием принципа неразличимости частиц в квантовой механике и не имеет аналога в классич. физике. Суть принципа неразличимости сводится к требованию определенной перестановочной симметрии волновой функции системы тождественных частиц: для частиц с целочисленным спином (бозонов) волновая ф-ция должна быть симметричной, т. е. она не должна меняться при перестановке индексов частиц (координат и проекций спинов), а для частиц с полуцелым спином (фермионов) при такой перестановке волновая ф-ция должна менять знак, т. е. быть антисимметричной (см. Паули принцип). Наличие перестановочной симметрии налагает ограничения на взаимное пространств. расположение частиц, что приводит к изменению энергии квантовой системы по сравнению с аналогичной классич. системой частиц. Это изменение энергии обычно рассматривается как вызванное неким дополнительным квантовомсханическим взаимодействием, оно получило назв. "О. в.", поскольку определяется членами в выражении для энергии системы, отвечающими перестановкам частиц (обмену частицами).

В химию понятие "О. в." было введено в 1927 В. Гайтле-ром и Ф. Лондоном в задаче расчета энергии основного состояния молекулы Н ₂. Было показано, что возникновение О. в. является причиной образования ковалентыой хим. связи. Пусть состояние электрона одного атома характеризуется волновой ф-цией j_A(r₁), электрона другого атома-ф-цией j_B(r₂). В нулевом приближении, т. е. при пренебрежении взаимод. между электронами, волновая ф-ция системы двух электронов равна произведению j _А(r₁) j_B(r₂). Вследствие квантовомех. неразличимости одинаковых частей этой же энергии будет отвечать волновая ф-ция j_A(r₂)j_B(r₁), соответствующая обмену электронов между атомами, т. е. имеет место т. наз. обменное вырождение. Ур-нию Шрёдингера будут удовлетворять две линейные комбинации этих ф-ций: