«Фурье преобразование»

(данной функции)

функция, выражающаяся через данную функцию f(x) формулой:

Если функция f(x) чётная, то еёф. п. равно

(косинус-преобразование), а если f(x) — нечётная функция, то

(синус-преобразование). Формулы (1), (2) и (3) обратимы, т. е. для чётных функций

а для нечётных функций

В общем случае имеет место формула

Каждой операции над функциями соответствует операция над их Ф. п., которая во многих случаях проще соответствующей операции над f(x). Например, Ф. п. f'(x) является iug(u). Если

то g(u) = g₁(u) g₂(u). Для f(x + а) Ф. п. является e^iuag(u), а для c₁f₁(x) + c₂f₂ (x) — функция c₁g₁(u) + c₂g₂(u).

Если существует Сходимость), причём

(теорема Планшереля). Формула (8) является обобщением на Ф. п. формулы Парсеваля (см. Парсеваля равенство) для рядов Фурье (см. Фурье ряд). Физический смысл формулы (8) заключается в равенстве энергии некоторого колебания сумме энергий его гармонических компонент. Отображение F: f(x) → g(u) является унитарным оператором (См. Унитарный оператор) в гильбертовом пространстве функций f(x), — ∞ <>x

При некоторых условиях на f(x) справедлива формула Пуассона

находящая применение в теории тэта-функций (См. Тэта-функции).

Если функция f(x) достаточно быстро убывает, то её Ф. п. можно определить и при некоторых комплексных значениях u = v + iw. Например, если существует а > 0, то Ф. п. определено при |w| Лапласа преобразование)

Оператор Ф. п. может быть расширен на более обширные классы функций, нежели совокупность суммируемых функций [например, для функций f(x) таких, что (1 + |x|)^–1f(x) суммируема, Ф. п. определяется формулой (9)], и даже на некоторые классы обобщённых функций (См. Обобщённые функции) (т. н. медленного роста).

Имеются обобщения Ф. п. Одно из них использует различного рода специальные функции, например Бесселя функции, это направление получает завершение в теории представлений непрерывных групп (См. Непрерывная группа). Другим является т. н. преобразование Фурье — Стилтьеса, широко применяемое, например, в теории вероятностей; оно определяется для произвольной ограниченной неубывающей функции φ(x) Стилтьеса интегралом

и называется характеристической функцией распределения φ. Для представимости функции g(u) в виде (10) необходимо и достаточно, чтобы при любых u₁,..., u_n, ξ₁,...,ξ_n было

(теорема Бохнера — Хинчина).

Ф. п., первоначально возникшее в теории теплопроводности, имеет многочисленные применения как в самой математике (например, при решении дифференциальных, разностных и интегральных уравнений, в теории специальных функций и т.д.), так и в различных разделах теоретической физики. Например, Ф. п. стало стандартным аппаратом квантовой теории поля (См. Квантовая теория поля), широко используется в методе функций Грина для неравновесных задач квантовой механики и термодинамики, в теории рассеяния и т.д.

Лит.: Снеддон И., Преобразование Фурье, пер. с англ., М., 1955; Владимиров В. С., Обобщенные функции в математической физике, М., 1976.

обобщенной функции - расширение операции преобразования Фурье с основных функций на обобщенные функции. Пусть К - пространство основных функций, на к-ром определена операция преобразования Фурье F,

причем F- изоморфизм Кна пространство основных функций Тогда операция преобразования Фурье определяемая на пространстве обобщенных функций равенством

осуществляет изоморфизм на пространство основных функций К'.

Примеры. 1) Здесь обратной операцией к Fслужит операция

и справедливы основные формулы для

2) где -совокупность функций таких, что и

3) K = D, где Z - совокупность целых функций удовлетворяющих условию роста; существует число что для любого найдется С _N > 0 такое, что

Ряды Фурье обобщенной функции. Если обобщенная функция f-периодическая с n-периодом Т = (Т ₁,..., Т _п), T_j> 0, то и ее можно разложить в тригонометрич. ряд

сходящийся к f в S'; здесь

Примеры. 4) в частности

5) в частности

6) где -функция Хeвисайда.

Преобразование Фурье свертки обобщенных функций. Пусть прямое произведение обобщенных функций f и gиз допускает расширение на функции вида Именно, пусть для любой последовательности

из со свойствами: (равномерно на любом компакте), числовая последовательность имеет предел, обозначаемый не зависящий от последовательности из указанного класса. В этом случае функционал f*g, действующий по формуле

наз. сверткой обобщенных функций f и g, Свертка существует не для любых пар обобщенных функций f и g. Она заведомо существует, если при любом R> 0 множество

ограничено в (в частности, если f или gфинитна). Если свертка f * g существует, то она коммутативна, f * g = g* f, и коммутирует со сдвигом и с производной: -функция Дирака играет роль лединицы

одно из интегральных преобразований,- линейный оператор F, действующий в пространстве, элементами к-рого являются функции f(х)от пдействительных переменных. Минимальной областью определения Fсчитается совокупность бесконечно дифференцируемых финитных функций j. Для таких функций

В нек-ром смысле наиболее естественной областью определения Fявляется совокупность Sбесконечно дифференцируемых функций исчезающих на бесконечности вместо со своими производными быстрее любой степени| х|. Формула (1) сохраняется для и при этом Более того, Fосуществляет изоморфизм Sна себя, обратное отображение F^-1 -обращение Ф. п., обратное преобразование Фурье, -задается формулой:

Формула (1) еще действует в пространстве суммируемых функций. Дальнейшее расширение области определения оператора Fтребует обобщения формулы (1). В классич. анализе такие обобщения строятся для локально суммируемых функций с теми или иными ограничениями на их поведение при (см. Фурье интеграл). В теории обобщенных функций определение оператора Fосвобождено от многих требований классич. анализа.

Основные задачи, связанные с изучением Ф. п. F:исследование области определения Ф оператора . и области его значений свойства отображения (в частности, условия существования обратного оператора F^-l и его выражение). Формула обращения Ф. п. весьма проста:

F^-l[g(x)]=F [g(-x)].

Под действием Ф. п. линейные операторы в исходном пространстве, инвариантные относительно сдвига, переходят в пространстве образов в операторы умножения (при нек-рых условиях). В частности, свертка функций f и gпереходит в произведение функций Ff и Fg:

дифференцирование порождает умножение на независимую переменную:

В пространствах оператор Fопределен формулой (1) на множестве и является ограниченным оператором из в

(неравенство Хаусдорфа - Юнга). По непрерывности Fдопускает продолжение на все пространство к-рое (для дается формулой

где сходимость понимается по норме пространства Если образ пространства L_p под действием оператора Fне совпадает с L_q, т. е. вложение строгое при (случай р = 2 см. в статье Планшереля теорема). Обратный оператор F^-l определен на FL_p формулой

Задача о распространении Ф. п. на возможно широкий класс-функций постоянно возникает в анализе и его приложениях. См.. напр., Фурье преобразование обобщенной функции.

Лит.:[1] Титчмарш Е., Введение в теорию интегралов Фурье, пер. с англ., М.- Л., 1948; [2] 3игмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т. 2, М., 1965; [3] Стейн И., Вейс Г., Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах, пер. с англ., М., 1974.

П. И. Лизоркин.