«Пуассоновский процесс»

случайный процесс, описывающий моменты наступления 0 <>₁ <><>_n <>Пуассона распределение и независимы числа событий, происходящих в непересекающиеся промежутки времени.

Пусть μ(s, t)—число событий, моменты наступления которых τ_i удовлетворяют неравенствам 0 ≤ s <>_i ≤ t, и пусть λ(s, t) —математическое ожидание μ(s, t). Тогда и П. п. при любых 0 ≤ s₁ <>₁≤ s₂t₂ ≤... ≤ s_r <>t_r случайные величины μ(s₁, t₁), μ(s₂, t₂),... μ(s_r, t_r) независимы и вероятность того, что μ(s, t)= n, равна

e^{-λ(s, t)} [λ(s, t)] ⁿ /n!.

В однородном П. п. λ(s, t)= a(t — s), где а — среднее число событий в единицу времени, расстояния τ_n —τ_n-1между соседними моментами τ_n независимы и имеют Показательное распределение с плотностью ae^-at, t ≥ 0.

Если имеется много независимых процессов, описывающих моменты возникновения некоторых случайных редких событий, то суммарный процесс при определённых условиях в пределе даёт П. п.

П. п. представляет собой удобную математическую модель, которая часто используется в различных приложениях теории вероятностей. В частности, с помощью П. п. описывается поток требований (например, вызовов, поступающих на телефонную станцию, выездов медицинских машин скорой помощи при транспортных происшествиях в большом городе) в массового обслуживания теории (См. Массового обслуживания теория).

Обобщением П. п. является пуассоновское случайное распределение точек на плоскости или в пространстве, при котором число точек в любой фиксированной области имеет распределение Пуассона (со средним, пропорциональным площади или объёму области) и числа точек в непересекающихся областях независимы. Это распределение часто используется при расчётах в астрономии, физике, экологии, технике и т.д.

Лит.: Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., т. 1—2, М., 1967.

Б. А. Севастьянов.

Poisson process

- случайный процесс X(t).с независимыми приращениями X(t₂)-X(t₁), t₂>t_l имеющими Пуассона распределение. В однородном П. п. для любых t₂ > t₁

(1)

Коэффициент l>0 наз. интенсивностью пуассоновского процесса X(t). Траектории П. п. X(t). представляют собой ступенчатые функции со окачками размера 1. Моменты скачков 0<t₁<t₂<... образуют простейший поток, описывающий поток требований во многих системах массового обслуживания. Распределения случайных величин t₁-t_n-1 независимы при n=1,2,... и имеют показательную плотность

Одним из свойств П. п. является следующее: условное распределение моментов скачков 0<t₁<t₂<...<t_n<tпри X(t)-X(0)=псовпадает с распределением вариационного ряда независимой выборки объема n с равномерным распределением на [0, t], С другой стороны, если 0<t₁<t₂<...<t_n - описанный выше вариационный ряд, то при l получают в пределе распределение скачков П. п.

В неоднородном П. п. интенсивность l(t) зависит от времени tи распределение X(t₂)-X(t₁).определяется формулой

При определенных условиях П. п. может быть показан как предел суммы неограниченно возрастающего числа независимых "редких" потоков довольно общего вида. О нек-рых поучительных парадоксах, связанных с П. п., см. [3], т. 2, гл. 1.

Лит.:[1] Боровков А. А., Теория вероятностей, М., 1976; [2] ГихманИ. И., Скороход А. В., Ядренко М. И., Теория вероятностей и математическая статистика, К., 1979; [3] Феллер В., Введение в теорию вероятностей и её приложения, 2 изд., пер. с англ., т. 1 - 2, М., 1967.

Б. А. Севастьянов.