Большая Советская энциклопедия

    ограничение на поведение приращения функции. Если для любых точек х и х', принадлежащих отрезку [а, b], приращение функции удовлетворяет неравенству

    ∣f(x) — f(x')∣ ≤ М∣х - х'∣α

    где 0 f(x) удовлетворяет условию Липшица порядка α на отрезке [a, b], и пишут: f(x) ∈ Lipα. Каждая функция, удовлетворяющая при каком-либо α > 0 Л. у. на отрезке [а, b], равномерно непрерывна на [а, b]. Функция, имеющая на [а, b] ограниченную производную, удовлетворяет на [а, b] Л. у. с любым α ≤ 1. Л. у. впервые рассмотрел в 1864 нем. математик Р. Липшиц (R. Lipschitz; 1832 — 1903) в качестве достаточного условия для сходимости ряда Фурье функции f(x). Иногда, исторически неправильно, связывают с именем Липшица только наиболее важный случай Л. у. с α = 1, а в случае α Гёльдера неравенство).

  1. Источник: Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.



  2. Математическая энциклопедия

    интегральное - ограничение на поведение приращения функции в интегральной метрике. Функция f(x).из пространства с удовлетворяет на отрезке [ а, b]интегральному Липшица условию порядка a>0 с постоянной М>0, если

    при всех В этом случае пишут или или или Для случая периодич. функций (с периодом b - а).интегральное Л. у. определяется аналогично, только в неравенстве (*) верхний предел интегрирования b-h следует заменить на b.

    Лит.:[1] Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., 2 изд., т. 1-2, М., 1965; [2]. Никольский С. М., Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, 2 изд., М., 1977; [3] Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М., Интегральное представление функций и теоремы вложения, М., 1975. А. В. Ефимов.

  3. Источник: Математическая энциклопедия



  4. Математическая энциклопедия

    - ограничение на поведение приращения функции. Если для любых точек хи х', принадлежащих отрезку [а, Ь], приращение функции f удовлетворяет неравенству

    где и М - нек-рая постоянная, то говорят" что функция f (х).на отрезке [а, b]удовлетворяет условию Липшица порядка a, и пишут: или или Каждая; функция, удовлетворяющая при каком-либо a>0 Л. у. на отрезке [ а, b], равномерно непрерывна на [ а, b], a функции, удовлетворяющие Л. у. степени a=1,- абсолютно непрерывны. Функция, имеющая на [ а, b]ограниченную производную, удовлетворяет на [ а, b] Л. у. с любым

    Л. у. (*) эквивалентно условию

    где - непрерывности модуль функции f(x).на отрезке [ а, b]. Л. у. впервые рассматривалось Р. Липшицем [1] в качестве достаточного условия для сходимости ряда Фурье функции f(x). Условие (*) в случае 0<a<1 наз. также Гёлъдера условием степени a.

    Лит.:[1] Lipschitz R., "j. reine und angew. Math.",. 1864, Bd 63, S. 296-308; [2] Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., 2 изд., т. 1 - 2, М., 1965; [3] Натансон И. П., Конструктивная теория функций, М.- Л., 1949.

    А. В. Ефимов.

  5. Источник: Математическая энциклопедия