Коши распределение в словарях и энциклопедиях
специальный вид распределения вероятностей случайных величин. Введено О. Коши; характеризуется плотностью
p(x)=λ> 0;
характеристическаяфункция
К. р. — унимодально и симметрично относительно точки х = μ, являющейся его модой (См. Мода) и медианой (См. Медиана). Ни один из моментов, К. р. положительного порядка не существует. На рис.дано К. р. при μ = 1,5, λ= 1.
Распределение Коши: а — плотность вероятности; б — функция распределения.
- распределение вероятностей с плотностью
и ф-цией распределения
- параметр сдвига, >0 - параметр масштаба. Рассмотрено в 1853 О. Коши. Характеристическая функция К. р. равна ехр ; моменты порядка р 1 не существуют, поэтому больших чисел закон для К. р. не выполняется [если X1..., Х n- независимые случайные величины с одинаковым К. р., то n-1( Х 1 +... + Х n) имеет то же К. р.]. Семейство К. р. замкнуто относительно линейных преобразований: если случайная величина X имеет распределение (*), то аХ+b также имеет К. р. с параметрами , . К. р.- устойчивое распределение с показателем 1, симметричное относительно точки х=. К. р. имеет, напр., отношение X/Y независимых нормально распределённых случайных величин с нулевыми средними, а также ф-ция , где случайная величина Z равномерно распределена на . Рассматривают также многомерные аналоги К. р.
Лит.: Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., [3 изд.], т. 2, М., 1984.
К. А. Боровков.
- непрерывное распределение вероятностей с плотностью
и функцией распределения
где - параметры. К. р. одновершинно и симметрично относительно точки x=m, являющейся модой и медианой этого распределения. Моменты положительного порядка, в том числе и математич. ожидание, не существуют. Характеристич. функция имеет вид Класс К. р. замкнут относительно линейных преобразований: если случайная величина X имеет К. р. с параметрами l и m, то случайная величина Y=aX+b также имеет К. р. с параметрами l'-|a|l и m'=am+b. Класс К. р. замкнут относительно операции свептки:
иначе, сумма независимых случайных величин с К. р. снова имеет К. р. Таким образом, К. р., также как нормальное распределение, принадлежит к классу устойчивых распределений, а именно, является симметричным устойчивым распределением с показателем 1. Следствием соотношения (*) является следующее свойство К. р.: если случайные величины X1,..., Х n независимы и имеют одно и то же К. р., то арифметическое среднее имеет такое же распределение, как и каждая величина Х k. Еще одна особенность К. р. состоит в том, что в семействе К. р. распределение суммы случайных величин может быть задано формулой (*), даже если величины зависимы: напр., если Xи Y независимы и имеют одинаковое К. р., то случайные величины Х+Х и X+Y имеют одно и то же К. р. К. р. с параметрами есть t-распределение Стьюдента с числом степеней свободы, равным 1. К. р. с параметрами совпадает с распределением случайной величины где Xи Yнезависимы и нормально распределены с параметрами (0, ) и (0, 1) соответственно. Такое же К. р. имеет функция " случайной величины z, равномерно распределенной на отрезке К. р. определяется также и в пространствах размерности больше единицы. К. р. рассмотрено О. Коши (A. Cauchy).
Лит.:ШФеллер В., Введение и теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., т. 2, М., 1967. А. В. Прохоров.