Большая Советская энциклопедия

    специальный вид распределения вероятностей случайных величин. Введено О. Коши; характеризуется плотностью

    p(x)=λ> 0;

    характеристическаяфункция

    К. р. — унимодально и симметрично относительно точки х = μ, являющейся его модой (См. Мода) и медианой (См. Медиана). Ни один из моментов, К. р. положительного порядка не существует. На рис.дано К. р. при μ = 1,5, λ= 1.

    Распределение Коши: а — плотность вероятности; б — функция распределения.

  1. Источник: Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.



  2. Физическая энциклопедия

    КОШИ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

    - распределение вероятностей с плотностью

    2529-65.jpg

    и ф-цией распределения

    2529-66.jpg

    2529-67.jpg - параметр сдвига, 2529-68.jpg>0 - параметр масштаба. Рассмотрено в 1853 О. Коши. Характеристическая функция К. р. равна ехр 2529-69.jpg; моменты порядка р 2529-70.jpg1 не существуют, поэтому больших чисел закон для К. р. не выполняется [если X1..., Х n- независимые случайные величины с одинаковым К. р., то n-1( Х 1 +... + Х n) имеет то же К. р.]. Семейство К. р. замкнуто относительно линейных преобразований: если случайная величина X имеет распределение (*), то аХ+b также имеет К. р. с параметрами 2529-71.jpg, 2529-72.jpg. К. р.- устойчивое распределение с показателем 1, симметричное относительно точки х=2529-73.jpg. К. р. имеет, напр., отношение X/Y независимых нормально распределённых случайных величин с нулевыми средними, а также ф-ция 2529-74.jpg, где случайная величина Z равномерно распределена на 2529-75.jpg. Рассматривают также многомерные аналоги К. р.

    Лит.: Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., [3 изд.], т. 2, М., 1984.

    К. А. Боровков.

  3. Источник: Физическая энциклопедия



  4. Математическая энциклопедия

    - непрерывное распределение вероятностей с плотностью

    и функцией распределения

    где - параметры. К. р. одновершинно и симметрично относительно точки x=m, являющейся модой и медианой этого распределения. Моменты положительного порядка, в том числе и математич. ожидание, не существуют. Характеристич. функция имеет вид Класс К. р. замкнут относительно линейных преобразований: если случайная величина X имеет К. р. с параметрами l и m, то случайная величина Y=aX+b также имеет К. р. с параметрами l'-|a|l и m'=am+b. Класс К. р. замкнут относительно операции свептки:

    иначе, сумма независимых случайных величин с К. р. снова имеет К. р. Таким образом, К. р., также как нормальное распределение, принадлежит к классу устойчивых распределений, а именно, является симметричным устойчивым распределением с показателем 1. Следствием соотношения (*) является следующее свойство К. р.: если случайные величины X1,..., Х n независимы и имеют одно и то же К. р., то арифметическое среднее имеет такое же распределение, как и каждая величина Х k. Еще одна особенность К. р. состоит в том, что в семействе К. р. распределение суммы случайных величин может быть задано формулой (*), даже если величины зависимы: напр., если Xи Y независимы и имеют одинаковое К. р., то случайные величины Х+Х и X+Y имеют одно и то же К. р. К. р. с параметрами есть t-распределение Стьюдента с числом степеней свободы, равным 1. К. р. с параметрами совпадает с распределением случайной величины где Xи Yнезависимы и нормально распределены с параметрами (0, ) и (0, 1) соответственно. Такое же К. р. имеет функция " случайной величины z, равномерно распределенной на отрезке К. р. определяется также и в пространствах размерности больше единицы. К. р. рассмотрено О. Коши (A. Cauchy).

    Лит.:ШФеллер В., Введение и теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., т. 2, М., 1967. А. В. Прохоров.

  5. Источник: Математическая энциклопедия