«Общее решение»

обыкновенного дифференциального уравнения

у ⁽ⁿ⁾ = f (х, у, у',..., у ^(n-1)) —семейство функций у=φ(x, C₁,..., С_п),

непрерывно зависящих от n произвольных постоянных C₁,..., C_n, такое, что при соответствующем выборе этих постоянных может быть получено любое решение уравнения (Частное решение), однозначно определяемое начальными данными, заполняющими некоторую область n-мерного пространства (см. Дифференциальные уравнения, Коши задача). Если каждая функция у, определяемая соотношением Φ(x, у, C₁,..., С_п) = 0 (и удовлетворяющая соответствующим условиям гладкости), представляет собой О. р. дифференциального уравнения, то такое соотношение называется общим интегралом (См. Общий интеграл) дифференциального уравнения. Например, для дифференциального уравнения y' = — х/у функции х² + y² = C²(семейство окружностей) есть общий интеграл (рис.).

Аналогично определяется О. р. для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Лит.: Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959.

Рис. к ст. Общее решение.

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ дифференциального уравнения - семейство функций, зависящих от произвольных постоянных, такое, что при соответствующем выборе этих постоянных может быть получено любое частное решение уравнения. Напр., для уравнения dу=2xdx общим решением является y=x2+C, где С - произвольная постоянная.

general solution

general solution

о́бщее реше́ние

дифференциального уравнения, семейство функций, зависящих от произвольных постоянных, такое, что при соответствующем выборе этих постоянных может быть получено любое частное решение уравнения. Например, для уравнения dy = 2xdx общим решением является у = х² + С, где С — произвольная постоянная.

* * *

О́БЩЕЕ РЕШЕ́НИЕ дифференциального уравнения, семейство функций, зависящих от произвольных постоянных, такое, что при соответствующем выборе этих постоянных может быть получено любое частное решение уравнения. Напр., для уравнения dу=2xdx общим решением является y=x²+C, где С — произвольная постоянная.

системы обыкновенных дифференциальных уравнений п- гопорядка

в области G- гладкое по t и непрерывное по совокупности параметров n-параметрическое семейство вектор-функций

откуда при соответствующем выборе значений параметров получается любое решение системы, график к-рого проходит в области ; здесь область, где выполнены условия теоремы существования и единственности для системы (1). (Иногда условливаются, что параметры могут принимать и значения .) Геометрически О. р. системы (1) в области Gпредставляет собой семейство непересекающихся интегральных кривых этой системы, полностью заметающих всю область.

О. р. системы (1) в области Gпозволяет найти решение задачи Коши для этой системы с начальным условием нужно из системы правенств определить значения ппараметров С ₁ ,..., С _n и подставить эти значения в (2). Если - решение системы (1), удовлетворяющее условию то n-параметрическое семейство где - фиксированное число, а рассматриваются как параметры, является О. р. системы (1) в нек-рой области и наз. О. р. в форме Коши. Знание О. р. позволяет однозначно восстановить систему дифференциальных уравнений: для этого надо из псоотношений (2) и из псоотношений, получающихся дифференцированием соотношений (2) по t, исключить ппараметров

В случае обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка

О. р. в области Gимеет вид n-параметрического семейства функций

из к-рого при соответствующем выборе значений параметров получается решение уравнения (3) с любыми начальными условиями

здесь - область, где выполнены условия теоремы существования и единственности для уравнения (3).

Функция, получающаяся из О. р. при конкретных значениях параметров, наз. частным решением. Семейство функций, содержащее все решения данной системы (уравнения) в нек-рой области, не всегда удается выразить в виде явной функции независимой переменной. Это семейство может оказаться записанным в виде неявной функции - и тогда оно наз. общим интегралом- или в параметрич. виде.

Если конкретное обыкновенное дифференциальное уравнение (3) допускает интегрирование в замкнутой форме (см. Интегрирование дифференциальных уравне ний в замкнутой форме), то часто удается получить соотношение типа (4), где параметры возникают как постоянные интегрирования и оказываются произвольными постоянными. (Именно поэтому часто говорят, что О. р. уравнения n-го порядка содержит га произвольных постоянных.) Однако такое соотношение далеко не всегда является О. р. во всей области существования и единственности решения задачи Коши для исходного уравнения.

Лит.:[1] Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1950; [2] Вругин Н. П., Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений, 3 изд., Минск, 1971).

Н. X. Розов.

general solution

soluzione generale

зага́льний ро́зв'язок

зага́льний ро́зв'язок

дифференциального уравнения, семейство функций, зависящих от произвольных постоянных, такое, что при соотв. выборе этих постоянных может быть получено любое частное решение ур-ния. Напр., для ур-ния dy = 2xdx О. р. является у = х² + С, где С произвольная постоянная.