«Поле направлений»

совокупность точек плоскости хОу, в каждой из которых задано определённое направление, изображающееся обычно стрелкой (небольшим отрезком), проходящей через данную точку. Если дано уравнение y'=-f(x, у), то в каждой точке (х_0, у₀) некоторой области плоскости хОу известно значение углового коэффициента k= f(x₀, y₀) касательной к интегральной кривой (См. Интегральная кривая), проходящей через эту точку; направление касательной можно изобразить стрелкой (небольшим отрезком). Таким образом, это дифференциальное уравнение определяет П. н.; наоборот, П. н., заданное в некоторой области плоскости хОу, определяет дифференциальное уравнение вида y'=f(x, y). Проводя достаточно густую сеть изоклин [линий одинакового наклона П. н. f(x, у)= С, где С — постоянная], можно приближённо построить семейство интегральных кривых как совокупность линий, имеющих в каждой своей точке направление, совпадающее с направлением поля (метод изоклин). На рис. изображено П. н. уравнения у'=х²+у²; тонкие линии (окружности) — изоклины; жирные линии — интегральные кривые.

Лит.: Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959; Петровский И. Г., Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, 6 изд., М., 1970.

Рис. к ст. Поле направлений.

мат. directional field