Исчерпывания метод в словарях и энциклопедиях
метод доказательства, применявшийся математиками древности при нахождении площадей и объёмов. Название «метод исчерпывания» введено в 17 в.
Типичная схема доказательства при помощи И. м. может быть изложена в современных обозначениях так: для определения величины А строится некоторая последовательность величин C1, C2, ..., Cn, ... так, что
Cn <>A; (1)
предполагают также известным такое В, что
Cn В (2)
и при любом целом К для достаточно больших n удовлетворяются неравенства
К (A — Cn) <>D, К (В — Cn) <>D, (3)
где D — постоянно. С современной точки зрения, для перехода от неравенств (3) к равенству
А = В (4)
достаточно заметить, что из условий (1), (2) и (3) следует
Математики древности, не располагавшие теорией Пределов, обращались к доказательству от противного и доказывали невозможность каждого из неравенств АВ, ВА. Чтобы опровергнуть первое из них, при помощи аксиомы Евдокса — Архимеда (см. Архимеда аксиома) устанавливали, что для R=B — А существует такое К, что KR>D и в силу условия (1) получали
К (В — Cn)> К (В — A) > D,
что противоречит второму из неравенств (3). Аналогично опровергалось другое предположение. После этого оставалось принять только равенство (4).
Введение И. м. вместе с лежащей в его основе аксиомой приписывается Евдоксу Книдскому. Этим методом широко пользовался Евклид, а с особенным искусством и разнообразием — Архимед. Например, для определения площади сегмента А параболы Архимед строит площадиC1, C2, ..., «исчерпывающие» при их постепенном нарастании площадь A сегмента, по схеме, ясной из чертежа. При этом
Вместо того чтобы прибегнуть к предельному переходу,
Архимед геометрически доказывает, что при любом n
Вводя площадь
Архимед получает, что
и, следуя изложенному выше порядку, заканчивает доказательство того, что
Рис. к ст. Исчерпывания метод.
ИСЧЕРПЫВАНИЯ метод - метод доказательства, применявшийся математиками древности при нахождении площадей и объемов.
исче́рпывания ме́тод
метод доказательства, применявшийся математиками древности при нахождении площадей и объёмов.
* * *
ИСЧЕРПЫВАНИЯ МЕТОДИСЧЕ́РПЫВАНИЯ МЕ́ТОД, метод доказательства, применявшийся математиками древности при нахождении площадей и объемов.
- метод доказательства, применявшийся математиками древности при нахождении площадей и объемов. Назв. "метод исчерпывания" введено в 17 в.
Типичная схема доказательства при помощи И. м. может быть изложена в современных обозначениях так: для определения величины Астроится нек-рая последовательность величин C1, C2,..., С п,... так, что
предполагают также известным такое В, что
и при любом целом Кдля достаточно больших пудовлетворяются неравенства
где D- постоянно. С современной точки зрения, для перехода от неравенства (3) к равенству
достаточно заметить, что из условий (1), (2) и (3) следует
Математики древности, не располагавшие теорией пределов, обращались к доказательству от противного и доказывали невозможность каждого из неравенств А<В, В<А. Чтобы опровергнуть первое из них, при помощи Архимеда аксиомы устанавливали, что для R=B-A существует такое К, что KR>D, и в силу условия (1) получали
что противоречит второму из неравенств (3). Аналогично опровергалось другое предположение. После этого оставалось принять только равенство (4).
Введение И. м. вместе с лежащей в его основе аксиомой приписывается Евдоксу Книдскому. Этим методом широко пользовался Евклид, а с особенным искусством и разнообразием - Архимед. Напр., для определения площади сегмента Апараболы Архимед строит площади С 1, С 2,...,"исчерпывающие" при их постепенном нарастании площадь Асегмента.
При этом
Вместо того чтобы прибегнуть к предельному переходу
Архимед геометрически доказывает, что при любом п
Вводя площадь
Архимед получает, что
и, следуя изложенному выше порядку, закапчивает доказательство того, что