название формулы, выражающей любую целую положительную степень суммы двух слагаемых (бинома, двучлена) через степени этих слагаемых, а именно:
(1)
(1) где n — целое положительное число, а и b — какие угодно числа.
Частными случаями Н. б. при n = 2 и n = 3 являются известные формулы для квадрата и куба суммы а и b: (а + b)2 = а2 + 2ab + b2, (а + b)3 =а3 + 3a2b + 3ab2 + b3; при n = 4 получают (а + b)4 = a4+ 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + b4 и т.д.
Коэффициенты формулы (или разложения) Н. б. называют биномиальными коэффициентами; коэффициент при an-kbk обозначается так: Cnk. Последнее обозначение связано с комбинаторикой (См. Комбинаторика): Cnkесть число сочетаний из nразличных между собой элементов, взятых по k. Биномиальные коэффициенты обладают многими замечательными свойствами: все они целые положительные числа; крайние коэффициенты равны единице; коэффициенты членов, равноотстоящих от концов, одинаковы; коэффициенты возрастают от краев к середине; сумма всех коэффициентов равна 2n. Особенно важное значение имеет следующее свойство: сумма двух соседних коэффициентов в разложении (а + b) n равна определённому коэффициенту в разложении (а + b) n+1; например, суммы 1+3, 3+3, 3+1 соседних коэффициентов в формуле для (а + b)3 дают коэффициенты 4, 6 и 4 в формуле для (а + b)4. Вообще:
Пользуясь этим свойством, можно, отправляясь от известных коэффициентов для (а + b)1, получить путём сложения биномиальные коэффициенты для любого n. Выкладки располагают в виде таблицы (см. Арифметический треугольник).
Формула Н. б. для целых положительных показателей была известна задолго до И. Ньютона (См. Ньютона бином); но им была указана (1676) возможность распространения этого разложения и на случай дробного или отрицательного показателя (хотя строгое обоснование этого было дано лишь Н. Абелем (См. Абель), 1826). В этом более общем случае формула Н. б. начинается так же, как формула (1); коэффициентом при an-kbk служит выражение п, обращается в нуль при всяком k > п, вследствие чего формула (1) содержит лишь конечное число членов. В случае же дробного или отрицательного n все биномиальные коэффициенты отличны от нуля, и правая часть формулы содержит бесконечный ряд членов (биномиальный ряд). Если |b| <>а|, то этот ряд сходится, т. е., взяв достаточно большое число его членов, можно получить величину, сколь угодно близкую к (а + b) n (см. Ряд). Формула Н. б. играет важную роль во многих областях математики (алгебре, теории чисел и др.).
НЬЮТОНА БИНОМ - формула, выражающая целую положительную степень суммы двух слагаемых (двучлена, бинома) через степени этих слагаемых (коэффициенты при них называются биномиальными коэффициентами; их обозначают или : Частными случаями бинома Ньютона при n=2 и n=3 являются формулы квадрата и куба суммы двух слагаемых x и y.
название формулы, позволяющей выписывать разложение алгебраической суммы двух слагаемых произвольной степени. Впервые была предложена Ньютоном в 1664-1665:
Коэффициенты формулы называются биномиальными коэффициентами. Если n - положительное целое число, то коэффициенты обращаются в нуль при любом r > n, поэтому разложение содержит лишь конечное число членов. Во всех остальных случаях разложение представляет собой бесконечный (биномиальный) ряд. (Условия сходимости биномиального ряда впервые были установлены в начале 19 в. Н. Абелем.) Такие частные случаи, как (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 и (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 были известны задолго до Ньютона. Если n - положительное целое число, то биномиальный коэффициент при an - rbr в формуле бинома есть число комбинаций из n по r, обозначаемое Crn или (nr). При небольших значениях n коэффициенты можно найти из треугольника Паскаля:в котором каждое из чисел за исключением единиц равно сумме двух соседних чисел, стоящих строкой выше. Для данного n соответствующая (n-я) строка треугольника Паскаля дает по порядку коэффициенты биномиального разложения n-й степени, в чем нетрудно убедиться при n = 2 и n = 3.
См. также
АЛГЕБРА;
ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ;
РЯДЫ.
Нью́тона бино́м
формула, выражающая целую положительную степень суммы двух слагаемых (двучлена, бинома) через степени этих слагаемых (коэффициенты при них называются биномиальными коэффициентами; их обозначают ):Частными случаями бинома Ньютона при n = 2 и n = 3 являются формулы квадрата и куба суммы двух слагаемых х и у.
* * *
НЬЮТОНА БИНОМНЬЮ́ТОНА БИНО́М, формула, выражающая целую положительную степень суммы двух слагаемых (двучлена, бинома) через степени этих слагаемых (коэффициенты при них называются биномиальными коэффициентами; их обозначают или:
Частными случаями бинома Ньютона при n=2 и n=3 являются формулы квадрата и куба суммы двух слагаемых x и y.
- формула разложения произвольной натуральной степени двучлена в многочлен, расположенный по степеням одного из слагаемых двучлена:
где - биномиальные коэффициенты.
Для пслагаемых формула (*) принимает вид
При произвольном показателе т, действительном или даже комплексном, в правой части (*) получается, вообще говоря, биномиальный ряд.
Постепенное освоение формулы Н. б., начинавшееся с ее простейших частных случаев (формул "квадрата суммы" и "куба суммы"), прослеживается уже с 11 в. Заслуга И. Ньютона (I. Newton), собственно говоря, состоит в открытии биномиального ряда.
Е. Д. Соломенцев.
ф-ла, выражающая целую положит. степень суммы двух слагаемых (двучлена, бинома) через степени этих слагаемых;
Частными случаями Н. б. при п = 2 и п = 3 являются ф-лы квадрата и куба суммы двух слагаемых х и у.