«Фредгольма уравнение»

- интегральное уравнение вида

- Ф. у. 1-го род а, или вида

- Ф. у. 2-го рода, если интегральный оператор

является вполне непрерывным в нек-ром функциональном пространстве Е. Предполагается, что свободный член f и искомая функция принадлежат пространству Е. Важным примером Ф. у. является уравнение, в к-ром ядро Кудовлетворяет условию

а Е=L₂([ а, b]).

Численный параметр и функции могут принимать как действительные, так и комплексные значения. О Ф. у. 1-го рода см. Интегральное уравнение с симметричным ядром и Некорректные задачи. Ниже рассматриваются лишь Ф. у. 2-го рода.

Метод последовательных приближений решения Ф. у. 2-го рода. Это - первый метод, к-рый был предложен для решения уравнения (1). Для формулировки этого метода пусть уравнение (1) записано в виде

Предполагается, что ядро Кудовлетворяет условию (3), a E=L₂([a, b]).Пусть начальное приближение искомого решения если (п-1)-е приближение построено, то

при этом

где К _т обозначает т- е итерированное ядро ядра К. Функция (5) является частичной суммой ряда

к-рый наз. рядом Неймана (или рядом Лиувилля - Неймана). Если то ряд (6) сходится в среднем к решению уравнения (1), и это решение - единственное (см., напр., [5]). Если существует такая положительная постоянная А, что

то ряд (6) сходится абсолютно и равномерно. Вообще говоря, ряд (6) расходится, если Именно, это так, если ядро Кимеет характеристич. число. Если же ядро не имеет характеристич. чисел (как, напр., в случае ядра Вольтерра), то ряд (6) сходится при любом значении

Meтод Фредгольма решения Ф. у. 2-го рода. Метод последовательных приближений дает возможность построить решение уравнения (1), вообще говоря, лишь при малых значениях параметра Метод, дающий возможность решить уравнение (1) для любого значения параметра был впервые предложен Э. Фредгольмом (Е. Fredholm, 1903). В предположении, что ядро Кнепрерывно на квадрате [ а, b][а, b],а свободный член и искомое решение непрерывны на сегменте [ а, b],ниже кратко описана идея этого метода.

Отрезок [ а, b]делится на правных частей длины h=(b-а)/п. Если заменить интеграл в (1) интегральной суммой, то точное уравнение (1) заменяется приближенным

Полагая в (7) последовательно x = s_i,..., s_n для определения приближенного значения неизвестной функции в точках s_j, получают линейную алгeбраич. систему

где Разрешимость системы (8) зависит от значения определителя

к-рый является многочленом относительно Если отличен от корней этого многочлена, то система (8) разрешима. Решив эту систему и подставив полученные значения в (7), получают приближенное решение уравнения (1)

где Qи - многочлены относительно Приведенный путь является одним из возможных вариантов построения приближенного решения Ф. у. (1) (см. [6]). Можно ожидать, что в пределе, когда так, что интегральная сумма в (7) совпадает с интегралом в (1), предел правой части в (9) совпадает с точным решением уравнения (1). С помощью формальных переходов к пределам в соответствующих выражениях Э. Фредгольм установил формулу, к-рая должна представлять решение уравнения (1)

где

Для вычисления А _т и В _т ( х, s )вместо формул (14), (15) можно воспользоваться следующими рекуррентными соотношениями:

Ряды (12) и (13) наз. рядами Фредгольма. Функцию наз. определителем Фредгольма ядра К, функцию - первым минором Фредгольма для а функцию (11) - резольвентой (или разрешающим ядром, или взаимным ядром) ядра К(пли уравнения (1)).

Обоснование упомянутых выше предельных переходов, к-рые приводят к формуле (10), было сделано Д. Гильбертом (см. Интегральное уравнение). Э. Фредгольм, построив формально ряды (12), (13), затем непосредственно строго доказал, что они сходятся для всех конечных значений параметра а ряд (13), кроме того, сходится равномерно по хи s па квадрате [ а,b][ а, b]. Установление связи между функциями и позволило ему доказать следующее предложение: если то уравнение (1) имеет одно и только одно решение, к-рое выражается формулой (10).

Из этого предложения вытекает, что значение параметра которое не является корнем определителя Фредгольма, есть регулярное значение для однородного уравнения, соответствующего уравнению (1):

т. е. это уравнение в рассматриваемом случае имеет лишь нулевое решение. Если - корень уравнения то есть полюс резольвенты (11) уравнения (1₀) и характсристич. число этого последнего уравнения. Чтобы построить по методу Фредгольма собственные функции, принадлежащие этому характеристическому числу, вводится понятие р-го минора Пусть

Тогда р-м минором для наз. ряд

к-рый при р=1 обращается в Ряд (16) сходится абсолютно для всех конечных значений и равномерно относительно x₁,..., х _р, s₁,..., s _р, удовлетворяющих неравенствам k = 1,..., р. Пусть теперь есть характеристич. число ядра К; так как D(0)=1. Пусть r- кратность корня уравнения Существует такое натуральное число что все миноры для порядок к-рых меньше q, тождественно равны нулю, а минор порядка qотличен от нуля. Существует нек-рая совокупность значений х'₁...., x'_q, s'₁,..., s'_q таких, что

Число qназ. рангом характеристич. числа Функции

являются линейно независимыми решениями уравнения (1₀).

Пусть характеристич. числу принадлежат собственные функции Эти функции наз. полной системой собственных функций уравнения (1₀) (или ядра К),принадлежащих числу если любая другая собственная функция, принадлежащая этому числу, есть линейная комбинация функций

Если является характеристич. числом однородного уравнения (1₀) с рангом q, то оно будет также собственным значением с рангом . и для союзного с (1₀) уравнения

причем полная система собственных функций уравнения (1₀) определяется формулами (17), а для уравнения (1'₀) - аналогичными формулами, построенными для союзного ядра К(s, х).

Если - характеристич. число ядра Кс рангом q, то уравнение (1) имеет решение тогда и только тогда, когда удовлетворяются условия:

где составляют полную систему собственных функций уравнения (1₀). Если условия (18) выполняются, то все решения уравнения (1) определяются формулой

где c₁,..., c_q - произвольные постоянные, - полная система собственных функций однородного уравнения (1₀), а функция Нопределяется равенством

Непрерывное ядро Кимеет не более счетного множества характеристич. чисел, к-рые могут иметь предельную точку только при

Сформулированные выше предложения для уравнения (1) называются Фредгольма теоремами. Эти теоремы Э. Фредгольм распространил на случай системы таких же уравнений, а также на случай одного класса ядер со слабой особенностью (см. Интегральный оператор).

Из сопоставления теорем Фредгольма вытекает Фредгольма альтернатива.

Часто в теоремах Фредгольма вместо союзного уравнения (1'₀) рассматривают сопряженное с (1) уравнение

В этом случае условия (18) заменяются условиями

Изложенный выше метод Фрeдгольма был обобщен Т. Карлеманом [9] (см. также [7], [11]) на случай, когда в уравнении (1) предполагаются интегрируемыми с квадратом функциями. И этих предположениях справедливы сформулированные выше результаты Фредгольма.

Кроме метода последовательных приближении и метода Фредгольма для решения Ф. у., Э. Шмидт (Е. Smidt) под влиянием исследовании Д. Гильберта разработал метод, основой к-рого является построение, независимо от теории Фредгольма, теории уравнения (1) с симметричным действительным ядром.

Исследования Д. Гильберта и Э. Шмидта подготовили почву для абстрактного изложения теории Фредгольма. Д. Гильберт обратил внимание на то, что теория Фредгольма в основном опирается на свойство т. н. полной непрерывности интегрального преобразования с ядром K. Это свойство Д. Гильберт сформулировал для билинейных форм. Ф. Рисc (см. [8]) показал, что основные результаты теории Фредгольма остаются в силе, если в уравнении (1) интегральный оператор заменить произвольным вполне непрерывным оператором, действующим в полном функциональном пространстве. Исследования Ф. Рисса были пополнены Ю. Шаудером (см. 110]) с помощью введения понятия сопряженного оператора в банаховом пространстве, что и дало возможность окончательной абстрактной формулировки в пространствах Банаха аналогов теорем Фредгольма. Эти теоремы часто наз. теоремами Рисса - Шаудера. Оператор V, участвующий в нижеприведенных формулировках этих теорем, предполагается действующим в банаховом пространстве Е; через Е* обозначено банахово пространство, сопряженное с Е, ачерез V* - сопряженный оператор.

Теорема 1. Однородное уравнение

и сопряженное с ним уравнение

имеют лишь нулевые решения или одинаковое конечное число линейно независимых решений

Теорема 2. Для разрешимости неоднородного уравнения

необходимо и достаточно, чтобы k=1,2,..., q;если эти условия выполнены и -какое-либо решение уравнения (21), то его общее решение имеет вид

где с _k - произвольные постоянные.

Теорема 3. Каково бы ни было круг содержит разве лишь конечное число характеристических значений оператора V, т. е. значений для к-рых уравнение имеет отличные от нуля решения.

Эти теоремы дают возможность обосновать справедливость теорем Фредгольма для уравнения (1) в случае различных конкретных классов интегрального оператора (2). Напр., если заданные и искомая функции интегрируемы с квадратом.

В качестве области интегрирования вместо отрезка [a, b]в уравнении (1) можно рассматривать нек-рое ограниченное или неограниченное измеримое множество Dв пространстве любого числа измерений. Вместо обычного интеграла можно брать интеграл Стилтьеса относительно неотрицательной меры.

Лит.:[1] Смирнов В. И., Курс высшей математики, 6 изд., т. 4, ч. 1, М., 1974; [2] Гуpса Э., Курс математического анализа, т. 3, ч. 2, пер. с франц., М.-Л., 1934: [3] Петровcкий И. Г., Лекции по теории интегральных уравнений, 3 изд., М., 1965; [4] Ловитт У., Линейные интегральные уравнения, пер. с англ., М., 1057; [5] Михлин С. Г., Лекции по линейным интегральным уравнениям, М., 1959; [6] Канторович Л. В., Крылов В. И., Приближенные методы высшего анализа, 5 изд., М.-Л.. 1962; [7] Михлин С. Г., лДокл., АН СССР

численные методы решения - методы приближенного решения интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода, сводящиеся к выполнению конечного числа действий над числами.

Пусть

- интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода, где - комплексное число, f(х) - известная вектор-функция, - искомая вектор-функция, К( х, s) - ядро уравнения (1), D - область в нек-ром m-мерном евклидовом пространстве. Ниже предполагается, что но принадлежит спектру интегрального оператора с ядром К(т. е. при данном уравнение (1) имеет единственное решение в нек-ром функциональном классе, соответствующем гладкости K). Выражение (1) естественно включает случай системы Ф. у.

Для общего описания проблем конструирования и исследования численных методов решения Ф. у. 2-го рода используется язык функционального анализа. Интегральное уравнение (1) можно записать как линейное операторное уравнение

где -искомый элемент нек-рого банахова пространства Ф, f - заданный элемент пространства Ф, А - линейный ограниченный оператор из Ф в Ф. Оператор Предполагается действующим обратимо из Ф в Ф. Схема любого численного метода решения уравнения (1) состоит в следующем. Пусть вообще говоря, отличное от Ф банахово пространство, нек-рым образом связанное с Ф, -линейный оператор из в Уравнение

наз. аппроксимирующим уравнением для (2). Обычно аппроксимирующий оператор подбирается так, чтобы либо было возможно непосредственное вычисление из (3), либо (более общо) можно было бы найти приближенное решение (3) вида

так, чтобы правую часть (4) можно было вычислить за конечное число арифметич. действий. Выражение означает проведение нек-рых действий над и в частности может быть просто операторной функцией от (напр., Выбор а также пространства прежде всего подчинен требованию близости (в каком-либо смысле) и точного решения уравнения (1), (2) и, вообще говоря, неоднозначен. Точно также для конкретного численного метода (конкретной формулы аппроксимации для А)выбор пространства также неоднозначен. Конкретный выбор Ф и диктуется требованиями лблизости" и также удобствами исследования. Специфика численных методов решения Ф. у. 2-го рода заключена в основном именно в той или иной конкретной аппроксимации оператора Апри помощи Поэтому обычно способ аппроксимации и дает название тому или иному методу численного решения уравнения (1), После того как выбраны близость и устанавливается с помощью теорем общей теории приближенных методов решения операторных уравнений.

В случае для установления близости и достаточно показать, что мала. При подходящем выборе Ф это удается сделать для большинства классич. методов приближенного решения Ф. у. 2-го рода.

В большинстве конкретных методов решение уравнения (3) легко редуцируется к решению системы линейных алгебраич. уравнений; для построения в (4) можно воспользоваться нек-рым алгоритмом решения систем линейных алгебраич. уравнений (см. Линейная алгебра;численные методы).

Основные способы построения аппроксимирующих операторов:

Методы квадратурных сумм и их обобщения являются наиболее распространенными методами аппроксимации интегрального оператора Ав уравнении (1). Основной из этих методов, применение к-рого возможно в случае непрерывных К(x, s). и f(x), состоит в замене интеграла (по s) в (1) какой-либо квадратурной формулой по сетке узлов

При этом

где - коэффициенты квадратурной формулы.

Аппроксимирующее уравнение (3) можно рассматривать как операторное в том же самом пространстве, что и основное уравнение (1) (напр., в пространстве C(D)непрерывных вектор-функций на D). В этом случае оно будет иметь вид

Уравнение (6) редуцируется к системе линейных алгебраич. уравнений относительно

Решение (точное или приближенное) системы (7) дает

Иногда само уравнение (7) считают аппроксимирующим уравнение (1), тогда уравнение (7) соответствует уравнению (3).

При таком подходе пространство не совпадает с Ф. Пространство можно, напр., естественно отождествить с факторпространством Ф по подпространству функций из Ф, обращающихся в нуль в точках {s_i}, i=1,..., N. Метод (5) допускает различные обобщения, к-рыми удобно пользоваться, напр., в случае разрывных К( х, и). В этих обобщенных методах оператор имеет вид

где -функции, связанные с ядром К( х, s).

См. также Квадратурных сумм метод.

Методы замены ядра на близкое используют аппроксимирующий оператор вида

где -нек-рая функция, близкая к К, но более просто устроенная. Чаще всего -вырожденное ядро, т. е.

Уравнение (3) в данном случае - интегральное Ф. у. с вырожденным ядром. Его решение сводится к решению системы линейных алгебраич. уравнений. Однако элементы матрицы полученной системы уравнений будут выражаться интегралами от известных функций и при численном решении их, вообще говоря, нужно аппроксимировать квадратурными суммами.

Существует много способов конкретного выбора по формуле (8) (см., напр., полос метод). Теоретич. исследование близости решений уравнений (3) и (1) в этих методах обычно значительно проще, чем, напр., в методах квадратурных сумм, т. к. в большинстве случаев можно положить и выбор Ф естественно определяется непосредственно постановкой задачи. Близость и К, как правило, обеспечивает близость Аи по норме Ф. Однако практич. реализация этих методов в большинстве случаев значительно более трудоемка по сравнению с методами квадратурных сумм и их обобщениями.

Проекционные методы приводят к аппроксимирующему уравнению (3) вида причем -подпространство Ф и Р- проектор на это подпространство. Произвол в выборе Ф, и даже самого Рприводит к многочисленным конкретным проекционным методам решения интегральных Ф. у. 2-го рода. Типичным примером проекционного метода является Галеркина метод. Для получения конкретных расчетных формул этого метода нужно (если это возможно) интегральное уравнение (1) трактовать как операторное уравнение в гильбертовом пространстве L₂(D) функций, интегрируемых с квадратом в D, и взять в качестве . ортопроектор, сопоставляющий функции из L₂(D) N -членный отрезок ее ряда Фурье по нек-рой полной ортонормальной в L₂ (D)системе функций

В другой интерпретации метод Галеркина эквивалентен методу замены ядра на вырожденное вида

с одновременной заменой правой части на близкую к ней:

Другим важным примером проекционных методов может служить коллокаций метод (совпадений метод). Если К( х, s )и f(х) - непрерывные функции, то уравнение (1) можно рассматривать как операторное (2) в пространстве С(D) - пространстве непрерывных функций на D. Метод коллокаций соответствует выбору Рв виде

где Z - интерполяционный полином Лагранжа, построенный по нек-рой сетке умов в D.

При практич. реализации большинства проекционных методов в применении к интегральным Ф. у. 2-го рода возникают трудности дополнительной аппроксимации появляющихся интегралов, что и делает эти методы (так же как и методы замены ядра на близкое) обычно более трудоемкими по сравнению с типичными методами квадратурных сумм. Однако это утверждение условно, так как сама классификация методов является условной. Напр., метод коллокаций можно интерпретировать как проекционный метод и как обобщенный метод квадратурных сумм.

Методы решения аппроксимирующих уравнений. Обычно решение аппроксимирующего уравнения (3) сводится к решению системы линейных алгебраич. уравнений. Методами последовательных приближений можно пользоваться (простейшими из них) при относительно малой неличине а при должной их модификации (напр.. при методе осреднения функциональных поправок) ими можно пользоваться при любых не принадлежащих спектру интегрального оператора А.

Получение последовательности уточняющих приближений. При теоретич. исследовании того или иного численного метода в большинстве случаев удаутся установить только сам факт сходимости приближений или к решению (1), (2) при сходимости к Ав каком-либо смысле, и весьма редко удается получить эффективные оценки близости или к решению (1), (2). Для контроля точности на практике используют последовательность приближенных решений уравнения (3) с уточняющимся оператором. В простейшем варианте контроля сравнивают два соседних члена в этой последовательности приближенных решений и прекращают дальнейшее получение приближений при совпадении двух предыдущих с заданной точностью. Громоздкость непосредственного получения членов такой последовательности частично преодолевается в разнообразных алгоритмах итеративного уточнения приближенного решения. Типичным примером подобных алгоритмов является следующий. Если последовательность {A_n} приближенных операторов сходится по норме какого-либо банахова функционального пространства Ф к Ав (2), то итеративная процедура

дает сходящуюся к последовательность приближений если f_n по норме сходится к f и А ₀ достаточно близок по норме к А. При использования последовательности (9) требуется только одно обращение оператора. Сходимость ее тем лучше, чем ближе А ₀ к A по норме. Удобен, напр., выбор операторов в виде (5). При нек-рых требованиях на ядро можно в этом случае установить равномерную сходимость к в D.

А. Б. Бакушинский.