«Ферми - Дирака статистика»

квантовая Статистическая физика, применимая к системам тождественных частиц с полуцелым Спином (¹/₂, ³/₂,... в единицах Планка постоянной (См. Планка постоянная) η). Ф. – Д. с. предложена Э. Ферми в 1926; в том же году П. Дирак выяснил её квантовомеханический смысл.

В квантовой физике состояние системы описывается волновой функцией (См. Волновая функция), зависящей от координат и спинов всех её частиц. Для системы частиц, подчиняющихся Ф. – Д. с. (Фермионов), волновая функция антисимметрична, т. е. меняет знак при перестановке любой пары тождеств. частиц. В 1940 В. Паули доказал, что тип статистики однозначно связан со спином частиц (в отличие от частиц с полуцелым спином, совокупность частиц с целым спином подчиняется Бозе – Эйнштейна статистике (См. Бозе - Эйнштейна статистика)). Согласно Ф. – Д. с., в каждом квантовом состоянии может находиться не более одной частицы (Паули принцип). Для идеального газа фермионов (Ферми-газа) в случае равновесия среднее число E_i определяется функцией распределения Ферми: i помечен набор квантовых чисел, характеризующих состояние частицы, k –Больцмана постоянная, Т –абсолютная температура газа, μ – Химический потенциал. Ф. – Д. с. применима к ферми-газам и ферми-жидкостям.

Д. Н. Зубарев.

статистика Ферми,- квантовая статистика, применимая к системам тождественных частиц с полуцелым спином (¹/₂,³/₂, ⁵/₂,... в единицах эрг х сек). Предложена Э. Ферми (Е. Fermi, 1926), ее квантово-механич. смысл выяснен П. Дираком (P. Dirac, 1926). Согласно Ф.- Д. с. в каждом квантовом состоянии может находиться не более одной частицы (принцип Паули). Для системы частиц, подчиняющихся Ф.- Д. с., квантовомеханич. состояния описываются волновыми функциями, антисимметричными относительно перестановок частиц (т. е. их координат и спинов), а для Бозе - Эйнштейна статистики она симметрична.

Квантовое состояние идеального газа определяется заданием совокупности чисел заполнения уровней системы в пространстве импульсов р и спинов где каждое указывает число частице импульсом р п спином В случае Ф.-Д. с. может быть равным нулю или единице.

Газ является системой из очень большого числа частиц, поэтому его квантовые уровни расположены очень плотно и стремятся к непрерывному спектру при стремлении объема к бесконечности. Уровни энергии удобно сгруппировать по малым ячейкам, содержащим G;уровней в ячейке. Каждой ячейке соответствует средняя энергия e_i, а число G_i предполагается очень большим. Квантовомеханич. состояние системы определяется набором {N_i},где N_i - число частиц в ячейке, т. е. сумма по уровням ячейки. Число различных распределений частиц по ячейкам (т. е. статистич. вес состояния идеального газа Ферми - Дирака) равно

и определяет вероятность распределения частиц по ячейкам, к-рые характеризуются числами заполнения N₁, N₂,... Статистич. вес вычислен с помощью комбинаторного анализа с учетом неразличимости частиц и того, что в каждом состоянии не может быть более одной частицы.

Наиболее вероятное распределение частиц по квантовым состояниям, соответствующее заданной энергии Еи числу частиц N

находится из экстремума статистич. веса (1) при дополнительных условиях (2). Соответствующие средние числа заполнения равны

где - химич. потенциал, k - постоянная Больцмана (универсальная постоянная k -1,38 x 10^-16 эрг/град), Т - абсолютная температура. Величины и m находятся из условий (2).

Энтропия идеального газа Ферми определяется логарифмом статистич. веса (1) для наиболее вероятного распределения (3)

где суммирование ведется по всем ячейкам. С помощью энтропии можно вычислить свободную энергию и другие термодинамич. функции.

В случае неидеального газа Ферми вычисление термодинамич. функций является сложной проблемой и не сводится к простой задаче комбинаторного анализа. Их вычисление основано на методе Гиббса с учетом Ф.- Д. с. Если известен оператор Гамильтона Я системы, то свободная энергия равна

где операция шпура берется по состояниям, удовлетворяющим требованиям Ф.- Д. с., т. е. по антисимметрическим волновым функциям. Этого можно достигнуть, если для H использовать представление, в к-ром его действие определено в пространстве волновых функций и чисел заполнения, т. е. перейти к представлению вторичного квантования.

Лит. см. при ст. Бозе- Эйнштейна статистика.

Д. Н. Зубарев.

[по имени итал. физика Э. Ферми (Е. Fermi) и англ. физика П. Дирака (P. Dirac)] - квантовая статистика, описывающая системы одинаковых частиц с полуцелым спином (в единицах h' = h/2ПИ, где h - Планка постоянная). К таким частицам (т. н. фермионам) относятся электроны, протоны, нейтроны, нейтрино, мюоны, атомные ядра с нечётным числом нуклонов и др.