Сферические функции в словарях и энциклопедиях
(Kugelfunctionen). — Выражение:
в котором α меньше единицы, a μ = Cosθ есть косинус некоторого угла θ, может быть разложено в следующий ряд, расположенный по возрастающим степеням а:
1 + аР1+ а2Р2+ а3P3+... + anPn+...,
в котором Ρ с разными индексами суть следующие функции от μ:
P1= μ, P2= (1/2)(3μ2— 1)
P3= (1/2)(5μ3— 3μ)...
и вообще Рnможет быть представлено так:
Рn= (1/2nn!)(dn/dμn)(μ2— 1)n, где п! = 1.2.3...n.
Функции эти, введенные Лапласом при рассмотрении вопросов о притяжении, носят название С. функций. Полную теорию этих функций можно найти в книге Heine "Handbuch d. Kugelfunctionen", a в книгах Thomson and Tait ("Treatise on natural philosophy"), Lamb ("Hydrodynamics", 1895) и Cl. Maxwell, "Traité d'électricité et de magnétisme" (trad. p. Lui Séligmann) объяснено значение этих функций в теории потенциала, притяжения, электричества, магнетизма и в гидродинамике; там же полная и рациональная теория С. функций.
Д. Б.
специальные функции, применяемые для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями, и для решения физических задач, обладающих сферической симметрией. С. ф. являются решениями дифференциального уравнения
получающегося при разделении переменных в Лапласа уравнении (См. Лапласа уравнение) в сферических координатах r, θ, φ. Общий вид решения:
где am — постоянные, l и порядка m, определяемые равенством:
где Рп —Лежандра многочлены.
С. ф. можно рассматривать как функции на поверхности единичной сферы. Функции
образуют полную ортонормированную систему на сфере, играющую ту же роль в разложении функций на сфере, что тригонометрическая система функций {e imφ}на окружности. Функции на сфере, не зависящие от координаты φ, разлагаются по зональным С. ф.:
С. ф. степени l
при вращении сферы линейно преобразуется по формуле:
(1)
(q–1M —точка, в которую переходит точка М сферы при вращении q–1). Коэффициенты l группы вращения сферы. Их называют также обобщёнными С. ф. Обобщённые С. ф. применяются при разложении векторных и тензорных полей на единичной сфере, решении некоторых задач теории упругости и т. д.
С формулой (1) связана теорема сложения для зональных С. ф.:
где cos γ = cos θ cos θ‘ + sinθ sinθ' cos (φ —φ’), γ — сферическое расстояние точки (θ, φ) от точки (θ', φ’).
Характерным примером многочисленных приложений С. ф. к вопросам математической физики и механики является применение их в теории потенциала. Пусть R с центром в начале координат; если а можно разложить в ряд С. ф. r, θ, φ), внешней относительно данной сферы, равен
а в каждой точке, внутренней по отношению к сфере, равен
Общий член каждого из этих двух рядов представляет собой шаровую функцию (См. Шаровые функции)соответственно степени n -1 и n.
С. ф. были введены А. Лежандроми П. Лапласом в конце 18 в.
Лит.: Бейтмен Г., Эрдей и А., Высшие трансцендентные функции, пер. с англ., т. 1—2, М., 1973; Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Основы теории специальных функций, М., 1974; Гобсон Е. В., Теория сферических и эллипсоидальных функций, пер. с англ., М., 1952; Lense J., Kugelfunktionen, 2 Aufl., Lpz., 1954.
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ (шаровые) - специальные функции, применяемые для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями.
(сферические гармоники) - спец. функции, возникающие, напр., при отыскании ограниченных решений ур-ния Лапласа Du = 0 в сферич. координатах (r, q, j) методом разделения переменных. Введены в кон. 18 в. А. Лежандром и П. Лапласом. Полагая и = и(r,q, j) = R(r)Y(q,j), после разделения переменных для Y(q, j) получаем ур-ние
частные решения к-рого - С. ф.- имеют вид звёздочка означает комплексное сопряжение. Ф-ция Qlт (х)(x = cosq) может быть выражена через полиномы Якоби Pl(a,b)(x), присоединённые ф-ции Лежандра Р ml (х )и полиномы Лежандра Pl(X )(см. Ортогональные полиномы):
[в нек-рых работах по квантовой механике в коэф. С lт вводят дополнит. множитель (-1)mil]. Общий вид решения ур-ния (*)
( С m - постоянные).
С. ф. образуют полную ортонормированную систему на сфере единичного радиуса (d - дельта-функция,dnn' - Кронекера символ). Эта система играет ту же роль в разложении ф-ций на сфере, что и тригонометрич. ф-ции на окружности. Для ф-ций Ylm(q, j) построены конечно-разностные ортогональные аналоги на дискретном множестве точек сферы.
Рекуррентное соотношение и ф-лы дифференцирования для С. ф. имеют вид
[при т=b(l+1) следует полагать Ylm(q, j) = 0].
Теорема сложения для С. ф. выражает полином Лежандра Pl(cosw) [w - угол между векторами r1 и r2, направления к-рых характеризуются углами q1, j1 и q2, j2:
через произведения С. ф.:
С помощью этой теоремы можно записать разложение потенциала (в точке r1) единичного заряда (расположенного в точке r2 )в виде
При вращении системы координат, определяемом углами Эйлера a, b, g, С. ф. преобразуются след, образом:
(q', j'-углы q, j в новой системе координат). Коэф. Dlmm'(a, b, g) наз. обобщёнными С. ф., или Вигнера функциями. Они связаны со С. ф. соотношениями
Лит.: Гобсон Е. В., Теория сферических и эллипсоидальных функций, пер. с англ., М., 1952; Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, пер. с англ., 2 изд., т. 2, М., 1974; Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Специальные функции математической физики, 2 изд., М., 1984: Справочник по специальным функциям, пер. с англ., М., 1979. А. Ф. Никифоров.
сфери́ческие фу́нкции
(шаровые), специальные функции, применяемые для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями.
* * *
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИСФЕРИ́ЧЕСКИЕ ФУ́НКЦИИ (шаровые), специальные функции, применяемые для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями.
шаровые функции, присоединенные функции Лежандра 1-го и 2-го рода, - два линейно независимых решения и дифференциального уравнения
где - комплексные постоянные, к-рое возникает при решении нек-рых классов дифференциальных уравнений с частными производными методом разделения переменных. Точки являются в общем случае точками ветвления решений. С. ф. являются частными случаями гипергеометрич. функции:
(arg z=0 при Im z=0, z > 0; arg(z2-1)=0 при Im z=0, z > 1).
С. ф. и определены и однозначны соответственно в областях|1-z|<2 и|z| >1 комплексной плоскости, разрезанной вдоль действительной оси от до +1.
Если Im z=0, z=x, -1<x<1, то обычно в качестве решений рассматриваются функции
где f(x+i0) (f( х-i0)).- значения функции f(z) на верхней (нижней) границе разреза.
При v=n=0, 1, 2,... - многочлены Лежандра. О зональных С. ф. см. ст. Сферическая гармоника.
Лит.:[1] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, пер. с англ., 2 изд., т. 2, М., 1974; [2] Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математич. таблицами, пер. с англ., М., 1979; [3] Уиттекер Э. Т., Ватсон Д ж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963; [4] Кратцер А., Франц В., Трансцендентные функции, пер. с нем., М., 1963; [5] Гобсон Е. В., Теория сферических и эллипсоидальных функций, пер. с англ., М., 1952.
Ю. А. Брычков, А. П. Прудников.
ф-ции. применяемые при изучении физ. явлений в пространств, областях, ограниченных сферич. поверхностями.
(шаровые), спец. функции, применяемые для изучения физ. явлений в пространственных областях, ограниченных сферич. поверхностями.
Большой Энциклопедический словарь. 2000.