«Аксиоматическая теория множеств»

формулировка множеств теории (См. Множеств теория) в виде формальной (аксиоматической) системы (см. Аксиоматический метод). Основным побудительным стимулом для построения А. т. м. явилось открытие в «наивной» теории множеств Г. Кантора. предназначенной для обоснования классической математики, Парадоксов (антиномий), т. е. противоречий. Все эти парадоксы (например, парадокс Кантора, связанный с рассмотрением «множества всех множеств», или парадокс Рассела, в котором рассматривается «множество всех множеств, не содержащих самих себя в качестве элемента») обусловлены неограниченным применением в канторовой теории множеств т. н. принципа свёртывания (или абстракции), согласно которому для всякого свойства существует множество, состоящее из всех предметов, обладающих этим свойством (этот принцип фактически содержится уже в первой фразе всех традиционных изложений теории множеств: «мы будем рассматривать произвольные множества элементов произвольной природы» и т.п.).

В первой из известных систем А. т. м. — системе Цермело — Френкеля, или ZF(сформулирована в 1908 Э. Цермело, пополнена в 1921 — 22 и позже А. Френкелем), принцип свёртывания заменяется несколькими его частными случаями: аксиомой существования пары {х,у}любых (данных) множеств х и у, аксиомой существования объединения всех элементов произвольного множества хв новое множество S (x), аксиомой существования множества Р(х) всех частей произвольного множества х, аксиомой существования бесконечного множества и т.н. схемами аксиом выделения (согласно которой для всякого множества хи свойства р существует множество элементов х, обладающих свойством φ) и подстановки (утверждающей, что для любого взаимно однозначного отображения элементов множества х, описываемого на языке системы ZF, существует множество таких z, на которые отображаются эти элементы х). Не подпадает под схему принципа свёртывания т. н. аксиома выбора (о существовании «множества представителей», т. е. множества содержащего в точности по одному элементу из каждого из данных непустых попарно непересекающихся множеств). Как и во всякой другой системе А. т. м., в ZF постулируется также аксиома объёмности (экстенсиональности), согласно которой множества, состоящие из одних и тех же элементов, совпадают. Иногда к ZF присоединяют некоторые др. аксиомы более специального назначения. Формулы ZF получаются из «элементарных формул» вида х∈ у («x принадлежит y») средствами исчисления предикатов (См. Исчисление предикатов).

Позднее были построены многочисленные видоизменения ZF и систем, отличающихся от ZF тем, что «плохие» (приводящие к парадоксам) совокупности элементов не вовсе исключаются из рассмотрения, а признаются «собственно классами», т. е. множествами, не могущими принадлежать в качестве элемента другим множествам (эта идея, идущая от Дж.Неймана, была затем развита швейцарским математиком П. Бернайсом, К.Гёделем (См. Гёдель) и др.). Системы эти, в отличие от ZF, могут быть заданы посредством конечного числа аксиом.

Другой подход к А. т. м. воплощён в теории типов Б. Рассела и А. Н. Уайтхеда (Англия, 1910—13) и её различных модификациях, в которых на аксиому свёртывания не накладывают типичных для ZFи др. систем ограничений, но реформируют сам язык теории: вместо одного алфавита переменных х, у, z... вводится бесконечная последовательность алфавитов: x₁, y₁, z₁,...; x₂, y₂, z₂,...;...; x_n, y_n, z_n,...;... различных «типов» n, а элементарные формулы имеют вид x_n∈y_n+1 или

x_n = y_n. Теории типов строятся на основе исчисления предикатов с различными видами переменных [а при естественной замене символики x_n∈y_n+1 на y_n+1(x_n) и x_n = y_n на x_n Аксиоматическая теория множеств y_n сами могут рассматриваться как системы расширенного исчисления предикатов, а не теории множеств]. В системе NF (New Foundation), введённой в 1937 американским математиком У. в. О. Куайном, комбинируются оба упомянутых подхода: язык NF — тот же, что в ZF, а аксиомы свёртывания должны получаться из аксиом теории типов удалением индексов при переменных.

Для различных систем А. т. м. и отдельных их аксиом рассматривался вопрос об их (относительной) непротиворечивости (См. Непротиворечивость). В 1940 К. Гёдель доказал относительную непротиворечивость аксиомы выбора и континуум-гипотезы (см. Континуума проблема) для описанной им системы ∑ и ZF; в дальнейшем этот результат был перенесён на теорию типов (самую слабую из перечисленных систем), а затем и на NF(в соответствующей форме). В 1963 американский математик П. Дж. Коэн доказал для ZF(а тем самым и для ∑ ) относительную непротиворечивость отрицания континуум-гипотезы, в т. ч. и в случае, если к ZF присоединена аксиома выбора. Он же доказал, что к ZF можно присоединить без возникновения противоречия аксиому о том, что континуум не может быть вполне упорядочен (из этой аксиомы сразу следует отрицание аксиомы выбора).

Упомянутых ограничений на принцип свёртывания (или на язык системы) достаточно, чтобы в А. т. м. не возникал ни один из известных парадоксов. Однако проблема абсолютной непротиворечивости, ввиду теоремы Гёделя о неполноте (см. Метатеория), требует привлечения существенно новых идей. В частности, полученное в 1960 доказательство непротиворечивости ZF (и теории типов, но не NF) потребовало привлечения средств т. н. ультраинтуиционизма.

Лит.: Гёдель К., Совместимость аксиомы выбора и обобщённой континуум-гипотезы с аксиомами теории множеств, пер. с англ., «Успехи математических наук», 1948, т. 3, в. 1; Есенин-Вольпин А. С., К обоснованию теории множеств, в сборнике: Применение логики в науке и технике, [М., I960], с. 22 — 118; Френкель А. А. и Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966 (библ.); Коэн П. Дж., Теория множеств и континуум-гипотеза, пер. с англ., М., 1969; Quine W. О. van, Set theory and its logic, Camb., 1963.

Ю. А. Гастев, А. С. Есенин-Вольпин.

axiomatic set theory

-направление в математич. логике, занимающееся изучением фрагментов содержательной теории множеств методами математич. логики. Обычно с этой целью фрагменты теории множеств оформляются в виде формальной аксиоматич. теории. В более узком смысле термин "А. т. м." может служить для обозначения к.-л. формальной аксиоматич. теории, направленной на построение нек-рого фрагмента содержательной ("наивной") теории множеств.

Теория множеств, возникшая на рубеже 19-20 вв., уже в самом начале своего развития натолкнулась на парадоксы. Открытие таких фундаментальных парадоксов, как Рассела и Кантора (см. Антиномия), вызвало широкую дискуссию и способствовало коренному пересмотру логико-математич. принципов. Аксиоматич. направление в теории множеств можно рассматривать как инструмент более детального изучения положения дел в создавшейся ситуации.

Построение формальной А. т. м. начинается с точного описания языка, на к-ром формулируются утверждения. Затем принципы "наивной" теории множеств выражаются на описанном языке в виде аксиом, схем аксиом. Ниже дано краткое описание нек-рых наиболее распространенных систем А. т. м. Важную роль при этом играет язык, содержащий следующие исходные символы: 1) переменные к-рые в языке играют роль общих имен множеств; 2) предикатные символы е (знак принадлежности) и = (знак равенства); 3) оператор дескрипции (означающий "такой объект, что..."); 4) логические связки и кванторы: (эквивалентно), (влечет), (или), (и), (не), (для всех), (существует); 5) скобки (, ). Выражения языка делятся на термы и формулы. Термы являются именами множеств, а формулы выражают суждения. Термы и формулы образуются согласно следующим правилам.

П1. Если - переменные или термы, то и суть формулы.

П2. Если Аи В - формулы и х - переменная, то суть формулы и - терм; переменная хесть терм.

Напр., формула выражает суждение "уесть подмножество z", ее естественно обозначить терм является именем множества всех подмножеств z, в привычной математич. символике его обозначают через Pz. Пусть знак означает "стоящее слева есть обозначение для стоящего справа". Приведем нек-рые дальнейшие обозначения для формул и термов.

Пустое множество:

Множество таких х, что (х).

где z не входит свободно в (х).(т. е. не является параметром формулы (х)).

Неупорядоченная пара хи у.

Одноэлементное множество из х:

Упорядоченная пара хи у:

Объединение хи у:

Пересечение хи у:

Объединение всех элементов х:

Декартово произведение х и у:

wесть функция:

Значение функции на элементе х:

zесть стандартное бесконечное множество:

Следующая аксиоматич. теория А наиболее полно отражает принципы "наивной" теории множеств. Аксиомы А:

А1. аксиома объемности:

("если множества уи z содержат одни и те же элементы, то они равны");

А2. аксиомы свертывания:

где А - произвольная формула, не содержащая в качестве параметра у("существует множество у, содержащее те и только те элементы х, для к-рых А").

Описанная система противоречива. Если в А2 в качестве Авзять формулу то из формулы легко выводится , что противоречиво.

Аксиоматич. системы теории множеств можно разделить на следующие четыре группы.

а) Построение аксиоматич. систем первой группы направлено на такое ограничение аксиом свертывания, к-рое обеспечивает наиболее естественный способ формализации обычных математич. доказательств и в то же время позволяет избежать известных парадоксов. Первой аксиоматикой такого рода была система Z Цермело (Е. Zermelo, 1908). Однако в системе Z невозможно естественным образом формализовать нек-рые разделы математики, и А. Френкель (A. Fraenkel, 1922) предложил пополнить Z новым принципом, названным им аксиомой подстановки. Полученная система наз. системой Цермело- Френкеля и обозначается ZF.

б) Вторую группу составляют системы, аксиомы к-рых выбраны в связи с к.-л. объяснением парадоксов, напр, как следствий непредикативных определений. Сюда относятся: разветвленная теория типов Рассела, простая теория типов Т, теории типов с трансфинитными индексами (см. Типов теория).

в) Третья группа характеризуется использованием нестандартных средств логич. вывода, многозначных логик, дополнительных условий на доказательства, бесконечных правил вывода. Системы, относящиеся к этому направлению, наименее развиты.

г) Четвертая группа включает модификации систем первых трех групп, преследующие определенные логич. или математич. цели. Укажем только на системы NBG Неймана - Гёделя - Бернайса (J. Neumann - К. Godel-Р. Bernays, 1925) и NF Куайна (W. Quine, 1937). Построение системы NBG вызвано желанием иметь конечное число аксиом для теории множеств, основанной на системе ZF. В NF реализуется стремление преодолеть расслоение понятий, имеющее место в теории типов.

Системы Z, ZF, NF можно формулировать в описанном выше языке. Правила вывода, а также так наз. логические аксиомы у этих систем совпадают и образуют прикладное исчисление предикатов 1-й ступени с равенством и оператором дескрипции. Укажем только аксиомы для равенства и оператора дескрипции:

где (х) - формула, не содержащая связанной переменной у(т. е. не имеющая вхождений вида iy), и (у).получается из формулы (х).заменой нек-рых свободных вхождений переменной хна у; где квантор х означает "существует одно и только одно х", а формула получается из формулы (х).заменой всех свободных вхождений переменной хна терм Квантор выразим через кванторы и равенство.

Нелогические аксиомы системы Z:

Z1. аксиома объемности А1;

Z2. аксиома пары:

("существует множество {х, у}");Z3. аксиома суммы:

("существует множество z"); Z4. аксиома степени:

("существует множество Pz");Z5. аксиома выделения:

("существует подмножество z, состоящее из тех элементов х, для к-рых имеет место (х)");аксиомы Z2 -Z5 являются примерами аксиом свертывания; Z6. аксиома бесконечности:

Z7. аксиома выбора:

("для всякого множества существует функция выбирающая из каждого непустого элемента хмножества z единственный элемент "). К этим аксиомам добавляют еще аксиому фундирования: Z8.

цель к-рой - постулировать, что не существует убывающих цепей Аксиома Z8 позволяет упростить построения в Z. Добавление этой аксиомы не вносит противоречия.

В системе Z можно развивать арифметику, анализ, функциональный анализ, рассматривать кардинальные числа, меньшие Однако если определить алефы стандартным образом, то доказать в Z существование и более высоких кардиналов уже невозможно.

Система ZF получается из Z добавлением аксиом подстановки Френкеля, к-рым можно придать вид аксиом свертывания:

ZF9.

("существует множество у, состоящее из когда vпробегает все элементы множества z"). Иначе говоря, уполучается из z, если каждый элемент у из z заменить на

Система ZF является очень сильной теорией. Все обычные математич. теоремы формализуются в ZF.

Система NBG получается из системы ZF добавлением нового типа переменных - классовых переменных X, Y, Z,... и конечного числа аксиом образования классов, позволяющих доказать формулы вида

где (х) - формула системы NBG, не содержащая связанных классовых переменных и символа i. Поскольку по каждой формуле (х).можно образовать класс, то бесконечное число аксиом ZF удается заменить конечным числом аксиом, содержащих классовую переменную. Аксиома выбора имеет вид:

и утверждает существование единой для всех множеств функции выбора, являющейся классом.

Система NF имеет наиболее простую аксиоматику, а именно: 1) аксиому объемности и 2) те аксиомы свертывания, в к-рых формулу Аможно стратифицировать, т. е. приписать всем переменным формулы Аверхние индексы таким образом, чтобы получилась формула теории типов Т, т. е. в подформулах вида хeуиндекс у хна единицу меньше, чем индекс у y.

Система NF обладает следующими особенностями:

а) выбора аксиома и обобщенная континуум-гипотеза опровержимы;

б) бесконечности аксиома доказуема;

в) аксиома объемности играет весьма существенную роль. Так, если аксиому объемности заменить несколько более слабой аксиомой:

допускающей много пустых множеств, а аксиомы свертывания NF оставить без изменения, то получится довольно слабая теория, именно: уже в формальной арифметике можно доказать непротиворечивость полученной системы.

Ниже приведены результаты о соотношениях между описанными системами.

(a) Всякая формула ZF доказуема в NBG тогда и только тогда, когда она доказуема в ZF.

(b) В ZF можно установить непротиворечивость Z, пополненной любым конечным числом примеров схемы аксиом подстановки ZF9. Таким образом, ZF значительно сильнее Z.

(g) В Z доказуема непротиворечивость Т, так что Z сильнее Т.

(d) NF не слабее Т в том смысле, что в NF можно развить всю теорию типов.

Аксиоматич. подход к теории множеств позволил придать точный смысл утверждению о принципиальной неразрешимости нек-рых математич. проблем и строго доказать его. Общая схема применения аксиоматич. метода здесь такова. Рассматривается формальная аксиоматич. система S теории множеств (как правило, это ZF или нек-рые ее модификации), настолько универсальная, чтобы она содержала все обычные способы рассуждения классич. математики и все обычные математич. факты могли бы в ней быть выведены. Данная проблема Аможет быть записана в виде формулы в языке S. Затем математич. методами устанавливается, что в Sневозможно вывести ни А, ни отрицание А. Отсюда следует, что проблема Ане может быть разрешена (в ту или иную сторону) средствами теории S, но так как теория Sопределялась в расчете охватить все обычные методы рассуждения, то полученный результат свидетельствует о том, что Ане может быть разрешена обычными методами рассуждения, т. е. свидетельствует о "трансцендентности" А.

Результаты о невыводимости в теории Sдоказываются, как правило, в предположении о непротиворечивости S или нек-рого естественного расширения S. Это связано с тем, что, с одной стороны, проблема может быть невыводима в Sтолько при непротиворечивости S, последнее же не может быть установлено средствами S (согласно Гёделя теореме о неполноте), т. е. не может быть доказано обычными методами. С другой стороны, непротиворечивость Sявляется обычно весьма правдоподобной гипотезой. Сама теория Sопределяется в расчете на выполнение этой гипотезы.

Далее, аксиоматич. подход к теории множеств позволил точно поставить и решить проблемы, связанные с эффективностью в теории множеств, интенсивно обсуждавшиеся особенно в первый период развития теории множеств в работах Р. Бэра (R. Baire), Э. Бореля (Е. Borel), А. Лебега (Н. Lebesgue), С. Н. Бернштейна, Н. Н. Лузина, В. Серпинского А именно, говорят, что теоретико-множественный объект, удовлетворяющий свойству задается эффективно в аксиоматич. теории S, если может быть построена формула (х).теории S, про к-рую в Sможно доказать, что ей удовлетворяет единственный объект, и этот объект удовлетворяет свойству Это определение дает возможность точно доказать, что для нек-рых свойств в теории Sневозможно эффективно указать объект, удовлетворяющий свойству в то время как существование этих объектов в S может быть установлено. Но поскольку теория Sвыбирается достаточно универсальной, то неэффективность существования нек-рых объектов в Sсвидетельствует и о невозможности эффективно установить их существование обычными математич. средствами.

Наконец, методы А. т. м. позволили решить ряд трудных проблем и в классич. ветвях математики: теории кардинальных и ординальных чисел, дескриптивной теории множеств, топологии.

Ниже приведены нек-рые из результатов в А. т. м. Большинство теорем относится к А. т. м. Цермело - Френкеля, наиболее употребительной в настоящее время. Пусть ZF - есть система ZF без аксиомы выбора Z7. В силу результаты легко адаптируются и к системе NBG.

1) К. Гёдель (1939) показал, что если непротиворечива, то она остается непротиворечивой и после добавления аксиомы выбора и континуум-гипотезы. Отсюда следует, что в ZF невозможно опровергнуть аксиому выбора или континуум-гипотезу. Для доказательства этого результата Гёдель построил модель теории ZF, состоящую из так наз. конструктивных по Гёделю множеств и играющую важную роль в современной А. т. м.

2) Вопрос о том, можно ли вывести в ZF аксиому выбора или континуум-гипотезу, оставался открытым вплоть до 1963, когда П. Коэн (P. Cohen) с помощью разработанного им вынуждения метода показал, что если ZF- непротиворечива, то она остается таковой и после присоединения любой комбинации из аксиомы выбора, континуум-гипотезы или их отрицаний. Таким образом, эти две проблемы независимы в ZF.

Основным методом установления невыводимости формулы Ав ZF является построение модели ZF, в к-рой имеет место отрицание А. Метод вынуждения Коэна, усовершенствованный затем другими авторами, сильно расширил возможности построения моделей теории множеств и в настоящее время лежит в основе почти всех дальнейших результатов о невыводимости. Напр.:

3) Показано, что к ZF без противоречия можно присоединить гипотезу о том, что мощность множества подмножеств множества хможет быть почти произвольной наперед заданной функцией мощности хна регулярных кардиналах (единственные существенные ограничения связаны с теоремой Кёнига).

4) В 1920 М. Я. Суслин сформулировал гипотезу: всякое линейно полно упорядоченное множество такое, что всякое попарно непересекающееся семейство непустых открытых интервалов в нем не более чем счетно, необходимо содержит счетное всюду плотное подмножество. Методом Коэна была установлена неразрешимость в ZF гипотезы Суслина.

5) Показана неразрешимость в (без аксиомы выбора) утверждения: всякое подмножество множества действительных чисел измеримо по Лебегу.

6) Выяснено взаимоотношение с ZF многих важных проблем дескриптивной теории множеств. Первые результаты в этом направлении были объявлены Гёделем в 30-х гг. и доказаны П. С. Новиковым [5]. Методы А. т. м. позволили обнаружить неизвестные ранее связи между проблемами "наивной" теории множеств. Доказано, напр., что из существования неизмеримого по Лебегу множества действительных чисел типа вытекает существование несчетного (т. е. СА).множества без совершенного подмножества.

7) Доказано отсутствие в ZF эффективного вполне упорядочения континуума. Получены многочисленные результаты об отсутствии эффективно определенных объектов в дескриптивной теории множеств и теории ординалов.

Лит.:[1] Френкель А. <А., Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966; [2] Коэн Пол Д ж., Теория множеств и континуум-гипотеза, пер. с англ., М., 1969, [3] Йех Т., Теория множеств и метод форсинга, пер. с англ., М., 1973; [4] Drakе F. R., Set theory, Amsterdam. 1974; [5] Новико в П. С., "Тр. матем. ин-та АН СССР", 1951, т. 38, с. 279 - 316.

В. Н. Гришин, А. Г. Драгалин.