«Бесконечно малая»

в математике, переменная величина, стремящаяся к Пределу, равному нулю. Для того чтобы понятие Б. м. имело точный смысл, необходимо указывать тот процесс изменения, при котором данная величина становится Б. м. Например, величина y = 1/x является Б. м. при аргументе х,стремящемся к бесконечности, а при х,стремящемся к нулю, она оказывается бесконечно большой (См. Бесконечно большая). Если предел переменной у конечен и равен а, то lim (y - a) = 0 и обратно. Поэтому понятие Б. м. величины можно положить в основу общего определения предела переменной величины. Теория Б. м. является одним из способов построения теории пределов.

При рассмотрении нескольких переменных величин, участвующих в одном и том же процессе изменения, переменные уи z называются эквивалентными, если limz/y = 1; если при этом у является Б. м., то у и z называются эквивалентными Б. м. Переменная z называется Б. м. относительно у, если z/y есть Б. м. Последний факт часто записывается в виде z = о(у) (читается: «z есть о малое от у»). Если при этом у является Б. м., то говорят, что z есть Б. м. более высокого порядка, чем у. Часто среди нескольких Б. м., участвующих в одном и том же процессе изменения, одна из них, скажем у, принимается за главную, и с ней сравниваются все остальные. Тогда говорят, что z есть Б. м. порядка k > 0,если предел lim z/уксуществует и отличен от нуля; если же этот предел равен нулю, то z называется Б. м. порядка выше k.Изучение порядков различного рода Б. м. — одна из важных задач математического анализа.

Для случая, когда переменная величина есть функция аргумента х, из общего определения предела вытекает такое развёрнутое определение Б. м.: функция f(x), определённая в окрестности точки x₀,называется Б. м. при х, стремящемся к x₀, если для любого положительного числа ε найдётся такое положительное число δ, что для всех x≠x₀, удовлетворяющих условию |x - x₀|

При изучении функции f (x)вблизи точки x_o за главную Б. м. принимают приращение независимого переменного Δх = х - х₀. Формула

Δy = f’(x₀) Δx +о(Δх)

выражает, например, что приращение Δy дифференцируемой функции с точностью до Б. м. порядка выше первого совпадает с её дифференциалом dy = f '(x₀) Δx.

Метод Б. м., или (что то же) метод пределов, является в настоящее время основным методом обоснования математического анализа, почему его и называют также анализом Б. м. Он заменил Исчерпывания метод древних и «неделимых» метод (См. Неделимых метод). Метод Б. м. был намечен И. Ньютоном (1666) и получил всеобщее признание после работ О. Коши. При помощи Б. м. даются определения таких основных понятий анализа, как сходящийся ряд, интеграл, производная, дифференциал. Кроме того, метод Б. м. служит одним из основных методов приложения математики к задачам естествознания. Это связано с тем, что большинство закономерностей механики и классической физики выражается в виде формул, связывающих Б. м. приращения изучаемых величин, и обращение к Б. м. является обычным приёмом составления дифференциальных уравнений задачи.

Лит. см. при ст. Анализ математический.

С. Б. Стечкин.

БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ - переменная величина, которая в процессе изменения становится (по абсолютной величине) и при дальнейшем изменении остается меньше любого наперед заданного положительного числа, т. е. имеет пределом нуль. В математическом анализе важную роль играют пределы отношений бесконечно малых величин (см. Дифференциальное исчисление) и пределы сумм бесконечно малых величин, когда число слагаемых неограниченно возрастает (см. Интегральное исчисление).

БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ - переменная величина, которая в процессе изменения становится (по абсолютной величине) и при дальнейшем изменении остается меньше любого наперед заданного положительного числа, т. е. имеет пределом нуль. В математическом анализе важную роль играют пределы отношений бесконечно малых величин (см. Дифференциальное исчисление) и пределы сумм бесконечно малых величин, когда число слагаемых неограниченно возрастает (см. Интегральное исчисление).

бесконе́чно ма́лая

переменная величина, которая в процессе изменения становится (по абсолютной величине) и при дальнейшем изменении остаётся меньше любого наперёд заданного положительного числа, то есть имеет пределом нуль. В математическом анализе важную роль играют пределы отношений бесконечно малых величин (см. Дифференциальное исчисление) и пределы сумм бесконечно малых величин, когда число слагаемых неограниченно возрастает (см. Интегральное исчисление).

* * *

БЕСКОНЕ́ЧНО МА́ЛАЯ, переменная величина, которая в процессе изменения становится (по абсолютной величине) и при дальнейшем изменении остается меньше любого наперед заданного положительного числа, т. е. имеет пределом нуль. В математическом анализе важную роль играют пределы отношений бесконечно малых величин (см. Дифференциальное исчисление(см. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ)) и пределы сумм бесконечно малых величин, когда число слагаемых неограниченно возрастает (см. Интегральное исчисление(см. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ)).

переменная величина, к-рая в процессе изменения становится (по абс. величине) и при дальнейшем изменении остаётся меньше любого наперёд заданного положит. числа, т. е. имеет пределом нуль. В матем. анализе важную роль играют пределы отношений Б.м. величин (см. Дифференциальное исчисление) и пределы сумм Б. м. величин, когда число слагаемых неограниченно возрастает (см. Интегральное исчисление).