«Эйлера уравнения»

1) в механике — динамические и кинематические уравнения, используемые при изучении движения твёрдого тела; даны Л. Эйлером в 1765.

Динамические Э. у. представляют собой дифференциальные уравнения движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки и имеют вид

I_xω̇_x +(I_z — I_y) ω_yω_z = M_x,

I_y+(I_x — I_z) ω_zω_x = M_y, (1)

I_zω̇_z +(I_y— I_x) ω_xω_y= M_z,

где I_x, I_y,I_z —моменты инерции (См. Момент инерции) тела относительно гл. осей инерции, проведённых из неподвижной точки, ω_х,ω_у,ω_z —проекции мгновенной угловой скорости тела на эти оси, M_x,M_y,M_z — гл. моменты сил, действующих на тело, относительно тех же осей; ω̇_x,, ω̇_z — проекции углового ускорения.

Кинематические Э. у. дают выражения ω_х,ω_у, ω_z через Эйлеровы углы φ, ψ, θ и имеют вид

ω_x= Ψ̇sin θ sinφ + θ̇cosφ,

ω_у= Ψ̇sin θ cosφ — θ̇sinφ, (2)

ω_z=

Система уравнений (1) и (2) позволяет, зная закон движения тела, определить момент действующих на него сил, и, наоборот, зная действующие на тело силы, определить закон его движения.

2) В гидромеханике — дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости в переменных Эйлера. Если давление р, плотность ρ, проекции скоростей частиц жидкости u,υ,ω и проекции действующей объёмной силы X,У, Z рассматривать как функции координат x, у,z точек пространства и времени t (переменные Эйлера), то Э. у. в проекциях на прямоугольные декартовы оси координат будут:

Решение общей задачи гидромеханики в переменных Эйлера сводится к тому, чтобы, зная X, У, Z, а также начальные и граничные условия, определить u,υ,ω,р,ρ, как функции х,у,z и t. Для этого к Э. у. присоединяют уравнение неразрывности в переменных Эйлера

В случае баротропной жидкости, у которой плотность зависит только от давления, 5-м уравнением будет уравнение состояния ρ = φ (р) (или ρ— const, когда жидкость несжимаема).

Э. у. пользуются при решении разнообразных задач гидромеханики.

Лит.: Бухгольц Н. Н., Основной курс теоретической механики, ч. 2, 9 изд., М., 1972, §14, 16; Лойцянский Л. Г., Механика жидкости и газа, 4 изд., М., 1973.

С. М. Тарг.

ЭЙЛЕРА УРАВНЕНИЯ

1) в механике — динамич. и кинематич. ур-ния, используемые в механике при изучении движения тв. тела; даны Л. Эйлером (L. Euler; 1765).

Динамические Э. у. представляют собой дифф. ур-ния движения тв. тела вокруг неподвижной точки и имеют вид:

где Ix., Iу, Iz— моменты инерции тела относительно гл. осей инерции, проведённых из неподвижной точки; wх, wу, wz — проекции мгновенной угл. скорости тела на эти оси; Мх, Мy, Mz — гл. моменты сил, действующих на тело, относительно тех же осей; w'х, w'y, w'z — производные по времени от wх, wу, wz.

Кинематические Э. у. дают выражения wх, wу, wz через Эйлеровы углы j, y, q и имеют вид:

Система ур-ний (1) и (2) позволяет, зная закон движения тела, определить момент действующих на него сил и, наоборот, зная действующие на тело силы, определить закон его движения.

2) В гидродинамике — дифф. ур-ния движения идеальной жидкости в переменных Эйлера. Если давление р, плотность r, проекции скоростей ч-ц жидкости u, v, w и проекции действующей объёмной силы X, У, Z рассматривать как ф-ции координат х, у, z точек пр-ва и времени t (переменные Эйлера), то Э. у. в проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат будут:

Решение общей задачи гидромеханики в переменных Эйлера сводится к тому, чтобы, зная X, Y, Z, а также начальные и граничные условия, определить u, v, w, р, r как функции х, у, z и t. Для этого к Э. у. присоединяют ур-ние неразрывности в переменных Эйлера

В случае баротропной жидкости, у к-рой плотность зависит только от давления, 5-м ур-нием будет ур-ние состояния r=j(р) (или r=const, когда жидкость несжимаема).

Э. у. пользуются при решении разнообразных задач гидромеханики.