«Лапласа теорема»

простейшая из предельных теорем (См. Предельные теоремы) теории вероятностей, относящаяся к распределению отклонений частоты появления события при независимых испытаниях от его вероятности. В общем виде эта теорема доказана П. Лапласом в книге «Аналитическая теория вероятностей» (1812). Один частный случай Л. т. был известен А. Муавру(1730), в связи с чем Л. т. иногда называется теоремой Муавра — Лапласа. Формулировка Л. т. такова. Пусть при каждом из n независимых испытаний вероятность появления некоторого события Е равна р (0рm обозначает число испытаний, в которых событие Е фактически наступает; тогда вероятность неравенства

при достаточно большом числе испытаний n сколь угодно мало отличается от

.

Если обозначить через X_k случайную величину, принимающую значение, равное 1, при появлении события Е в k-ом испытании и значение, равное 0, при его непоявлении, то m представляется как сумма независимых случайных величин m= X₁ + ...+ X_n. Это позволяет рассматривать Л. т. как частный случай более общих предельных теорем теории вероятностей, в частности Ляпунова теоремы (См. Ляпунова теорема).

Приближённые значения вероятностей, даваемые Л. т., на практике используются как точные при npq порядка нескольких десятков и большем.

Лит. см. при ст. Предельные теоремытеории вероятностей.

Ю. В. Прохоров.

ЛАПЛАСА ТЕОРЕМА - одна из предельных теорем теории вероятностей. Если при каждом из n независимых испытаний вероятность появления некоторого случайного события Е равна р (0"р"1) и m - число испытаний, в которых Е фактически наступает, то вероятность неравенстваблизка (при больших n) к значению интеграла ЛапласаУстановлена П. Лапласом (1812).

Лапла́са теоре́ма

одна из предельных теорем теории вероятностей. Если при каждом из n независимых испытаний вероятность появления некоторого случайного события E равна р (0<р<1) и m — число испытаний, в которых E фактически наступает, то вероятность неравенстваблизка (при больших n) к значению интеграла Лапласа.Установлена П. Лапласом (1812).

* * *

ЛАПЛА́СА ТЕОРЕ́МА, одна из предельных теорем теории вероятностей. Если при каждом из n независимых испытаний вероятность появления некоторого случайного события Е равна р (0<р<1) и m — число испытаний, в которых Е фактически наступает, то вероятность неравенства

близка (при больших n) к значению интеграла Лапласа

Установлена П. Лапласом (1812).

- 1) Л. т. об определителях - см. ст. Алгебраическое дополнение.

2) Л. т. об аппроксимации биномиального распределения нормальным распределением; первый вариант центральной предельной теоремы теории вероятностей: если S_n - число "успехов" в п Бернулли испытаниях с вероятностью успеха р,0<р<1, то при для любых действительных чисел xi и х ₂ (х ₁<.г ₂)

- функция распределения стандартного нормального закона. Самостоятельное значение имеет т. н. локальная Л. т.: для вероятности

справедливо равенство

где

- плотность стандартного нормального распределения и равномерно для всех т, для к-рых

принадлежит какому-либо конечному интервалу.

В общем виде Л. т. была доказана П. Лапласом [1]. Один частный случай Л. т. (р=1/2) был изучен А. Му-авром [2], в связи с чем Л. т. иногда наз. теоремой Муавра - Лапласа. Для практич. применения Л. т. важно иметь представление об ошибках, возникающих при использовании приближенных формул. В более точной (по сравнению с [1]) асимптотич. формуле

остаточный член R_n(y). имеет порядок равномерно для всех действительных у. Из равномерных аппроксимаций биномиального распределения посредством нормального распределения наиболее удачна формула Я. Успенского (1937): если то для любых (/! и у ₂

Для улучшения относительной точности аппроксимации С. Н. Бернштейном (1943) и В. Феллером (W. Feller, 1945) были предложены другие формулы.

Лит.:[1] L а р 1 а с е P. S., Theerie analytique des probabi-lites, P., 1812; [2] М о i v r e A. d e, Miscellanea analytica de serlebus et quadraturis, L., 1730; [3] Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973; [4] F е 1 1 е г W., "Ann. Math. Statistics", 1945, v. 16, p. 319-29; [5] Ф е л л е р В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1, М., 1967. А. В. Прохоров.

одна из предельных теорем теории вероятностей. Если при каждом из п независимых испытаний вероятность появления нек-рого случайного события Е равна р(0<р<1) и т- число испытаний, в к-рых Е фактически наступает, то вероятность неравенства

близка (при больших п) к значению интеграла Лапласа

Установлена П. Лапласом в 1812.