«Проективное пространство»

Проективное пространство в словарях и энциклопедиях

Зарегистрироваться на сайте Подробнее
Значение слова «Проективное пространство»

Источники

  1. Большая Советская энциклопедия
  2. Большой англо-русский и русско-английский словарь
  3. Математическая энциклопедия
  4. Dictionnaire technique russo-italien

    Большая Советская энциклопедия

    в первоначальном смысле — евклидово пространство, дополненное бесконечно удалёнными точками, прямыми и плоскостью, называемыми также несобственными элементами (см. Бесконечно удалённые элементы). При этом каждая прямая дополняется одной несобственной точкой, каждая плоскость — одной несобственной прямой, всё пространство — одной несобственной плоскостью; параллельные прямые дополняются общей несобственной точкой, непараллельные — разными; параллельные плоскости дополняются общей несобственной прямой, непараллельные — разными; несобственные точки, дополняющие всевозможные прямые данной плоскости, принадлежат несобственной прямой, дополняющей ту же плоскость; все несобственные точки и прямые принадлежат несобственной плоскости.

    П. п. можно определить аналитически как совокупность классов пропорциональных четверок действительных чисел, не равных одновременно нулю. При этом классы интерпретируются либо как плоскости П. п., а числа называются однородными координатами плоскостей. Отношение инцидентности точки (x1: x2: x3: x4)и плоскости (u1: u2:u3: u4) выражается равенством:n-мерного П. п., играющего важную роль в алгебраической геометрии, причём координатами его могут быть элементы некоторого тела (См. Тело)k. В более общем смысле П. п. — совокупность трёх множеств элементов, называется соответственно точками, прямыми и плоскостями, для которых определены отношения принадлежности и порядка так, что соблюдаются требования аксиом проективной геометрии (См. Проективная геометрия). А. Н. Колмогорови Л. С. Понтрягин показали, что если П. п. над телом k есть связное компактное топологическое пространство, в котором прямая непрерывно зависит от двух принадлежащих ей точек, и выполняются аксиомы инцидентности, то kесть либо поле действительных чисел, либо поле комплексных чисел, либо тело кватернионов.

    Лит. см. при ст. Проективная геометрия.

  1. Источник: Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.



    2. Большой англо-русский и русско-английский словарь

    мат. projective space

  2. Источник: Большой англо-русский и русско-английский словарь



    3. Математическая энциклопедия

    совокупность всех подпространств инцидентностной структуры p-=, где элементы множества наз. точками, а элементы множества - прямыми, I - отношение инцидентности. Подпространством инцидентностной структуры p наз. подмножество S множества , для к-рого справедливо условие: если , то Множество точек прямой, проходящей через точки ри q, также принадлежат S. Инцидентностная структура p удовлетворяет следующим требованиям:

    1) для любых двух различных точек ри qсуществует единственная прямая Lтакая, что pIL, qIL;

    2) каждая прямая инцидентна по крайней мере с тремя точками;

    3) если две различные прямые L, M пересекаются в точке ри выполнено qIL и rIL,a sIM, tIM, то прямые, проходящие через пары точек r, t и s, q, пересекаются.

    Подпространство Sпорождено множеством sточек из (пишут S=<s>), если Sявляется пересечением всех подпространств, содержащих s. Множество точек s наз. независимым, если для любого имеет место . Упорядоченное максимальное и независимое множество точек подпространства Sназ. базисом S, а число его элементов d(S) - размерностью подпространства S. Подпространство размерности 0 является точкой, размерности 1 - проективной прямой. Подпространство размерности 2 наз. проективной плоскостью.

    В П. н. определены операции сложения и пересечения подпространств. Суммой Р m+Р k подпространств Р m и Pk наз. наименьшее из подпространств, содержащее и Р m, и Pk. Пересечением подпространств

    Р m и Р k наз. наибольшее из подпространств, содержащееся и в Р m, и в Pk. Размерности подпространств Р m, Р k, их суммы и пересечения связаны соотношением

    Для любого Р m существует Pn-m-1 такое, что Р тPn-m-1=P-1= И Pm +Pn-m-1= Pn (Pn-m-1- дополнение Р т в Pn), и если Р т Р r, то

    для любого Pk (дедекиндово правило), т. е. относительно введенных операций П. п. является дедекиндовой решеткой с дополнениями.

    П. п. размерности больше двух дезаргово (см. Дезарга предложение), а следовательно, изоморфно П. п. (левому или правому) над подходящим телом k (см. [1]). (напр., левое) размерности пнад телом k - совокупность линейных подпространств нек-рого (n+1 )-мерного левого линейного пространства над телом k;точками являются прямые , т. е. множества классов эквивалентности слева строк ( х 0, x1,..., х п), составленных из элементов тела kи не равных одновременно нулю (строки (x0, x1,..., х n).и (y0, y1,..., yn).эквивалентны слева, если существует такое , что xi=lyi, i=0, l,..., n); подпространствами являются (n+1 )-мерные подпространства . Можно установить нек-рое соответствие между левым и правым П. п., при к-ром подпространству соответствует (подпространства и наз. дуальными друг другу), пересечению подпространств соответствует сумма, а сумме - пересечение. Если нек-рое утверждение, основанное только на свойствах линейных подпространств, их пересечений и сумм, справедливо для , то справедливо и соответствующее утверждение для . Это соответствие между свойствами пространств и наз. принципом двойственности для П. п. (см.|2]).

    Конечное тело необходимо коммутативно, следовательно, конечное П. п. размерности больше двух и порядка qизоморфно П. п. над Галуа полем PG(n, q). Конечное П. п. Р( п, q).содержит (q п+1-1)/(q-1) точек и подпространств размерности r(см. [4]).

    Коллинеацией П. п. является перестановка ее точек, к-рая отображает прямые в прямые, при этом подпространства отображаются на подпространства. Нетривиальная коллинеация П. п. имеет не более одного центра и не более одной оси. Группа коллинеа-ций конечного П. п. PG(n, ph).имеет порядок, равный

    Каждое П. п. PG(n, q).допускает циклическую транзитивную группу коллинеаций (см. [3]).

    Корреляцией d П. <п. является перестановка подпространств, к-рая меняет включения, т. е. если , то . П. п. допускает корреляцию, только если оно конечномерно. Важное значение в проективной геометрии играет корреляция порядка два, наз. поляритетом.

    Лит.:[1] Артин Э., Геометрическая алгебра, пер. с англ., М., 1969; [2] Ходж В., Пидо Д., Методы алгебраической геометрии, пер. с англ., т. 1, М., 1954; [3) Dеmbоwski P., Finite geometries, В. -[а. о.], 1968; [4] Segre В., Lectures on modern geometry, Roma, 1961. В. В. Афанасьев.

  3. Источник: Математическая энциклопедия



    4. Dictionnaire technique russo-italien

    матем. spazio proiettivo

  4. Источник: Dictionnaire technique russo-italien